Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) y Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Fórmulas:
S = So + v.t (Ecuación de posición en MRU)
Vm = S.total / t.total (Velocidad media)
S = So + Vo.t + 1/2.a.t² (Ecuación de posición en MRUA)
V = Vo + a.t (Ecuación de velocidad en MRUA)
V² = Vo² + 2.a.S (Ecuación de velocidad-espacio en MRUA)
V = Vo – 9,8.t (Ecuación de velocidad en caída libre, considerando la aceleración de la gravedad como -9.8 m/s²)
h = ho + Vo.t + 1/2.(-9,8).t² (Ecuación de altura en caída libre)
V² = Vo² + 2.a.S (Ecuación de velocidad-espacio en MRUA, aplicable también en caída libre)
Consideraciones:
Espacio inicial (So): En algunos casos, el espacio inicial puede considerarse como la distancia total recorrida.
Dirección de la velocidad inicial (Vo): Se considera positiva (+) cuando el movimiento es hacia la derecha o hacia arriba, y negativa (-) cuando es hacia la izquierda o hacia abajo.
Descontar tiempo en la velocidad: En problemas de caída libre, si se proporciona un tiempo específico, se debe ajustar la ecuación de velocidad. Por ejemplo, si V = 60 – 9,8.t y se da un tiempo de 4 segundos, pero se indica que el evento ocurre 2 segundos antes, la ecuación se ajustaría a V = 60 – 9,8.(4-2).
Tiempo de subida y bajada: En un tiro vertical, el tiempo que tarda un objeto en subir es el mismo que tarda en bajar (la mitad del tiempo total).
Ecuación cuadrática: En algunos casos, se puede requerir el uso de la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones de segundo grado: X = (-b ± √b² – 4.a.c) / 2a
Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Fórmulas:
Velocidad angular (W): W = rpm . 2π / 60 = rad/s
Periodo (T): T = 2π / W = s (tiempo que tarda en dar una vuelta)
Frecuencia (f): f = 1 / T = Hz (Hertz)
Velocidad lineal (V): V = W . R = m/s
Aceleración centrípeta/normal (Ac): Ac = V² / R = m/s²
Ángulo de recorrido (θ): θ = θo + W.t = rad (para calcular las vueltas)
Espacio recorrido en un tiempo (S): S = θ . R = m
Consideraciones:
Relación entre vueltas y radianes: 1 vuelta = 2π rad; X vueltas = X . 2π rad
Diámetro y radio: El diámetro es la longitud de la circunferencia completa; el radio es la mitad del diámetro.
Conversión de unidades: Para pasar de velocidad angular (W) en rad/s a rpm: W (rad/s) . 60 / 2π = rpm. Para pasar de cm a m: cm / 100 = m
Ejemplos:
Ejemplo 1: Un móvil en MCU da 280 vueltas en 20 minutos. Si la circunferencia que describe tiene un radio de 80 cm, hallar la velocidad angular.
80 cm = 0,8 m
20 minutos = 1200 s
W = (280 vueltas . 2π rad/vuelta) / 1200 s = 1,47 rad/s
Ejemplo 2: Una bicicleta recorre 15 km en 30 minutos. Si el radio de las ruedas es de 40 cm, calcular:
a) La velocidad angular y lineal de un punto de la cubierta:
15 km = 15000 m
30 minutos = 1800 s
S = So + Vo.t => 15000 m = 0 + Vo . 1800 s => Vo = 8,33 m/s = V
R = 40 cm = 0,4 m
V = W . R => 8,33 m/s = W . 0,4 m => W = 8,33 m/s / 0,4 m = 20,83 rad/s
b) El número de vueltas:
θ = θo + W.t => θ = 0 + 20,83 rad/s . 1800 s = 37494 rad
Número de vueltas = 37494 rad / 2π rad/vuelta ≈ 5968 vueltas
Ejemplo 3: Un automóvil cuya velocidad es de 72 km/h recorre el perímetro de una pista circular en 60 segundos. Determinar el radio.
72 km/h = 20 m/s
T = 60 s
T = 2π / W => 60 s = 2π / W => W = 2π / 60 s = 0,10 rad/s
V = W . R => 20 m/s = 0,10 rad/s . R => R = 20 m/s / 0,10 rad/s = 200 m
Fuerzas
Fórmulas:
F – Fr = m.a (Segunda Ley de Newton, donde F es la fuerza aplicada, Fr es la fuerza de rozamiento, m es la masa y a es la aceleración)
N = P = m.g (Fuerza normal, donde N es la normal, P es el peso, m es la masa y g es la aceleración de la gravedad)
Fr = μ . N (Fuerza de rozamiento, donde μ es el coeficiente de rozamiento)
Consideraciones:
Conversión de unidades: Para pasar de gramos a kilogramos: g / 1000 = kg
Aceleración negativa: Si se pide calcular la velocidad en sentido contrario al movimiento, la aceleración es negativa: F = m.(-a)
Velocidad constante: Si la velocidad es constante, la aceleración es 0 m/s² y la fuerza total es 0 N.
Ejemplos:
Ejemplo 1: Una bola de acero de 1,5 kg se desliza sobre un plano horizontal a una velocidad de 4 m/s. Si el coeficiente de rozamiento entre la bola y el suelo es 0,2, calcular:
a) La fuerza normal (N) entre la bola y la superficie de deslizamiento:
N = P = m.g = 1,5 kg . 9,8 m/s² = 14,7 N
b) La fuerza de rozamiento entre los dos:
Fr = μ . N = 0,2 . 14,7 N = 2,94 N
c) La aceleración producida por la fuerza de rozamiento:
-Fr = m.a => -2,94 N = 1,5 kg . a => a = -2,94 N / 1,5 kg = -1,96 m/s²
d) El tiempo que tarda en pararse:
V = Vo + a.t => 0 = 4 m/s – 1,96 m/s² . t => t = 4 m/s / 1,96 m/s² = 2 s
Ejemplo 2: Sobre un cuerpo de 30 kg que se mueve inicialmente a una velocidad de 8 m/s actúa una fuerza constante de 24 N en la dirección del movimiento. Supuesto que no hay rozamiento, calcula su velocidad al cabo de 15 segundos si el sentido de la fuerza es:
a) El de la velocidad inicial:
F = m.a => 24 N = 30 kg . a => a = 24 N / 30 kg = 0,8 m/s²
V = Vo + a.t => V = 8 m/s + 0,8 m/s² . 15 s = 20 m/s
b) Contrario a la velocidad inicial:
V = Vo – a.t => V = 8 m/s – 0,8 m/s² . 15 s = -4 m/s (cambia de dirección)
Ejemplo 3: Un vagón de 2000 kg se desplaza por una vía horizontal con una velocidad inicial de 1,2 m/s. Se intenta detenerlo tirando de él hacia atrás mediante una cuerda con una fuerza de 100 N. Si los rozamientos equivalen a una fuerza constante de 60 N, ¿qué espacio recorrerá el vagón hasta detenerse?
Fuerza total = -60 N – 100 N = -160 N
-160 N = 2000 kg . a => a = -160 N / 2000 kg = -0,08 m/s²
V² = Vo² + 2.a.S => 0² = 1,2² + 2 . (-0,08) . S => 0 = 1,44 – 0,16 . S => S = 1,44 / 0,16 = 9 m
Tensiones
Fórmulas:
T – P = m.a (Tensión en una cuerda, donde T es la tensión, P es el peso, m es la masa y a es la aceleración)
P = m.g (Peso)
Consideraciones:
Fuerza = Tensión: En problemas de tensiones, la fuerza aplicada puede ser equivalente a la tensión en la cuerda.
Fr = Peso: La fuerza de rozamiento puede ser equivalente al peso en algunos casos.
Sistemas de ecuaciones: En sistemas con múltiples tensiones y masas, se pueden plantear ecuaciones como (T1 – P1 = m1.a), (T2 – P2 = m2.a), (T1 – Fr1 = m1.a), etc. Para calcular la tensión de las cuerdas, se puede sustituir una de las ecuaciones en la otra.
Ejemplos:
Ejemplo 1: Una grúa eleva una masa de 8 kg mediante un cable que soporta una tensión de 120 N.
a) ¿Cuál es la máxima aceleración con que se puede elevar?
P = m.g = 8 kg . 9,8 m/s² = 78,4 N
T – P = m.a => 120 N – 78,4 N = 8 kg . a => a = 41,6 N / 8 kg = 5,2 m/s²
b) Si se eleva con una a = 2 m/s², ¿qué tensión soporta el cable?
T – P = m.a => T – 78,4 N = 8 kg . 2 m/s² => T = 78,4 N + 16 N = 94,4 N
Ejemplo 2: Las puertas de elevación automática están basadas en un sistema de poleas simple. Este sistema consiste en unir la puerta a un extremo de la polea y un contrapeso al otro. En el lado del contrapeso se conecta también el motor encargado de subir la puerta. ¿Qué fuerza debe hacer un motor enganchado a una puerta de 1200 kg de masa si su contrapeso es de 100 kg y suponemos que la puerta asciende con una velocidad constante (a = 0 m/s²)?
Peso del contrapeso: P = m.g = 100 kg . 9,8 m/s² = 980 N
Peso de la puerta: Pp = 1200 kg . 9,8 m/s² = 11760 N
(P + F) – T = m.a (contrapeso) => (980 N + F) – T = 100 kg . 0 m/s²
T – Pp = m.a (puerta) => T – 11760 N = 1200 kg . 0 m/s² => T = 11760 N
Sustituyendo T en la primera ecuación: 980 N + F – 11760 N = 0 => F = 11760 N – 980 N = 10780 N
Principio de Conservación de la Energía, Energía Mecánica (Em), Potencial (Ep) y Cinética (Ec)
Fórmulas:
Em = Ep + Ec (Energía mecánica)
Ep = m.g.h (Energía potencial gravitatoria)
Ec = 1/2.m.v² (Energía cinética)
Consideraciones:
Unidades: La energía se mide en julios (J).
Conservación de la energía: En un sistema aislado, la energía mecánica se conserva (Em = constante). Esto implica que la energía potencial se puede transformar en cinética y viceversa.
Conversión de unidades: 1 kJ = 1000 J
Simplificación de la masa: Si no se proporciona la masa en un problema de conservación de la energía, se puede simplificar en ambos lados de la ecuación.
Conversión de gramos a kilogramos: g / 1000 = kg
Ejemplos:
Ejemplo 1: Desde una ventana que está a 15 m de altura, lanzamos hacia arriba una pelota de 500 g con una velocidad de 20 m/s. Calcular:
a) Su energía mecánica:
500 g = 0,5 kg
Em = Ep + Ec = m.g.h + 1/2.m.v² = 0,5 kg . 9,8 m/s² . 15 m + 1/2 . 0,5 kg . (20 m/s)² = 73,5 J + 100 J = 173,5 J
b) Hasta qué altura subirá:
En el punto más alto, toda la energía cinética se convierte en potencial: Ec = Ep
100 J = 0,5 kg . 9,8 m/s² . h => h = 100 J / (0,5 kg . 9,8 m/s²) = 20,41 m
Altura total = 20,41 m + 15 m = 35,41 m
c) A qué velocidad pasará por delante de la ventana cuando baje:
En este punto, la energía mecánica es la misma que al inicio: Em = 173,5 J
Em = Ep + Ec => 173,5 J = 0,5 kg . 9,8 m/s² . 15 m + 1/2 . 0,5 kg . v² => v = 20 m/s
d) A qué velocidad llegará al suelo:
Al llegar al suelo, toda la energía potencial se ha convertido en cinética.
Em = Ec => 173,5 J = 1/2 . 0,5 kg . v² => v = √(173,5 J . 2 / 0,5 kg) = 26,34 m/s
Trabajo y Potencia
Trabajo (W)
Fórmulas:
W = F . Δx . cos θ (Trabajo realizado por una fuerza, donde F es la fuerza, Δx es el desplazamiento y θ es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento)
Unidades:
Julios (J)
1 kilojulio (kJ) = 1000 J
1 kilocaloría (kcal) = 1000 cal
1 kilovatio-hora (kWh) = 1000 J durante 1 hora = 1000 J . 3600 s = 3600000 J
Consideraciones:
Conversión de unidades: Para convertir de calorías a julios, se puede usar la relación 1 cal ≈ 4,184 J. Por ejemplo, 3000 cal . 4,184 J/cal ≈ 12552 J
Trabajo de la fuerza normal (WN): WN = F . Δx . cos 90° = 0 J (ya que la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento)
Trabajo del peso (Wp): Wp = F . Δx . cos 90° = 0 J (si el desplazamiento es horizontal)
Trabajo de la fuerza de rozamiento (WFr): WFr = F . Δx . cos 180° = -F . Δx (ya que la fuerza de rozamiento se opone al desplazamiento)
Trabajo en altura: Cuando el movimiento es vertical, la fuerza F es igual al peso P = m.g
Ejemplos:
Ejemplo 1: Un cuerpo de 2 kg de masa se encuentra sobre una superficie horizontal. Aplicamos sobre él una fuerza de 15 N durante un trayecto de 2 m. Sabiendo que hay una fuerza de rozamiento de 5 N, calcular:
a) Trabajo de la fuerza aplicada:
W = F . Δx . cos θ = 15 N . 2 m . cos 0° = 30 J
b) Trabajo de la fuerza de rozamiento:
WFr = 5 N . 2 m . cos 180° = -10 J
Ejemplo 2: Sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúa una fuerza de 100 N que forma un ángulo de 30° con la horizontal que hace que se desplace 5 m. Calcula el trabajo realizado por la normal.
N = P = m.g = 10 kg . 9,8 m/s² = 98 N
WN = F . Δx . cos 90° = 98 N . 5 m . cos 90° = 0 J
Potencia (P)
Fórmulas:
P = W / t (Potencia, donde W es el trabajo realizado y t es el tiempo)
P = F . v (Potencia, donde F es la fuerza y v es la velocidad)
Unidades:
Vatios (W)
1 m³ = 1000 kg
Ejemplos:
Ejemplo 1: Una grúa eleva 1 tonelada métrica (Tm) de hierro a una altura de 3 m en 10 segundos. ¿Qué potencia desarrolla?
