Elasticidad

Denominamos esfuerzo a aquella cantidad que caracteriza la intensidad de las fuerzas que causan el cambio de forma, generalmente con base en la fuerza por unidad de área. Denominamos deformación a la cantidad que describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformación son pequeños, son directamente proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad módulo de elasticidad:

Módulo de elasticidad = esfuerzo / deformación = σ / ε

La proporción del esfuerzo y la deformación en ciertas condiciones se denomina ley de Hooke.

• Esfuerzo de tensión: Se define como el cociente entre la fuerza aplicada y el área de la sección transversal: σ = F / A
• Deformación por tensión: Es el cambio fraccionado de longitud, que es el cociente entre el alargamiento y la longitud original: ε = Δl / l_o
• Módulo de Young: Y = esfuerzo de tensión (compresión) / deformación por tensión = F * l_o / A * (l – l_o)
• Módulo de rigidez o corte:
  • Esfuerzo de corte: F / A. La fuerza F actúa de forma tangencial a la superficie A.
  • El esfuerzo de corte modifica solo la forma, el volumen permanece constante.
  • Deformación de corte: θ = Δx / l_o. La cara superior se desplaza Δx respecto a la cara opuesta.
  • El módulo de rigidez o corte es la razón de un esfuerzo de corte a la correspondiente deformación unitaria por corte: M = esfuerzo cortante / deformación unitaria o corte = F / A / θ = F * l_o / A * Δx
• Módulo de compresibilidad:
  • Este módulo relaciona el aumento de presión hidrostática con la disminución correspondiente de volumen.
  • La fuerza F por unidad de área que el fluido ejerce sobre la superficie de un objeto es la presión: p = F / A
  • La presión ejerce el papel del esfuerzo en un cambio de volumen.
  • Deformación de volumen = Δv / v_o
  • Módulo de compresibilidad = B = -Δp / (Δv / v_o). Se introduce el signo negativo porque el módulo es una cantidad positiva y porque un aumento de presión siempre causa una disminución de volumen.
  • El recíproco del módulo de compresibilidad se denomina coeficiente de compresibilidad k: k = 1 / B = -Δv / (Δp * v_o)
• Coeficiente de Poisson: Cuando se somete un cuerpo (varilla o barra) a tensión, no solo se alarga o se acorta en dirección de la fuerza, sino que sus dimensiones transversales disminuyen o aumentan. Se denomina coeficiente de Poisson a la razón de la deformación unitaria transversal y la deformación unitaria longitudinal: μ = ε_trans / ε_long = (Δw / w_o) / (Δl / l_o)
• Relación entre las constantes elásticas:
  • Módulo de compresibilidad, elasticidad y Poisson: B = Y / 3(1 – 2μ)
  • Módulo de rigidez, elasticidad y Poisson: B = Y / 2(1 + μ)
  • La proposición es válida para materiales homogéneos e isótropos.
• Torsión: Si se ejercen pares de fuerzas iguales y opuestas en los extremos de una barra o eje, el cuerpo experimenta una torsión. El momento resultante se obtiene: τ = πMR⁴θ / 2L
  • M: módulo de rigidez
  • R: radio del cilindro
  • L: longitud del eje
  • θ: ángulo que gira uno de los extremos respecto del otro

Hidrostática

El término estática se aplica al estudio de los fluidos en reposo en situaciones de equilibrio. También podemos denominarla fluidostática. Los líquidos y los gases se denominan fluidos. La propiedad que los distingue es que un fluido no puede mantener una tensión de corte durante cualquier intervalo de tiempo. Los líquidos, si bien adoptan la forma del recipiente que los contiene, puede decirse que tienen un volumen definido, y los gases llenan completamente el volumen de cualquier recipiente que los contenga, por lo tanto, no tienen volumen propio. Los líquidos y los gases se diferencian notablemente en sus coeficientes de compresibilidad: un líquido es prácticamente incompresible, un gas puede ser fácilmente comprimido.

• Fluido ideal o perfecto: Es aquel que fluye sin dificultad alguna, no tiene fricción interna, su viscosidad vale 0, son incompresibles (δ = 0).
• Flujo ideal o perfecto: Es aquel cuyo flujo es laminar, las capas adyacentes de fluido se deslizan suavemente unas sobre otras, la velocidad de todas las moléculas del fluido en una sección transversal de tubería es la misma.
• Presión en un fluido: Cuando un fluido está en reposo, ejerce una fuerza perpendicular a cualquier superficie en contacto con él. La presión ejercida en un punto de un líquido se transmite íntegramente a todos los puntos del mismo. Un fluido encerrado en un recipiente ejerce fuerzas contra las paredes del mismo. El valor de la presión en un punto se define como la razón de la fuerza dF ejercida sobre una pequeña superficie dA: presión p = dF / dA.
• Principio general de la Hidrostática: La presión en un punto cualquiera de un líquido en reposo es directamente proporcional a la densidad (δ) del líquido y a la profundidad a la que se halla el punto.
  • Con F₁ = F, F₂ = F + dF, ΣF_y = 0
  • F – (F + dF) – dm * g = 0 → dF = -dm * g
  • Como dF = dpA y m = δv, dm = δdv, dm = δAdy
  • Reemplazamos: dpA = -δ * A * dy * g → dp = -δ * g * dy
  • Reacomodando tenemos: dp / dy = -δg. Esta ecuación indica que si y aumenta, la presión p disminuye.
  • Efectuando la integración, siendo p₂ y p₁ las presiones y las alturas y₂ e y₁ respectivamente, y siendo constantes δ y g: ∫_(p1,p2)dp = -δg∫_(y1,y2)dy → p₂ – p₁ = -δg(y₂ – y₁)
  • Esta ecuación nos da la presión en un fluido de densidad uniforme.
  • Se puede expresar la presión en términos de profundidad bajo la superficie de un líquido. Tomamos el punto 1 en cualquier nivel en el fluido y sea p la presión en ese punto. Tomamos el punto 2 en la superficie del fluido, donde la presión indicamos como p_o. La profundidad del punto 1 es h = y₂ – y₁. Reemplazamos y se obtiene: p_o – p = -δgh. Ordenando: p = p_o + δgh. La ecuación indica que la presión a una profundidad h es mayor que la presión en la superficie.
• Vasos comunicantes: La presión en la parte superior de cada columna es igual a la presión atmosférica p_o. La presión solo depende de la altura, no de la forma del recipiente. En los tubos en U, la presión a la misma altura en líquidos homogéneos es igual. Para líquidos diferentes, la presión depende de las densidades de los fluidos.
• Principio de Pascal: La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a todas las partes del fluido y las paredes del recipiente. p_a = p_b → F_a / A_a = F_b / A_b
• Principio de Arquímedes: Un cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido es impulsado hacia arriba por una fuerza de igual magnitud al peso del fluido desplazado por el cuerpo. Empuje E = δ_liq * g * h * A, donde h * A = volumen del cuerpo sumergido. Por consiguiente, δ * g * h * A es el peso de un volumen de fluido igual al volumen del cuerpo, es decir, el peso del fluido desplazado.
• Presión manométrica: El tubo en forma de U que contiene un líquido (Hg), uno de los extremos está abierto a la atmósfera y el otro conectado al sistema (tanque) cuya presión se quiere medir. Teniendo en cuenta la ecuación p₂ – p₁ = -δg(y₂ – y₁), p₂ = presión atmosférica = p_o, P = presión absoluta = p₁. Por lo tanto, como está en equilibrio el sistema: P = p_o + δ_Hg * g * h. Presión manométrica: p_m = P – p_o → p_m = δ_Hg * g * h.
• Barómetro – Torricelli: Barómetro de Hg inventado por Torricelli para medir la presión atmosférica. Un tubo se llena con mercurio, se invierte y se introduce en un recipiente con Hg. La presión en el espacio superior es igual a 0, es decir, P₂ = 0. La ecuación p₂ – p₁ = -δg(y₂ – y₁) queda: 0 – p₁ = -δg(y₂ – y₁). La presión a medir es la atmosférica: p_atm = δ_Hg * g * h, donde h (76 cm) es la altura de la columna de Hg del recipiente.
• Fuerza contra un dique: La altura dentro de un dique de ancho w es H. Determine la fuerza resultante ejercida por el agua sobre el dique.
  • Presión a una profundidad h: P = δgh = δg(H – y)
  • Fuerza de un elemento horizontal sobre la cortina: F = PdA = δg(H – y)wdy
  • La fuerza total es: F = ∫PdA = ∫_(0,H) δg(H – y)wdy = ½δgwH²

Hidrodinámica

• Número de Reynolds: N_re = Dvδ / η
  • D: diámetro del tubo
  • v: velocidad del fluido
  • δ: densidad
  • η: coeficiente de viscosidad
  • 2300 > re: laminar
  • 2300 ≤ re ≤ 10⁴: transición
  • 10⁴ ≤ re: turbulento
• Ecuación de continuidad: Consideraciones iniciales:
  • Fluido incompresible (δ = constante)
  • Flujo ideal