Rectas Tangentes a una Circunferencia desde un Punto Exterior
1º.- Unir el punto P con el centro O de la circunferencia y hallar la mediatriz del segmento PO, que cortará en M a dicho segmento.
2º.- Con centro en M y radio MO, trazar un arco auxiliar que cortará a la circunferencia dada en los puntos T1 y T2.
3º.- Las rectas determinadas al unir los puntos T1-P y T2-P son las tangentes pedidas.
Rectas Tangentes Exteriores a Dos Circunferencias
1º.- Unir los centros O1 y O mediante un segmento y hallar su mediatriz, punto M.
2º.- Con centro en M y radio MO1 = MO, trazar una circunferencia.
3º.- Con centro en la circunferencia de centro O (la mayor), trazamos una circunferencia de radio la diferencia de los radios de las circunferencias dadas, el de mayor menos el de la menor (R-r). Esta corta a la anterior en dos puntos. Unimos los puntos de corte con el centro O de la circunferencia de radio R y prolongamos hasta que corten a la circunferencia de mayor radio en los puntos T1 y T2, que son los puntos de tangencia.
4º.- Por O1 trazamos paralelas a OT1 y a OT2 y determinamos los otros puntos de tangencia T’1 y T’2 de la otra circunferencia.
5º.- Unimos los puntos de tangencia y obtenemos las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias.
Circunferencias Tangentes a una Recta que Pase por un Punto Dado P y Tengan un Radio R Dado
1º.- Trazamos una paralela a la recta dada r a una distancia R.
2º.- Con centro en P trazamos una circunferencia de radio R que corta a la paralela en los puntos O y O1, que son los centros de las circunferencias que buscamos.
3º.- Por O y O1 trazamos las perpendiculares a la recta r para determinar los puntos de tangencia (los centros de las circunferencias tangentes a una recta se encuentran en la perpendicular a la recta trazada por el punto de tangencia).
4º.- Con centro en O y O1 trazamos las circunferencias que pasan por P y son tangentes a la recta r en T y T1.
Circunferencias Tangentes a Dos Rectas r y s que se Cortan, Conocido el Punto de Tangencia T
1º.- Trazamos la perpendicular a la recta dada r por el punto de tangencia T dado.
2º.- Trazamos la bisectriz de las rectas r y s por los ángulos que se encuentra el punto de tangencia (toda circunferencia tangente a dos rectas que se cortan tiene el centro sobre la bisectriz).
3º.- El punto de corte de las bisectrices con la perpendicular, puntos O y O1, son los centros de las circunferencias buscadas.
4º.- Por los centros O y O1 trazamos perpendiculares a las rectas r y s, que nos determinan los puntos de tangencia T1 y T2.
5º.- Con centro en O y O1 trazamos las circunferencias que son tangentes a las rectas r y s en T, T1 y T2.
Elipse: Óvalo Conociendo el Eje Menor
1. Se traza la mediatriz del eje menor CD, obteniéndose el punto O. En la mediatriz está situado el eje mayor del óvalo.
2. Con centro en O y radio OC se dibuja una circunferencia que corta al eje mayor en los puntos O1 y O2; se unen estos puntos con C y D prolongando dichas rectas.
3. Con radio CD y centro en C y D, respectivamente, se trazan dos arcos que determinan los puntos P y P’, Q y Q’, puntos de tangencia entre los arcos que forman el óvalo.
4. Por último, con centro en O1 y en O2, y radio O1P, se trazan los otros dos arcos para unir P con Q, y P’ con Q’; de este modo queda determinado el óvalo.
Óvalo Conociendo el Eje Mayor (Segundo Procedimiento)
1. Se divide el eje mayor AB en cuatro partes iguales, obteniendo así los puntos O y O1 que corresponden a los puntos 1 y 3 en el eje dividido. Se trazan dos circunferencias con centro en O y O1, respectivamente, y radio igual a 1/4 de AB, es decir, OA.
2. Se trazan dos arcos con centro también en O y O1, respectivamente, y radio igual a OO1.
3. Donde los arcos se cortan se encuentran los puntos O2 y O3, centros de los arcos mayores del óvalo. Para hallar los puntos de tangencia se unen los centros O2 y O3 con los otros centros O y O1, y a partir de aquí se procede de igual manera que se hizo en el ejercicio anterior.
Ovoide Conociendo el Eje Menor
1. Se dibuja la mediatriz del eje conocido AB, obteniendo el punto O. Con centro en O y radio OA, se traza una circunferencia que corta a la mediatriz en el punto P.
2. Se unen los puntos A y B con P, obteniendo las semirrectas r y s. Se trazan dos arcos con radio AB y centro en los puntos A y B, obteniéndose así los puntos M y M’.
3. Con centro en P y radio PM o PM’, se describe el último arco que configura el ovoide pedido.
Elipse Conociendo sus Dos Ejes. Por Puntos
1. Se trazan dos rectas perpendiculares, obteniendo en su corte el punto O. Sobre ellas se sitúan los ejes de la elipse A = 2a y CD = 2b. Con centro en C o D y radio OA, se traza un arco que corta al eje real en los puntos F y F’, focos de la curva.
2. Se divide en un número de partes la distancia focal 1, 2, 3, etc. Con centro en F y radio 1A, se trazan dos arcos; con radio 1B y centro en F’, se trazan otros dos arcos que cortan a los dos anteriores en E y F, puntos de la elipse.
3. Con centro en F y radio 2A, se vuelven a trazar dos arcos; con radio 2B y centro en F’, se trazan otros dos arcos que cortan a los anteriores en los puntos G y H, otros dos puntos de la curva. Repetimos esta operación tomando otros puntos 3, 4, etc., del eje real para seguir hallando puntos de la elipse y, finalmente, se unen los puntos determinados manualmente o con plantillas, con lo que se obtiene la elipse pedida.
Elipse Conociendo sus Dos Ejes. Por Circunferencias Concéntricas o Afinidad
1. Se dibujan dos circunferencias concéntricas de radios iguales a los valores de los semiejes mayor y menor. Se trazan distintos radios de las dos circunferencias.
2. Por los extremos de los radios de la circunferencia mayor, se trazan rectas paralelas al eje menor. Por los extremos de los radios de la circunferencia menor, se trazan paralelas al eje mayor.
3. Los puntos de intersección de las respectivas paralelas determinan puntos de la elipse buscada.
Hipérbola Conociendo los Dos Ejes. Por Puntos
1. Una vez situados los ejes AB y CD, se procede a determinar los focos; con centro en O y radio AC se traza un arco, y allí donde éste corta al eje real están los focos F y F’.
2. Se sitúan puntos arbitrarios: 1 y 1′, 2 y 2′, etc., sobre el eje real a uno y otro lado de los focos, F y F’, respectivamente. Con radio 1A, y centro en F y F’ se realizan dos arcos; con radio 1B, y centro en F y F’ se describen otros dos arcos, que cortan a los anteriores determinando los puntos M y M’, y N y N’, de la curva de ambas ramas.
3. Repitiendo esta operación tantas veces como puntos se hayan marcado sobre el eje, se obtiene el resto de los puntos de la hipérbola. Por último, se unen con plantillas de curvas o a mano alzada hasta terminar las dos ramas de la curva.
Parábola Conociendo la Directriz y el Foco. Por Puntos
1. Se dibuja la directriz d y el foco F, y se halla el punto medio del segmento OF, siendo éste el vértice A de la curva. A partir del foco F se sitúan puntos arbitrarios: 1, 2, 3, etc., y por ellos se trazan paralelas a la directriz d.
2. Tomando como radios las distancias O1, O2, etc., y haciendo siempre centro en el punto F, se trazan arcos que cortan, respectivamente, a las rectas que pasan por 1, 2, 3, etc., obteniéndose los puntos M y M’, N y N’, y así sucesivamente.
3. Al unir estos puntos con trazo continuo resulta la parábola buscada.
Rectas Tangentes Interiores a Dos Circunferencias
1º.- Unir los centros O y C1 mediante un segmento y hallar su mediatriz, punto M.
2º.- Con centro en M y radio MO1 = MO, trazar una circunferencia.
3º.- Con centro en la circunferencia de radio mayor R, trazar una circunferencia que tenga por radio la suma de los radios de las circunferencias dadas; es decir, R+r. Esta corta a la anterior en dos puntos. Unimos los puntos de corte con el centro O de la circunferencia de radio R y corta a la circunferencia de mayor radio en los puntos T1 y T2, que son los puntos de tangencia.
4º.- En la circunferencia de centro O1, trazar radios paralelos a O-T1 y O-T2, pero en semiplanos inversos, y se obtienen T’1 y T’2.
5º.- Unir T1-T’1 y tenemos la primera tangente. Unir T2-T’2 y tendremos la segunda tangente, que se cortan en un mismo punto de la línea que une los centros de las circunferencias.
Circunferencia Tangente a una Recta en un Punto T y que Pase por un Punto Dado P
1º.- Por el punto de tangencia T trazamos una perpendicular.
2º.- Unimos P y T y trazamos la mediatriz. Esta corta a la perpendicular por T en el punto O1, que es el centro de la circunferencia que buscamos.
3º.- Hacemos centro en O1 y trazamos la circunferencia que pase por P y que es tangente a la recta en el punto T.
Circunferencias Tangentes a Dos Rectas r y s que se Cortan, Conocido el Radio R
1º.- Trazamos paralelas a la recta dada r a una distancia R.
2º.- Trazamos paralelas a la recta dada s a una distancia R.
3º.- Las paralelas se cortan en O, O1, O2 y O3, que son los centros de las circunferencias buscadas.
4º.- Por los centros O, O1, O2 y O3 trazamos perpendiculares a las rectas r y s, que nos determinan los puntos de tangencia T, T1,…
5º.- Con centro en O, O1, O2 y O3 trazamos las circunferencias que son tangentes a las rectas r y s en T, T1,…
