Sucesiones de Números Reales

Una sucesión de vectores o números reales {xn} tiene límite l, o lim xn = l, si para todo Ɛ > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces || xn – l || < Ɛ.

También se define:

• lim xn = +∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn > k.
• lim xn = -∞ si para todo k > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0, entonces xn < k.

Una sucesión converge si su límite es un número real. Diverge si lim xn = +∞ o lim xn = -∞. Oscila si no tiene límite.

Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente, y el límite de la sucesión es el supremo de la misma. De toda sucesión en R² acotada puede extraerse una subsucesión convergente.

Sucesión de Cauchy: una sucesión {xn}n∈N en R² tiene límite finito si y solo si para todo є>0 existe un n0 ∈ N tal que si m,n ≥ n0, entonces || xn – xm || < є.

Regla del Sandwich: si {xn}n, {yn}n, {zn}n son tres sucesiones de números reales tales que lim xn = lim yn = l y existe un n0 ∈ N tal que xn ≤ zn ≤ yn para todo n ≥ n0, entonces lim zn = l.

Series Numéricas

La suma de la serie Σ xn es el límite de la sucesión de las sumas parciales cuando este límite exista. Es decir, el término general: denotaremos Σxn = k para referirnos a lim Sn = k, donde Sn son las sumas parciales n-ésimas de {xn}.

• Converge: si la sucesión de las sumas parciales es convergente, es decir, si la suma de la serie es finita (Σxn < ∞).
• Diverge: si la sucesión de sumas parciales es divergente, es decir, si la suma de la serie es infinita (Σxn = +/-∞).
• Oscila: si la sucesión de sumas es oscilante.

Criterio de Cauchy para series: Σxn, serie de números reales, es convergente si y solo si para todo є > 0 existe un n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 y p > 0, entonces | xn+1 + … + xn+p | < є.

Condición necesaria para la convergencia: para que Σxn, serie de números reales, sea convergente es necesario que lim xn = 0. (Basta tomar p=1 en el criterio de Cauchy para justificar esta necesidad).

Tipos de Series

• Serie Geométrica: una serie es geométrica de razón r ∈ R si es de la forma Σ a.r^n, donde a ≠ 0.
• Serie Armónica: una serie es armónica generalizada si es de la forma ∑ 1/n^α, donde α ∈ R.
• Serie Telescópica: una serie es telescópica asociada a la sucesión {an}n∈N si para cada n ∈ N es xn = an – a(n+1).

Topología en Rⁿ

Punto de acumulación: sea A un subconjunto de Rⁿ, x ∈ Rⁿ es punto de acumulación de A si toda bola abierta con centro en x contiene elementos de A distintos de x. Equivalentemente, si toda bola con centro en x corta al conjunto A en puntos distintos de x.

Punto adherente: sea A ⊂ Rⁿ, x ∈ Rⁿ es punto adherente si toda bola con centro en x contiene elementos de A. Si x es punto de acumulación de A, entonces x es punto adherente de A. Subconjunto adherente: si toda bola con centro en x corta al conjunto A.

Punto frontera: sea A ⊂ Rⁿ, x ∈ Rⁿ es punto frontera si toda bola con centro en x contiene elementos de A y elementos que no pertenecen a A. Equivalentemente, si toda bola con centro en x corta al conjunto A y a su complementario.

Conjunto cerrado: A es cerrado si su complementario es abierto y si todos sus puntos son interiores. Si existe una bola con centro en x contenida en A.

Punto interior: sea A ⊂ Rⁿ, x ∈ Rⁿ es punto interior si existe una bola con centro en x contenida en A.

Conjunto compacto: A es compacto si es cerrado y acotado.

Punto aislado: sea A ⊂ Rⁿ, x ∈ A es punto aislado de A si existe B(x, ε) tal que B(x, ε) ∩ A = {x}.

Bola abierta: con centro en x y radio ε > 0 se define como B(x, ε) = {y ∈ Rⁿ / d(x, y) < ε}. Bola abierta reducida: con centro en x y radio ε > 0 se define como B*(x, ε) = B(x, ε) – {x}.

Bola cerrada: con centro en x y radio ε > 0 se define como B(x, ε) = {y ∈ Rⁿ / d(x, y) ≤ ε}. Bola cerrada reducida: con centro en x y radio ε > 0 se define como B*(x, ε) = B(x, ε) – {x}.

Entorno: Un conjunto U es entorno de x si existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ U.

Subconjunto abierto: un subconjunto U de Rⁿ es abierto si es entorno de cada uno de sus puntos: para todo x ∈ U, existe ε > 0 tal que B(x, ε) ⊂ U.

Integración

Función primitiva: sea f: A → R una función real de variable real definida en un conjunto A. Se llama función primitiva de f a otra función F: A → R tal que F´(x) = f(x).

Teorema fundamental del cálculo integral: sea f: [a, b] → R una función acotada en [a, b). Si f es continua en [a, b), entonces la función Λ: [a, b) → R, definida como Λ(x) = ∫f(t)dt, es derivable en [a, b) y Λ´(x) = f(x) para todo x ∈ [a, b).

Regla de Barrow: sea f: [a, b] → R una función acotada en [a, b). Si f es continua en [a, b) y sea F: [a, b) → R una función primitiva cualquiera de f(x) en [a, b), entonces: ∫f(x)dx = F(b) – F(a).

Teorema del cambio de variable: sea φ: [c, d) → R una función de clase C¹ en [c, d) y sea f: [a, b) → R una función continua en [a, b) con φ(c) = a y φ(d) = b, entonces: ∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ´(t)dt.

Integral impropia de primera especie: Sea f: D → R con D ⊂ R una función integrable en cada intervalo [a, x) con x ≥ a. Se llama integral impropia de primera especie de f sobre [a, +∞) al límite ∫f(x)dx = lim (x→+∞) ∫(a, x) f(t) dt, si dicho límite existe (si existe, la integral es convergente; si no, es divergente). Si f: R → R es una función continua y existe a ∈ R tal que existe ∫f(x)dx, entonces ∫(-∞, +∞) f(x)dx = ∫(-∞, a) f(x)dx + ∫(a, +∞) f(x)dx.

Integral impropia de segunda especie: Sea f: (a, b) ⊂ R → R una función integrable en todo [x, b) para x ∈ (a, b) que no está acotada a la derecha de a. Se llama integral impropia de segunda especie de f en (a, b) al límite: ∫(a, b) f(x)dx = lim (x→a+) ∫(x, b) f(t)dt = ∫(a+0, b) f(x)dx, si dicho límite existe.