Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

|^b_a f(x)dx= lim_h→∞ ∑ⁿ_i=1 f(x_i*) . ∆x = lim_h→∞ ∑ⁿ_i=1 f(a + (b-a)/n) . (b-a)/n

Donde:

• f es la función integrando.
• x_i* se toma como el extremo derecho o superior del i-ésimo subintervalo.
• x_i = x_i* = a + i∆x = a + i(b-a)/n

Integración por Partes

Este método se utiliza generalmente cuando el integrando es un producto entre dos funciones, f(x) y g(x).

Partiendo de la regla del producto para derivadas:

d[f(x) . g(x)]/dx = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)

Multiplicando por dx:

d[f(x) . g(x)] = f'(x) . g(x) dx + f(x) . g'(x) dx

Integrando:

∫d[f(x) . g(x)] = ∫f'(x) . g(x) dx + ∫f(x) . g'(x) dx

La integral y el diferencial se anulan por ser procesos opuestos:

f(x) . g(x) = ∫f'(x) . g(x) dx + ∫f(x) . g'(x) dx

Si hacemos u = f(x) y v = g(x), entonces du = f'(x) dx y dv = g'(x) dx. Sustituyendo:

u . v = ∫v . du + ∫u . dv

Despejando ∫u . dv:

∫u . dv = u . v – ∫v . du

Integral Indefinida

F(x) es una antiderivada o primitiva de f(x) si F'(x) = f(x) para todo x ∈ Dom_f.

Al conjunto de todas las antiderivadas o primitivas de f(x) se le denomina integral indefinida de f(x) y se denota como:

∫f(x) dx = F(x) + C

Donde C es la constante de integración. Nótese que:

D[F(x) + C] = F'(x) = f(x)

Integral Definida y Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

TFC – Parte 1

Sea f: D ⊂ R → R definida en [a, b] ⊂ D. Existe una función g, definida como g(x) = ∫^x_a f(t) dt, con a ≤ x ≤ b, continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), y se cumple que g'(x) = f(x).

Demostración

g(x) = ∫^x_a f(t) dt

g(x+h) = ∫^x+h_a f(t) dt

[g(x+h) – g(x)]/h = [∫^x+h_a f(t) dt – ∫^x_a f(t) dt]/h

= [∫^x+h_a f(t) dt + ∫^a_x f(t) dt]/h

= [∫^x_a f(t) dt + ∫^x+h_a f(t) dt]/h (invirtiendo los límites de integración)

= [∫^x+h_x f(t) dt]/h

Suponiendo que h > 0 (para el otro lado se procede de manera similar), existen u, v ∈ [x, x+h] tales que m = f(u) = mínimo absoluto de f en [x, x+h] y M = f(v) = máximo absoluto de f en [x, x+h].

Teniendo en cuenta la propiedad 8 de las integrales definidas:

m . h ≤ ∫^x+h_x f(t) dt ≤ M . h

f(u) . h ≤ ∫^x+h_x f(t) dt ≤ f(v) . h

Multiplicando por 1/h:

f(u) ≤ (1/h) ∫^x+h_x f(t) dt ≤ f(v)

f(u) ≤ [g(x+h) – g(x)]/h ≤ f(v)

Tomando el límite cuando h → 0:

lim_h→0 f(u) ≤ lim_h→0 [g(x+h) – g(x)]/h ≤ lim_h→0 f(v)

Cuando h → 0, u → x y x+h → x. Entonces, por el teorema del emparedado:

f(x) ≤ g'(x) ≤ f(x)

Por lo tanto, g'(x) = f(x).

TFC – Parte 2 (Regla de Barrow)

Si f es una función continua en [a, b], entonces:

∫^b_a f(x) dx = F(b) – F(a)

Donde F es cualquier antiderivada de f, es decir, F'(x) = f(x).

Si f(x) ≥ 0, la integral representa el área bajo la curva en el intervalo [a, b]. Si f(x) < 0, representa la diferencia de áreas.

Demostración

Sea g(x) = ∫^x_a f(t) dt. Entonces g'(x) = f(x), lo que significa que g(x) es una primitiva de f(x).

Sea F(x) otra primitiva de f(x). Entonces F(x) = g(x) + C, donde C es una constante.

F(b) – F(a) = [g(b) + C] – [g(a) + C] = g(b) – g(a)

= ∫^b_a f(t) dt – ∫^a_a f(t) dt

Como ∫^a_a f(t) dt = 0, entonces:

F(b) – F(a) = ∫^b_a f(t) dt

Por lo tanto, ∫^b_a f(x) dx = F(b) – F(a).

Esto establece que si conocemos una antiderivada F de f, entonces podemos evaluar la integral de f(x) desde a hasta b simplemente calculando la diferencia de los valores de F en los extremos del intervalo [a, b].

Teorema del Valor Medio para Integrales

Si f es continua en [a, b], entonces existe un valor c ∈ [a, b] tal que:

f(c) . (b – a) = ∫^b_a f(x) dx

O equivalentemente:

f(c) = (1/(b – a)) . ∫^b_a f(x) dx

Demostración

De la propiedad 8 de las integrales definidas, si m y M son el mínimo y el máximo absoluto de f en [a, b], respectivamente, entonces:

m(b – a) ≤ ∫^b_a f(x) dx ≤ M(b – a)

Dividiendo por (b – a):

m ≤ (1/(b – a)) . ∫^b_a f(x) dx ≤ M

Como f es continua, por el Teorema del Valor Intermedio, existe c ∈ [a, b] tal que:

f(c) = (1/(b – a)) . ∫^b_a f(x) dx

Longitud de Arco de Curva

La longitud de arco de una curva se puede aproximar mediante segmentos de recta. Considerando un segmento infinitesimal:

(dl)² = (dx)² + (dy)²

dl = √((dx)² + (dy)²)

La longitud total de la curva entre a y b es:

L = ∫^b_a √((dx)² + (dy)²)

Si la curva está parametrizada por r(t) = (f(t), g(t)), entonces r’(t) = (f'(t), g'(t)) y:

L = ∫^b_a √((f'(t))² + (g'(t))²) dt = ∫^b_a ||r'(t)|| dt

Si r: D ⊂ R → R³ y r(t) = (f(t), g(t), h(t)), entonces:

L = ∫^b_a √((f'(t))² + (g'(t))² + (h'(t))²) dt = ∫^b_a ||r'(t)|| dt

Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada y = f(x) y sus derivadas y’, y», …, yⁿ o sus diferenciales dx, dy.

Forma general (implícita): F(x, y, y’, y», …, yⁿ) = 0

Clasificación

• Orden: Es el orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
• Tipo: Ordinarias o en derivadas parciales.
• Grado: Es el exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden.
• Linealidad: Pueden ser lineales o no lineales. Una ecuación diferencial es lineal si se puede expresar de la siguiente forma:

a_n(x) . yⁿ + a_n-1(x) . y^n-1 + … + a₂(x) . y» + a₁(x) . y’ + a₀(x) . y = g(x)

Características de una ecuación diferencial lineal:

1. Los coeficientes de cada término solo dependen de x.
2. La variable dependiente (y) que representa la incógnita y todas sus derivadas son de primer grado.

Solución de una Ecuación Diferencial

Una función f definida en un intervalo I es una solución de la ecuación diferencial si, cuando se la sustituye en esta, la transforma en una identidad. Es decir, satisface:

F(x, f(x), f'(x), f»(x), …, fⁿ(x)) = 0

Ecuación Diferencial Homogénea

f(x, y) es homogénea si f(λx, λy) = λⁿ . f(x, y)

y’ = dy/dx = f(x, y)

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

N(x, y) dy = -M(x, y) dx

dy/dx = -M(x, y)/N(x, y)

Como dy/dx = f(x, y), entonces f(x, y) = -M(x, y)/N(x, y)

Si f(x, y) es homogénea, f(λx, λy) = -M(λx, λy)/N(λx, λy) = -λⁿM(x, y)/λⁿN(x, y) = -λ⁰M(x, y)/N(x, y) = -M(x, y)/N(x, y) = f(x, y)

f(x, y) es una función homogénea de grado 0. Resulta que:

f(λx, λy) = f(x, y)

Tomando λ = 1/x:

f(1, y/x) = f(x, y)

Entonces:

dy/dx = f(1, y/x)

Haciendo u = y/x, entonces y = u . x, y derivando y’ = u’ . x + u

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

u’ . x + u = f(1, u)

u’ . x = f(1, u) – u

Como u’ = du/dx:

(du/dx) . x = f(1, u) – u

∫du/(f(1, u) – u) = ∫dx/x

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Tanto M(x, y) como N(x, y) son funciones que dependen solamente de x o solamente de y, o bien son producto de funciones que dependen solamente de x o de y.

Ecuación de Bernoulli

y’ + P(x) . y = Q(x) . yⁿ

Dividiendo por yⁿ:

y’/yⁿ + P(x) . y/yⁿ = Q(x) . yⁿ/yⁿ

y’/yⁿ + P(x) . y^1-n = Q(x)

Haciendo u = y^1-n, entonces u’ = (1-n) . y^-n . y’ = (1-n) . y’/yⁿ

Despejando y’/yⁿ = u’/(1-n)

Sustituyendo en la ecuación:

u’/(1-n) + P(x) . u = Q(x)

Multiplicando por (1-n):

u’ + (1-n) . P(x) . u = (1-n) . Q(x)

Curvatura

La curvatura de una curva que representa a una función vectorial es una medida de la rapidez de cambio de la dirección de dicha curva en un punto.

K(t) = ||dT/ds|| = ||(dT/dt)/(ds/dt)|| = ||T'(t)||/||ds/dt|| = ||T'(t)||/||r'(t)||

Curva Suave

Una curva C que representa a la función r: D ⊂ R → Rⁿ en el intervalo I ⊂ D es suave si r es continua en I y además r’(t) ≠ 0 en I, excepto tal vez en los extremos.

Conclusión: La curva (parábola semicúbica) no es suave en cualquier intervalo que contenga a t = 0. Podemos observar gráficamente que para ese valor de t la curva forma un pico, entonces podemos decir que esta curva es suave por secciones (antes y después del 0).

Ejemplo: r: R → R², r(t) = (t³, t²)

Forma parametrizada: x = t³; y = t²

Desparametrizar: x = t³ → t = ∛(x); y = t² → y = (∛(x))² → y = x^2/3