Propiedades de un Cuerpo

Las propiedades de un cuerpo se dividen en dos operaciones: suma y producto.

Suma

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

• Asociatividad: (x + y) + z = x + (y + z)
• Conmutatividad: x + y = y + x
• Elemento neutro: Existe un único 0 ∈ ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x
• Simetría: Para cada x ∈ ℝ, existe un (-x) ∈ ℝ tal que x + (-x) = (-x) + x = 0

Producto

Para todo x, y, z que pertenecen a los números reales (x, y, z ∈ ℝ):

• Asociatividad: (x ⋅ y) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z)
• Conmutatividad: x ⋅ y = y ⋅ x
• Elemento neutro: Existe un único 1 ∈ ℝ tal que x ⋅ 1 = 1 ⋅ x = x
• Simetría: Para cada x ∈ ℝ*, existe x^-1 tal que x ⋅ x^-1 = x^-1 ⋅ x = 1

Entorno

Se llama entorno (abierto o cerrado) al intervalo que va desde ]x₀ – r, r + x₀[, donde r es el radio del intervalo, un número estrictamente positivo y mayor a cero, ya que su longitud es el doble de su radio. U_x0 = {x / |x – x₀| < r}

Ejemplo de Entorno

Si se representa un entorno como: ax² + bx ≤ 0

x(ax + b) ≤ 0

1° ax + b ≤ 0 → x ≥ –b/a

x ≥ 0, x ≥ 0

2° ax + b ≥ 0 → x ≤ –b/a

x ≥ 0, x > 0

S = [0, ∞[ ∪ [0, ∞[

Vectores

• Neutro: Existe un único vector 0 ∈ ℝ² tal que para cualquier vector v ∈ ℝ², v + 0 = 0 + v
• Opuesto: Para cada vector v ∈ ℝ², existe un vector –v ∈ ℝ² tal que v + (-v) = (-v) + v = 0
• Ángulo Ortogonal: 90° o 270° (u ⋅ v = 0)
• Ángulo Paralelo: 0° o 180° (cos 1, -1)

Valor Absoluto

Se llama valor absoluto sobre ℝ a la aplicación de ℝ en ℝ⁺ denotada y definida por:

x → |x|

Si x ≥ 0 → |x| = x

Si x < 0 → |x| = –x

El dominio del valor absoluto son todos los números reales (ℝ). El codominio son todos los números reales estrictamente positivos. La regla de correspondencia del valor absoluto está dada por x → |x|.

con x ≥ 0 → |x| = x

x < 0 → |x| = –x

Propiedades del Valor Absoluto

• |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|
• |x + y| ≤ |x| + |y|
• -|x| ≤ x ≤ |x|
• |x| > 0

Ejemplo:

|x + y| ≤ |x| + |y| → |-8 + 4| ≤ |-8| + |4|

|-4| ≤ |8| + |4|

4 ≤ 8 + 4

4 ≤ 12

Cotas

Se dice que un conjunto está acotado si y solo si está acotado superior e inferiormente.

• Se dice que A está acotado superiormente si existe K ∈ ℝ tal que K ≥ x para todo x ∈ A.
• Se dice que A está acotado inferiormente si existe K ∈ ℝ tal que K ≤ x para todo x ∈ A.

Extremos

• Se llama extremo superior de A al valor M, que es la menor cota superior de A.
• Se llama extremo inferior de A al valor m, que es la mayor cota inferior de A.

Ejemplo:

|2x – a| < a, a > 0

–x < |x| < x → |2x – a| < a

–a < |2x – a| < a

a – a < 2x – a + a < a + a

½ ⋅ 0 < ½ ⋅ 2x < 2a ⋅ ½

0 < x < a

Es un conjunto no acotado ni superior ni inferiormente.

Representación de un Entorno

Si partimos de la definición de entorno, donde se dice que se llama entorno (de centro a y radio r) a todo intervalo que va desde ]x₀ – r, x₀ + r[, entonces si a es un punto cualquiera de la recta y r es el radio (un número positivo):

]a – r, a + r[

Vectores Paralelos y Rectas Perpendiculares

Vector Paralelo a una Recta

Dada la recta ax + by + c = 0

n = (Φ, β) → a = b

n = (-b, a), -β = -Φ → -Φ = –b

Un vector paralelo a la recta dada es m // n = 2(-b, a) = (-2b, 2a).

Vector Paralelo a otra Recta

r₂ = ay = bx + c

t = (Φ; β) = (-a, –b)

–bx + ay – c = 0, -Φ = a → -Φ = -Φ = –a

β = –b

Un vector paralelo a la recta dada es r // t = (-1)(-a; –b) = (a, b).

Condición de Perpendicularidad entre Rectas

Para que r₁ y r₂ sean perpendiculares, se debe cumplir que a₁/b₁ = a₂/b₂ = k. En este caso, –b/a ≠ –a/-b, por lo tanto, r₁ y r₂ no son perpendiculares.

Función Inversa

Si y = f(x) resulta x = y(y), se dice que f y y son funciones inversas y se denota a f^-1(x).

Restricción del Dominio de una Función

Restringir el dominio de una función es convertir una función no inyectiva en una función inyectiva al modificar el dominio que le corresponde. Su objetivo es salvar la discontinuidad de una función modificando la regla de definición en el punto de discontinuidad.

Ejemplo:

f(x) = 2x si x ≠ 3

f(x) = 4 si x = 3

f no es continua en x = 3 porque:

• f(3) = 4
• lim _x→3 f(x) = 2 ⋅ (3) = 6
• f(3) ≠ lim _x→3 f(x)
• f(1) = 6

Posee una discontinuidad evitable. Para salvar esta discontinuidad, se modifica el dominio de la función:

f(x) = 2x si x ≠ 3

f(x) = x + 3 si x = 3

Continuidad de una Función Real de Variable Real

Una función real de variable real es continua en un punto a de su dominio si y solo si:

• Existe f(a)
• Existe lim _x→a f(x)
• f(a) = lim _x→a f(x)

Si existe una asíntota vertical, la función es continua en todo x excepto para los x que anulan el denominador de la función.

Forma de la Derivada de 1/g

La forma de la derivada de 1/g en un punto x₀ de su dominio, siendo g: 0 ⊂ ℝ → ℝ, es:

f(x) = u/v → (u ⋅ v – u ⋅ v‘) / v² → (0 ⋅ g – 1 ⋅ g‘) / g² → –g‘/g²

Recta Tangente a una Curva

Se define como tangente a la gráfica de una función f en un punto del mismo a la recta que pasa por dicho punto y cuya pendiente es la derivada de la función en el punto correspondiente.

(x, y) = (x₀, f(x₀)) + λ(1, f‘(x₀)) con λ ∈ ℝ

Definición de Derivada de una Función en un Punto

Dado f: D ⊂ ℝ → ℝ y x₀ + h elementos del dominio, si existe el límite cuando h tiende a 0, se dice que f es derivable en x₀ y se denota f‘(x₀).

f‘(x₀) = lim _h→0 (f(x₀ + h) – f(x₀)) / h

Función Real de Variable Real

Se llama función real de variable real a cualquier relación f donde D ⊂ ℝ y C ⊂ ℝ. Decimos que f es una función si y solo si a cada elemento del dominio le corresponde una única imagen del codominio. Cada elemento del dominio está relacionado con un único elemento del codominio. El seno es una función periódica de período 2π al igual que el coseno. El conjunto de imagen es [-1, 1] y su período es p = 2π/b.

Asíntota a la Gráfica de una Función

Se dice que la recta y = kx + b es la asíntota a la gráfica de la función si y solo si lim _x→∞ (f(x) – y) = 0.

Puntos Máximos o Mínimos

Los puntos máximos o mínimos son los puntos en los cuales la recta tangente a la gráfica de la función se anula. Su condición necesaria para la existencia de máximo o mínimo local o relativo de una función es que la primera derivada de dicha función se anule. Condición suficiente: si f‘(x) = 0 y f»(x) ≠ 0, se tiene que:

• Si f»(a) < 0 → Máximo local o relativo en x = a
• Si f»(a) > 0 → Mínimo local o relativo en x = a

Regla de L’Hôpital

Sean f y g dos funciones derivables en un entorno reducido de un punto a, g‘(x) ≠ 0 en todo punto x de dicho entorno. Si lim _x→a f(x) = 0, lim _x→a g(x) = 0 y lim _x→a f‘(x)/g‘(x) = l, entonces existe lim _x→a f(x)/g(x) = l.

Sea f y g derivables en todos los puntos x ≠ a y g‘(x) ≠ 0. Si lim _x→a f(x) = ∞, entonces lim _x→a f‘(x)/g‘(x) = l.

Conjunto Acotado

Se dice que un conjunto está acotado si y solo si está acotado superior e inferiormente. Se dice que A está acotado superiormente si existe K ∈ ℝ tal que K ≥ x para todo x ∈ A. Se dice que A está acotado inferiormente si existe k ∈ ℝ tal que k ≤ x para todo x ∈ A.

Función Real de Variable Par e Impar

Sea la función f definida para todo x ∈ E (E ⊂ ℝ):

• Si para todo x ∈ E, f(x) = f(-x), entonces f es una función par.
• Si para todo x ∈ E, f(x) = –f(-x), entonces f es una función impar.

Obtención del Ángulo entre Vectores

Ejemplo:

u ⋅ v = (1) ⋅ (1) + (2) ⋅ (2) + (3) ⋅ (3)

|u| = √(1² + 1² + 1²) = √3

|v| = √(2² + 2² + 2²) = √12

cos θ = |u ⋅ v| / (|u| ⋅ |v|)

Tipos de Funciones

Función Inyectiva

Para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ ≠ x₂, entonces f(x₁) ≠ f(x₂).

Función Sobreyectiva

Para todo y ∈ C, existe x ∈ D tal que y = f(x).

Función Biyectiva

Para ser biyectiva, debe cumplir ser inyectiva y sobreyectiva.

Función Valor Absoluto

y = |x|

x si x ≥ 0

–x si x < 0

Función Homográfica

Es aquella definida por f(x) = (ax + b) / (cx + d), donde:

cx + d = 0, Dominio: ℝ

cx = –d, Codominio: ℝ – {-d/c}

x = –d/c

• Asíntotas verticales: lim _x→a = ∞. Tiene asíntota vertical en x = –d/c.
• Asíntota horizontal: lim _x→∞ = ∞ (indeterminado).