Cinemática

En un sólido indeformable:

• V_A*(AB) = V_B*(BA)
• Ω = velocidad de rotación del sólido
• V_B = V_A + Ω^S^(AB), donde A y B son solidarios al eje de rotación Ω^S.
• Si B está en un eje de rotación de rodadura, V_B = 0
• En el Eje Instantáneo de Rotación y Deslizamiento (EIRD), V_P//Ω^S => V_Px = ω_x (e igual con Y y Z)
• Si hay más de un EIRD, Ω = ω₁ + ω₂ (rad/s)
• Derivación en base móvil: a = dV/dt + Ω^B^V
• a_A = a_B + α^S^(BA) + Ω^S^(Ω^S^(BA)), donde α = dΩ/dt + Ω^B^Ω^S

Cálculo del Centro de Gravedad (CG)

r_G = ∫rρdv/∫ρ, donde ρ = densidad

Teorema de Pappus-Guldin:

• Área de revolución creada por una curva plana: S = L*2πG_x, donde x es la distancia del CG de la curva al eje de revolución y L la longitud de la curva.
• Volumen generado por superficies planas: V = S*2πG_x

Dinámica

Inercia

Tensor de inercia:

• I_xx = ∫(y² + z²)dm
• I_xy = ∫(-xy)dm
• Si el plano XY es de simetría, I_xz = I_yz = 0.
• Atención a la simetría, podría ser I_xx = I_yy.
• Siempre habrá que calcular dm = σ_sds (lineal o volumétrica).

Teorema de Steiner: II_A = II_G + II_G^A, donde II_G^A = masa*(matriz) y la matriz es:

• xx = AG_y² + AG_z²
• xy = -AG_xAG_y

L_A = L_G + L_G^A

L_G^A = I_G^Aω

• Si II_G es diagonal, significa que son direcciones principales de inercia.

Momento respecto de un vector: hallar el vector u_g y luego II_vector = u_g^traspuestaII_{origen del vector}u_g

Momento cinético respecto al CG: L_G = II_Gω_s = mr_G^V_G

Direcciones Principales de Inercia: se calcula la matriz II – (λI), donde I es la matriz diagonal unitaria.

Trabajos Virtuales

δW = ΣF_i*δr_i + ΣM_i*δθ_i = Q_q*δq, donde q es la variable generalizada. (PRODUCTO ESCALAR)

δr_i = (dr_i/dq)*δq, se calcula y se extrae δq como factor común. El resto es la fuerza generalizada Q_q y si está en equilibrio es 0.

Dinámica de Lagrange: d(∂L/∂q•)/dt – ∂L/∂q = Q_q

L = T – V, donde T = ½mv² y luego se iguala a trabajos virtuales y se despeja.

Ecuación de Movimiento

Se halla el Momento Cinético (M) por los dos métodos diferentes y se igualan. En algunos casos, por conservación de la energía, E_Total = T + V, por lo tanto, se deriva la suma y se iguala a cero.

Para hallar las fuerzas de enlace: ΣF^enl + ΣF^ext = ma_G y si faltan ecuaciones, buscar más con el momento cinético.

Ecuaciones Fundamentales

dL_A/dt = M^A + mV_CG^V_A (Atención: a veces hay que derivar en base móvil).

M^A = ΣM^ext + ΣM^enl + r_AFenl^F_enl + r_G^F_ext (normalmente F_ext es el peso).

Momento Cinético: L_A = II_Aω_s + mr_G^V_A = mr_AG^V_G

Fórmulas Trigonométricas

• cos(30) = sen(60) = (√3)/2
• cos(60) = sen(30) = 1/2
• sen(90) = cos(0) = 1
• cos(45) = sen(45) = (√2)/2
• cos(90) = sen(0) = tg(180) = tg(0) = 0
• cos'(x) = -sen(x)
• sen(x ± y) = sen(x)cos(y) ± cos(x)sen(y)
• cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sen(x)sen(y)
• tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))
• sen(2x) = 2sen(x)cos(x)
• cos(2x) = cos²(x) – sen²(x)
• cos(x)cos(y) = (cos(x + y) + cos(x – y))/2
• sen(x)sen(y) = (cos(x – y) – cos(x + y))/2
• sen(x)cos(y) = (sen(x + y) + sen(x – y))/2
• cos(x)sen(x) = (sen(x + y) – sen(x – y))/2
• cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sen(x)sen(y)
• Para pasar de suma a producto, sustituir x por (a + b)/2 e y por (a – b)/2