Controladores: Mejorando el Funcionamiento de Sistemas

Los controladores son elementos que se agregan al sistema original para mejorar sus características de funcionamiento, con el objetivo de satisfacer las especificaciones de diseño tanto en régimen transitorio como en estado estable.

La primera forma para modificar las características de respuesta de los sistemas es el ajuste de ganancia (lo que posteriormente se definirá como control proporcional).

Sin embargo, aunque por lo general el incremento en ganancia mejora el funcionamiento en estado estable, se produce una pobre respuesta en régimen transitorio y viceversa.

Por tal motivo, es necesario agregar elementos a la simple variación de ganancia, lo cual da lugar a los diversos tipos de controladores:

• Control proporcional (P).
• Control integral (I).
• Control derivativo (D).

Además, los controladores pueden interactuar entre sí, lo que da por resultado la formación de las siguientes configuraciones:

• Control proporcional-integral (PI).
• Control proporcional-derivativo (PD).
• Control proporcional-integral-derivativo (PID).

Puesto que los controladores incorporan elementos adicionales al sistema a manera de polo(s) y/o cero(s), es importante establecer cuál es el efecto sobre el sistema a consecuencia de la adición de tales elementos.

Efecto de la Adición de Polos

El incremento en el número de polos en un sistema ocasiona que el lugar geométrico de raíces se desplace hacia la derecha del eje j, lo que reduce la estabilidad relativa del sistema o, en algunos casos, lo hace inestable. Lo anterior se muestra en la figura 8.1a.

Efecto de la Adición de Ceros

Incorporar ceros en un sistema produce que el lugar geométrico de raíces se desplace hacia el semiplano izquierdo, lo que hace estable o más estable al sistema. Lo anterior se muestra en la figura 8.1b. En términos generales, el diseño de los controladores se enfoca en la adición de ceros para mejorar la respuesta transitoria, así como la colocación de un polo en el origen para corregir el comportamiento de estado estable del sistema, según se tratará en la sección 8.3.

Acciones de Control

Sea un sistema de lazo cerrado como el mostrado en la figura 8.2, donde el error E(s) es igual a la suma algebraica de R(s) − B(s). El diseño del controlador consiste en modificar las características de respuesta de los elementos que se encuentran en la trayectoria directa o en la de retroalimentación, de manera tal que la respuesta de la configuración en lazo cerrado satisfaga los requisitos de funcionamiento.

Control Proporcional (P)

Se dice que un control es de tipo proporcional cuando la salida del controlador v(t) es proporcional al error e(t):

Puesto que la ganancia Kp del controlador es proporcional, ésta puede ajustarse según se muestra en la figura 8.3 (véase la sección 1.4 del capítulo 1). En general, para pequeñas variaciones de ganancia, aunque se logra un comportamiento aceptable en régimen transitorio, la respuesta de estado estable lleva implícita una magnitud elevada de error. Al tratar de corregir este problema, los incrementos de ganancia mejorarán las características de respuesta de estado estable en detrimento de la respuesta transitoria. Por lo anterior, aunque el control P es fácil de ajustar e implementar, no suele incorporarse a un sistema de control en forma aislada, sino más bien se acompaña de algún otro elemento, como se verá en la siguiente sección.

Control Integral (I)

Se dice que un control es de tipo integral cuando la salida del controlador v(t) es proporcional a la integral del error e(t):

El control integral tiende a reducir o hacer nulo el error de estado estable, ya que agrega un polo en el origen aumentando el tipo del sistema; sin embargo, dicho comportamiento muestra una tendencia del controlador a sobrecorregir el error. Así, la respuesta del sistema es de forma muy oscilatoria o incluso inestable, debido a la reducción de estabilidad relativa del sistema ocasionada por la adición del polo en el origen por parte del controlador (véase la sección 8.1). La configuración del control integral implementado con amplificador operacional se muestra en la figura 8.4

Control Derivativo (D)

Se dice que un control es de tipo derivativo cuando la salida del controlador v(t) es proporcional a la derivada del error e(t):

El significado de la derivada se relaciona con la velocidad de cambio de la variable dependiente, que en el caso del control derivativo indica que éste responde a la rapidez de cambio del error, lo que produce una corrección importante antes de que el error sea elevado. Además, la acción derivativa es anticipativa, esto es, la acción del controlador se adelanta frente a una tendencia de error (expresado en forma de derivada). Para que el control derivativo llegue a ser de utilidad debe actuar junto con otro tipo de acción de control, ya que, aislado, el control derivativo no responde a errores de estado estable.

Combinación de las Acciones de Control

Las acciones proporcional, integral y derivativa suelen combinarse entre sí para producir los siguientes tipos de controladores.

Control Proporcional-Integral (PI)

Se dice que un control es de tipo proporcional-integral cuando la salida del controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la integral del error e(t):

La ecuación (8.10) corresponde a un factor proporcional Kp que actúa junto con un cero ubicado en z = −1/Ti (cuya posición es ajustable sobre el eje real a la izquierda del origen) y un polo en el origen. La representación en bloques de la ecuación (8.10) se muestra en la figura 8.6a, mientras la figura 8.6b es la representación en el plano s de los elementos que forman el control PI, y la figura 8.6c es la implementación del control PI.

Control Proporcional-Derivativo (PD)

Se dice que un control es de tipo proporcional-derivativo cuando la salida del controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la derivada del error e(t): 

La ecuación (8.14) indica un factor proporcional KpTd, que actúa junto con un cero z = −1/Td, cuya posición es ajustable en el eje real. El diagrama de la ecuación (8.14) se muestra en la figura 8.7a, en tanto que la figura 8.7b es el diagrama de polos y ceros de los elementos que constituyen al control PD, y la figura 8.7c es la implementación del controlador PD.

Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

Se dice que un control es de tipo proporcional-integral-derivativo cuando la salida del controlador v(t) es proporcional al error e(t), sumado a una cantidad proporcional a la integral del error e(t) más una cantidad proporcional a la derivada del error e(t): 

La ecuación (8.17) indica un factor proporcional KpTd que actúa junto con un par de ceros (distintos, repetidos o complejos, cuya posición es ajustable en el plano s) y un polo en el origen. La representación en bloque de la ecuación (8.16) se muestra en la figura 8.8a; la figura 8.8b es la representación en el plano s del control PID, y la figura 8.8c es la implementación del control PID según la ecuación (8.18).

Características de los Diferentes Tipos de Controladores

Como conclusión, se enumeran las principales características de los diferentes tipos de controladores: P, PI, PD y PID.

Control Proporcional

• El tiempo de elevación experimenta una pequeña reducción.
• El máximo pico de sobreimpulso se incrementa.
• El amortiguamiento se reduce.
• El tiempo de asentamiento cambia en pequeña proporción.
• El error de estado estable disminuye con incrementos de ganancia.
• El tipo de sistema permanece igual.

Control Proporcional-Integral

• El amortiguamiento se reduce.
• El máximo pico de sobreimpulso se incrementa.
• Decrece el tiempo de elevación.
• Se mejoran los márgenes de ganancia y fase.
• El tipo de sistema se incrementa en una unidad.
• El error de estado estable mejora por el incremento del tipo de sistema.

Control Proporcional-Derivativo

• El amortiguamiento se incrementa.
• El máximo pico de sobreimpulso se reduce.
• El tiempo de elevación experimenta pequeños cambios.
• Se mejoran el margen de ganancia y el margen de fase.
• El error de estado estable presenta pequeños cambios. 

• El tipo de sistema permanece igual.

Control Proporcional-Integral-Derivativo

• Este tipo de controlador contiene las mejores características del control proporcional derivativo y del control proporcional-integral. La tabla 8.1 es una referencia con respecto al tipo de controlador a utilizar en los diversos procesos industriales.

Criterios de Sintonización de Controladores

Una vez que se han definido las acciones de control y sus posibles combinaciones para producir los distintos tipos de controladores, se procederá a considerar algunos de los diferentes criterios para sintonizar, esto es, para asignar valores específicos a los componentes que conforman cada controlador en particular.

Criterio de Ziegler-Nichols (Método de la Ganancia Máxima)

Este criterio de ajuste se denomina método de sintonización en lazo cerrado, ya que el controlador permanece en la trayectoria directa como elemento activo, según se muestra en la figura 8.9.

Primero se incrementa la ganancia del control proporcional Kp hasta que la salida del sistema se comporte como una oscilación sostenida, lo que equivale a un comportamiento marginalmente estable. La forma de onda libre oscilatoria es de interés tanto en la ganancia con la que el sistema presenta dicha oscilación, denominada ganancia máxima Ku, como con el periodo de la oscilación, denominado periodo máximo Pu. 

En el caso de que el sistema original contenga un controlador con acción integral y derivativa, se procede a cancelar ambas acciones haciendo Ti = ∞ y Td = 0. Una vez que se ha calculado Ti y Td, el controlador queda sintonizado. Si el sistema es incapaz de alcanzar el estado de libre oscilación con incrementos de ganancia, el método de Ziegler-Nichols no se puede aplicar. Al sustituir s por jω, en la ecuación característica de la función de transferencia de lazo cerrado T(s), es posible determinar Ku y la frecuencia ωu en la cual el LGR cruza con el eje j; el periodo Pu se obtiene mediante Pu = 2π/ωu. Una vez que se han determinado la ganancia máxima Ku y el periodo máximo Pu, los valores de Kc, Ti y Td pueden cuantificarse al aplicar la referencia que se muestra en la tabla 8.2 para sintonizar los diferentes tipos de controladores. En este punto, cabe mencionar que con el método de Ziegler-Nichols de la ganancia máxima no es posible ajustar al control proporcional-derivativo.

Criterio de Cohen-Coon

Este criterio de ajuste se denomina método de sintonización en lazo abierto. En él se aplica una entrada escalón R(s) directamente hacia los elementos que forman la trayectoria directa sin incluir al controlador, como se observa en la figura 8.12.

La respuesta obtenida a la salida del sensor, denominada curva de reacción del sistema, es el punto de partida para la sintonización de los diversos tipos de controladores. Una característica típica de la curva de reacción es que presenta una forma de S, debido a la contribución en tiempo compuesta por la suma del atraso de tiempo propio de un sistema de primer grado con constante de tiempo τ junto con un atraso 

de tiempo puro Ta, según se muestra en la figura 8.13.

A partir de la curva de reacción, se dibuja una recta tangente en el punto de inflexión de la curva, de tal manera que la intersección de la recta tangente con el eje de tiempo representa el atraso de tiempo Ta. La constante de tiempo τ en relación con un sistema de primer grado se obtiene de:

Conociendo los valores de ganancia K del proceso, atraso de tiempo Ta y constante de tiempo τ (a partir de la pendiente de la tangente m en el punto de inflexión), la sintonización de los diversos controladores se lleva a cabo a partir de los valores mostrados en la tabla 8.4.

Criterio de Ziegler-Nichols (Curva de Reacción)

Como se vio en la sección anterior, el método de sintonización de Cohen-Coon se basa en la curva de reacción, la cual puede utilizarse como punto de partida para definir un segundo procedimiento propuesto por Ziegler-Nichols, denominado también de sintonización en lazo abierto. Este procedimiento se aplica al registro gráfico de la respuesta del proceso para entrada escalón, donde es necesario determinar tanto el atraso de tiempo Ta como la pendiente m de la tangente en el punto de inflexión. Una vez cuantificados los parámetros mencionados, los coeficientes de los controladores se obtienen a partir de la tabla 8.6.

Conclusiones sobre los Modos de Control y la Sintonización

Como conclusión a los modos de control, así como a los diferentes tipos de sintonización, se puede decir que:

El modo integral ofrece una corrección que es proporcional a la integral del error, según se indicó por medio de la ecuación 8.3. Dicha acción tiene la ventaja de asegurar que para un sistema de tipo 0 se aplicará una acción de control suficiente para reducir a cero el error de estado estable

por otro lado, tal acción de control presentará un efecto desestabilizador como consecuencia de la adición de un polo en el origen.

Con respecto al modo derivativo, se puede decir que ofrece una cierta característica predictiva o anticipativa, como lo muestra la ecuación 8.6, con lo que se genera una acción de control que es proporcional a la velocidad de cambio del error. Si bien la acción derivativa tiende a mejorar el comportamiento transitorio y le da más estabilidad al sistema, tiene la desventaja de producir elevados valores en la señal de control.

• La característica principal del control PID es que le da al sistema las mejores características, tanto del modo integral como del modo derivativo, según se indicó mediante la ecuación 8.15, sin presentar las desventajas de los modos individuales. En síntesis, el control PID es simplemente un controlador de segundo grado al que se agrega un integrador.
• Existen diversos criterios empíricos para determinar todos los parámetros de los diferentes tipos de controladores, entre los cuales se analizaron y aplicaron los métodos Ziegler-Nichols, tanto para lazo abierto (curva de reacción) como para lazo cerrado (llevar al sistema a presentar una oscilación libre) y el método de Cohen-Coon, también para lazo abierto analizando la curva de reacción.

Cabe destacar que existen diversos procedimientos adicionales a los presentados, entre los cuales sobresale el método de Chien-Hrones-Reswick. Independientemente del método elegido para la sintonización de los controladores, los parámetros obtenidos en primera instancia deben tomarse como un primer ajuste en el proceso del diseño.

Introducción al Control en Lazo Cerrado

Un sistema de control automático regula un proceso sin intervención humana, utilizando sensores y actuadores.

• Lazo abierto: No toma en cuenta la salida para su control. Es simple pero impreciso.
• Lazo cerrado: Usa la salida real (feedback) para compararla con la deseada y corregir errores.

Realimentación (feedback): Proceso de medir la salida y compararla con una referencia. Importante porque mejora la estabilidad, reduce errores y permite ajustes automáticos.

Diferencia Feedback vs Feedforward:

• Feedback actúa después de detectar un cambio.
• Feedforward anticipa el cambio y actúa antes, por ejemplo al aumentar carga en un horno.

Controlador Proporcional (P)

El controlador proporcional genera una señal de control proporcional al error (diferencia entre salida deseada y real).

• Ecuación: u(t) = Kp * e(t)

Efectos de la ganancia Kp:

• Aumenta la velocidad de respuesta.
• Un Kp alto puede causar oscilaciones y sobreimpulso.
• No elimina completamente el error en estado estacionario.

Ventajas:

• Fácil implementación.

Limitaciones:

• No elimina error permanente.
• Puede generar inestabilidad.

Controlador Integral (I)

El término integral acumula el error a lo largo del tiempo y ajusta la señal de control para corregir errores persistentes.

• Ecuación: u(t) = Ki * ∫e(t)dt

Elimina el error en estado estacionario.

Problemas:

• Windup: Acumulación excesiva del error cuando el actuador está saturado.
• Solución: Técnicas anti-windup detienen la integración cuando se alcanza el límite de salida.

Diferencia Feedback vs Feedforward:

• Feedback actúa después de detectar un cambio.
• Feedforward anticipa el cambio y actúa antes, por ejemplo al aumentar carga en un horno.

Controlador Derivativo (D)

El término derivativo predice el comportamiento del error y actúa para suavizar la respuesta.

• Ecuación: u(t) = Kd * de(t)/dt

Efectos:

• Amortigua cambios bruscos.
• Reduce sobreimpulso.

Desventajas:

• Sensible al ruido (derivar señales ruidosas genera errores).
• Solución: Filtros de paso bajo.

Ejemplo de uso: Robots industriales, donde se requiere control suave y anticipado.

Combinación PID

El controlador PID combina los tres efectos:

• P: Respuesta rápida.
• I: Elimina error permanente.
• D: Estabiliza la respuesta.

Sintonización: Ajustar Kp, Ki, Kd para obtener la mejor respuesta.

Ejemplos de aplicación:

• Control de temperatura.
• Control de velocidad en motores.

Métodos de sintonización:

• Ziegler-Nichols: Ajuste basado en oscilaciones del sistema.
• Método de respuesta escalón.

Aplicaciones Prácticas en la Industria

1. Industria Química:

   Control PID en reactores para mantener temperatura y presión estables. La acción integral elimina desviaciones prolongadas, y la derivativa previene reacciones peligrosas por cambios bruscos.

2. Robótica:

   PID para controlar posición y velocidad de brazos robóticos. P da respuesta rápida, I elimina error residual, y D suaviza movimientos para evitar sacudidas.

Estos controladores mejoran la eficiencia, reducen tiempos de respuesta y aumentan la precisión del proceso.