Deducción de las Ecuaciones de Euler a partir de las de Navier-Stokes

Si en un flujo se tienen valores característicos de velocidad U, de longitud L, de tiempo t_o, de densidad ρ y de fuerza másica f_c, la ecuación de cantidad de movimiento tendrá por órdenes de magnitud de sus términos:

Si se divide por el término convectivo, tenemos una relación entre los términos que respectivamente son:

Si los valores característicos del problema son tales que el Re >> 1, o ReSt >> 1, podemos despreciar el término viscoso, obteniendo la ecuación de cantidad de movimiento de Euler en la forma:

De igual modo, la ecuación de la energía en su forma de la entropía, tiene por órdenes de magnitud:

Si Re >> 1 el efecto en la entropía de la conducción de calor y la disipación viscosa es despreciable, por lo que la ecuación de la energía se reduce a:

que es la ecuación de Euler para la entropía. Si añadimos la ecuación de continuidad y las de estado nos queda un conjunto de ecuaciones para fluidos ideales que toman el nombre ya comentado de ecuaciones de Euler:

Condiciones Iniciales y de Contorno

El carácter de las ecuaciones ha cambiado respecto a las de Navier-Stokes, ya no son parabólicas en el tiempo, pues ahora no hay derivadas espaciales de segundo orden. El orden de las derivadas parciales ha disminuido, pero no la condición de no linealidad que sigue presente a través de los términos convectivos. Las condiciones iniciales que es necesario definir no han cambiado. En el instante inicial (t = 0) es preciso conocer el campo de densidad ρ(x,0), el de velocidad vr(x,0) y el de entropía s(x,0). Las condiciones de contorno que se pueden imponer sí son ahora diferentes, pues no se pueden fijar los valores de velocidad ni de temperatura en contacto con un sólido, ni se puede obligar a que en la interfaz entre dos líquidos la velocidad, la temperatura y el flujo de calor sean continuos. Al haber prescindido de la viscosidad y conductividad térmica, se han quitado los mecanismos que permitían asegurar esa continuidad. Las condiciones de contorno quedan por tanto reducidas a:

Continuidad, Existencia y Unicidad de la Solución. Concepto de Capa Límite

Existen discontinuidades en las magnitudes fluidas y en sus derivadas. Estas superficies de discontinuidad que en teoría ideal tienen espesor nulo, son en realidad las zonas donde los efectos de la viscosidad y conducción de calor están presentes. Su espesor relativo decrece con el número de Reynolds. Así por ejemplo, si se igualan los términos convectivos generales a los viscosos concentrados en un espesor δ, la relación entre este espesor y el tamaño general será:

El campo fluido se divide por tanto en regiones: una o varias exteriores donde las ecuaciones de Euler son válidas, y otras zonas muy delgadas: estelas, capa límite, ondas de choque, etc.; a través de las cuales las magnitudes o sus derivadas presentan saltos finitos. En el caso de la capa límite sobre sólidos, donde la velocidad cambia desde la exterior hasta igualar la del sólido por efecto de la viscosidad, la presión variará muy poco transversalmente y por tanto si el Re es suficientemente alto y el espesor de la capa despreciable, podemos calcular la distribución de presiones mediante la teoría de fluidos ideales. Pero en los gradientes adversos de presión, el flujo cerca de la pared donde tiene menor cantidad de movimiento se frena y puede invertirse, produciéndose un desprendimiento, que a su vez puede modificar de forma global toda la configuración general del flujo. Este fenómeno es el responsable de la paradoja de D’Alembert que anunciaba que en fluidos ideales no debía haber resistencia alrededor de los cuerpos. En efecto, la distribución de presiones alrededor de un cilindro en flujo ideal resulta simétrica y por tanto no habría fuerza de presión. Sin embargo la capa límite al desprenderse genera una gruesa estela por detrás donde la presión no se recupera y se produce una fuerza de resistencia del orden de la presión dinámica. Solo en cuerpos fuselados, la estela es estrecha, y la resistencia es sobre todo debida a la fricción viscosa sobre su superficie. En este caso la estela significa una discontinuidad tangencial donde los efectos viscosos se concentran.

De modo análogo, la conducción de calor se limita a una delgada capa, donde la temperatura pasará del valor exterior a la del cuerpo. Esta será la capa límite térmica, cuya relación con la longitud general será dada por igualar los términos conductivos y convectivos en la ecuación de la energía.

Movimientos Isentrópicos y Homeontrópicos

En el caso de Re >> 1 y RePr >> 1, la ecuación de la entropía queda reducida a:

y si Qr=0,

la ecuación de entropía será aproximadamente:

por lo que las partículas fluidas mantienen su entropía s = s_p y el movimiento es isentrópico.

Si además es casi-estacionario (t_r t_o), la ecuación de la entropía se puede transformar a:

Esto significa que a lo largo de la línea de corriente la entropía es la misma:

aunque puede variar con el tiempo si varía en la cabecera de la línea de corriente.

Si se proviene de una zona en que la entropía es uniforme s = s_o, la entropía será uniforme en el flujo y el movimiento se denomina homeontrópico.

Ecuación de Euler-Bernoulli

Si escribimos la ecuación de cantidad de movimiento de Euler y la multiplicamos escalarmente por el vector unitario tangente a la línea de corriente:

La fuerza másica deriva de un potencial a excepción de la fuerza de Coriolis y del término de la aceleración de inercia que procede de la derivada de la velocidad angular del sistema de referencia.

Si la velocidad angular es constante, y teniendo en cuenta que la componente de la fuerza másica según la línea de corriente no incluye a la fuerza de Coriolis por ser perpendicular a la velocidad local, resultará:

Sustituyendo esta expresión en la ecuación de cantidad de movimiento según la línea de corriente y si existe función de barotropía dω = dp/ρ se puede obtener la forma general de la ecuación de Euler-Bernoulli:

Para un líquido, con densidad constante la función de barotropía es ω=p/ρ, la ecuación anterior se puede expresar en la forma:

Para un gas, si el movimiento es homeontrópico existe una relación s_o = s_o (p,ρ) que significa una función de barotropía ω=h, y por tanto, despreciando fuerzas másicas, la relación de Euler-Bernoulli toma la forma:

Si además el movimiento es casi-estacionario y el término de aceleración local es despreciable frente al convectivo, la ecuación se puede integrar a lo largo de una línea de corriente formando la expresión:

La constante C_l de la línea de corriente puede ser diferente para cada una de ellas y depender del tiempo como parámetro.

Esta última ecuación, al relacionar dos puntos de una misma línea de corriente, permite expresar que a lo largo de ella la suma de energía cinética, energía potencial gravitatoria, o energía debida a la presión (en líquidos) o a la entalpía (en gases) es constante, pudiendo transformarse según la evolución del flujo de una en otra, pero manteniéndose la suma total.