Punto Fijo

Sea f:[a,b]→[a,b] una función continua. Entonces f tiene al menos un punto c∈[a,b] tal que f(c)=c. Estos puntos se llaman puntos fijos de f.

Demostración: Notar que si f:[a,b]→[a,b] entonces f(a),f(b)∈[a,b] luego a≤f(a),f(b)≤b. Definiendo la función auxiliar g(x)=f(x)-x, continua en [a,b], ésta verifica que g(a)=f(a)-a≥0 y g(b)=f(b)-b≤0.

• Si g(a)=0 entonces f(a)=a (a es un punto fijo)
• Si g(b)=0 entonces f(b)=b (b es un punto fijo)

En otro caso, g(a)>0 y g(b)<0.

Sucesiones

Definición de Sucesión Monótona

Diremos que una sucesión {Xn} es monótona si:

• Monótona creciente si Xn≤Xn+1 para todo n∈N
• Monótona decreciente si Xn+1≤Xn para todo n∈N

Sucesión Convergente

Diremos que una sucesión {Xn} de números reales es convergente a x∈R si, para todo ε>0, existe una posición N∈N tal que todos los demás Xn cumplen |Xn-x|<ε. En notación matemática: ∀ε>0, ∃N∈N : si n≥N, entonces |Xn-x|<ε.

Monótona y Acotada Converge

Una sucesión monótona creciente tiene que estar creciendo indefinidamente. Si además está acotada superiormente, los términos no pueden rebasar una cota M, luego necesariamente tienen que acercarse entre sí infinitamente y la sucesión es convergente. Sabemos que es convergente aunque no sepamos el límite.

Teorema de Stolz-Cesàro

Sea {Vn} una sucesión monótona creciente tal que lim Vn = +∞. Si:

=x∈R entonces lim

=x

Teorema del Supremo

Sea A⊂R un conjunto no vacío y sea a∈R. Decimos que:

1. a es cota superior de A si x≤a para todo x∈A
2. a es supremo de A si a es la menor de las cotas superiores
3. a es el máximo de A si a es cota superior de A y a∈A

De manera análoga se definen cota inferior, ínfimo y mínimo de un conjunto A⊂R.

Cálculo en Varias Variables

Regla de la Cadena para 2 Variables

Sea γ:I⊂R→A⊂R², γ(t)=(γ₁(t),γ₂(t)) una función diferenciable en t₀, punto interior de I, y sea f:A⊂R²→R diferenciable en (x₀,y₀)=γ(t₀), punto interior de A. Entonces, la función compuesta g:I→R, definida por g(t)=f(γ(t))=f(γ₁(t),γ₂(t)) es diferenciable en t₀ y su derivada es: g'(t₀)=D₁f(γ(t₀))γ’₁(t₀)+D₂f(γ(t₀))γ’₂(t₀).

Demostración: Como g es una función de una variable, su derivada es g'(t₀)=lim

Para calcular ese límite expresamos: g(t)-g(t₀)=f(γ(t))-f(γ(t₀))=D₁f(γ(t₀))(γ₁(t)-γ₁(t₀))+D₂f(γ(t₀))(γ₂(t)-γ₂(t₀))+(γ₁(t)-γ₁(t₀))Φ(γ(t)-γ(t₀))+(γ₂(t)-γ₂(t₀))ψ(γ(t)-γ(t₀)). Ahora se divide por t-t₀ y se calcula el límite y como Φ(0,0)=ψ(0,0)=0, se obtiene D₁f(γ(t₀))γ’₁(t₀)+D₂f(γ(t₀))γ’₂(t₀).

Vector Gradiente

Sea f:A⊂R²→R con derivadas parciales de primer orden en A. Llamaremos vector gradiente de f en (x,y)∈A a ∇f(x,y)=(D₁f(x,y),D₂f(x,y)).

Teorema de Taylor

Sea f(x) una función n-veces diferenciable en X intervalo de R y sean a,x puntos de X, entonces existe un α entre a y x tal que f(x)=f(a)+

Aplicación de la Regla de la Cadena

Sea f:A⊂R²→R diferenciable en (x₀,y₀), punto interior de A, y sea v=(v₁,v₂)∈R² un vector unitario. Entonces, la derivada direccional puede calcularse como D_vf(x₀,y₀)=(∇f(x₀,y₀)⋅v).

Demostración: Por definición de la derivada direccional D_vf(x₀,y₀)=

f(x₀+hv₁,y₀+hv₂) puede considerarse como la composición de f(x,y) con la función γ(h)=(x₀+hv₁,y₀+hv₂). Luego, si llamamos g(h)=f(γ(h)), entonces D_vf(x₀,y₀)=

Luego, por regla de la cadena, la derivada de g es, (tomando h=0)→g'(0)=D₁f(x₀,y₀)v₁+D₂f(x₀,y₀)v₂.

Teorema de Taylor para 2 Variables

Sea f:A⊂R²→R una función con derivadas parciales hasta segundo orden continuas en A. Sean (x₀,y₀),(x,y) puntos de A. Entonces, existe un α entre x₀ y x y un β entre y₀ e y tales que (tomando α=x₀+μh, β=y₀+μk para un cierto valor de μ∈(0,1))→ fórmula extensa.

Demostración: Sea γ:[0,1]⊂R→R², γ(t)=(x₀+th,y₀+tk) la parametrización del segmento en R² que une los puntos (x₀,y₀) y (x₀+h,y₀+k). Consideramos la función compuesta g:[0,1]⊂R→R, g(t)=f(γ(t)). Como g es una función de una variable dos veces diferenciable, aplicando el teorema de Taylor y deduciendo que existe un μ∈(0,1) se tiene que g(1)=g(0)+g'(0)+(1/2)g»(μ). Se sustituye g(0) por f(x₀,y₀) y g(1) por f(x₀+h,y₀+k). Para calcular g'(t) hay que aplicar la regla de la cadena y para calcular g»(t) se deriva g'(t) y se vuelve a aplicar la regla de la cadena quedando g»(μ)=D₁₁f(x₀+μh,y₀+μk)h²+2D₁₂f(x₀+μh,y₀+μk)hk+D₂₂f(x₀+μh,y₀+μk)k².

Extremos Locales

Condición Necesaria para Extremos en 1 Variable

Sea f:X⊂R→R diferenciable en x₀, punto interior de X. Si x₀ es un extremo local de f, entonces f'(x₀)=0.

Demostración: Supongamos que x₀ es un mínimo local de f. Entonces f(x₀+h)-f(x₀) es positivo para valores de h menores que δ>0. Para valores positivos de estos h tenemos, tomando límites,

→f'(x₀)≥0

El límite existe y vale f'(x₀) pues f es diferenciable. Para valores negativos de estos h tenemos que, tomando límites,

→f'(x₀)≤0

Como f'(x₀)≥0 y f'(x₀)≤0, f'(x₀) tendrá que ser necesariamente 0.

Definición de Extremo

Sea f:X⊂R→R. Diremos que x₀, punto interior de X, es un máximo local (ídem mínimo local) de f en X si existe un δ>0 tal que f(x₀)≥f(x) (ídem f(x₀)≤f(x)) para todo x∈(x₀-δ,x₀+δ).

Condición Necesaria para Extremos en 2 Variables

Sea f:A⊂R²→R diferenciable en (x₀,y₀), punto interior de A. Si (x₀,y₀) es un extremo local de f, entonces D₁f(x₀,y₀)=D₂f(x₀,y₀)=0.

Demostración: Sea v=(v₁,v₂)∈R² un vector unitario cualquiera y consideremos la función γ(t)=(x₀+tv₁,y₀+tv₂). Como γ(0)=(x₀,y₀), punto interior de A, existe un δ>0 tal que si |t|<δ, entonces γ(t)∈A. Sea g(t)=f(γ(t)). Como f tiene un extremo local en (x₀,y₀), g tiene un extremo local en t=0. Por la condición necesaria de extremo en una variable, g'(0)=0. Por la regla de la cadena, g'(t)=D₁f(γ(t))v₁+D₂f(γ(t))v₂, luego 0=g'(0)=D₁f(x₀,y₀)v₁+D₂f(x₀,y₀)v₂=(∇f(x₀,y₀)⋅v). Como el vector (∇f(x₀,y₀)⋅v)∈R² es ortogonal a cualquier v∈R² unitario, (∇f(x₀,y₀)⋅v)=(0,0) y, así, D₁f(x₀,y₀)=D₂f(x₀,y₀)=0.

Multiplicadores de Lagrange

Sean f,g:A⊂R²→R funciones con derivadas parciales continuas en A. Si (x₀,y₀) es un extremo de f condicionado a la restricción g(x,y)=0, entonces existe un λ∈R tal que

f(x₀,y₀)=λ

g(x₀,y₀), es decir, D₁f(x₀,y₀)=λD₁g(x₀,y₀) y D₂f(x₀,y₀)=λD₂g(x₀,y₀).

Demostración: Sea γ:J⊂R→A, γ(t)=(γ₁(t),γ₂(t)) una parametrización de la curva descrita por los puntos que satisfacen la restricción g(x,y)=0. Por lo tanto, g(γ(t))=0 para todo t∈J. Sea t₀∈J tal que γ(t₀)=(x₀,y₀). Consideremos la función compuesta h(t)=f(γ(t)), t∈J. Como f tiene en (x₀,y₀) un extremo condicionado a la restricción g(x,y)=0, la función h tiene en t₀ un extremo local. Por la regla de la cadena tenemos que

f(γ(t₀))⋅γ'(t₀)=

f(x₀,y₀)⋅γ'(t₀)=0. Por otro lado, puesto que g(γ(t))=0 para todo t∈J, derivando por la regla de la cadena y en particular para t=t₀ tenemos

g(γ(t₀))⋅γ'(t₀)=

g(x₀,y₀)⋅γ'(t₀)=0, por lo tanto los vectores

f(x₀,y₀) y ∇g(x₀,y₀) son ortogonales a γ'(t₀).