Lema: Continuidad de Operadores Lineales en Espacios de Dimensión Finita

Para N ∈ ℕ, todo operador lineal de K^N con la topología usual, en cualquier otro espacio normado, es continuo.

Demostración

Sea Y un espacio normado y T : K^N → Y un operador lineal. Denotando por {e₁, e₂,…, e_N} a la base usual de K^N, sea y_k = T(e_k) para todo k ∈ {1,2,…,N}. Se tiene entonces que T(x) = T ( ∑ x(k) e_k ) = ∑x(k)T(e_k) = N ∑ x(k) y_k, ∀x ∈ K^N. Fijado k ∈ {1,2,…,N}, la aplicación x → x(k), de K^N en K, es obviamente continua para la topología usual de K^N. Por otra parte, la aplicación λ → λ_yk , de K en Y, es continua, por serlo el producto por escalares de Y. Vemos por tanto que la aplicación x → x(k) y_k es continua, como composición de funciones continuas. Entonces T es continuo, por ser una suma de funciones continuas.

Teorema de Hausdorff: Isomorfismos en Espacios de Dimensión Finita

Toda biyección lineal, entre dos espacios normados de dimensión finita, es un isomorfismo.

Demostración

En primer lugar, fijado N ∈ ℕ, sea Φ una biyección lineal de K^N, con la topología usual, sobre un espacio normado Y. Por el lema anterior, Φ es continua, pero queremos ver que Φ es un isomorfismo, para lo cual deberemos probar que Φ^-1 es continua. Consideremos la esfera unidad S = {x ∈ K^N : ∥x∥ = 1}, para cualquier norma en K^N cuya topología sea la usual. Como S es un conjunto compacto y Φ es continua, Φ(S) es un subconjunto compacto de Y. Por tanto, la norma de Y, que es una función continua, tendrá un mínimo en Φ(S), es decir, existe u₀ ∈ S tal que ∥Φ(u)∥ ≥ ∥Φ(u₀)∥ para todo u ∈ S. Como Φ es inyectiva, se ha de tener ∥Φ(u₀)∥ = ρ > 0. Fijado y ∈ Y, tomamos x = Φ^-1 (y) y escribimos x = ∥x∥u con u ∈ S. Tenemos entonces ∥y∥ = ∥Φ(x)∥ = ∥x∥ ∥Φ(u)∥ ≥ ρ∥x∥ = ρ∥Φ^-1 (y)∥ y esto prueba que Φ^-1 es continua, como queríamos. Sean ahora X e Y dos espacios normados de dimensión finita, y T : X → Y una biyección lineal. Si N ∈ ℕ es la dimensión de X, existe una biyección lineal Φ : K^N → X, así que T ∘Φ es una biyección lineal de K^N sobre Y. Considerando en K^N la topología usual, hemos visto ya que Φ y T ∘Φ son isomorfismos, luego T = (T ∘Φ) ∘Φ^-1 también lo es.

Lema de Riesz: Aproximación en Subespacios Cerrados

Sea X un espacio normado y M un subespacio cerrado de X, con M ≠ X. Entonces, para cada ρ ∈ ℝ con 0 < ρ < 1, existe u ∈ X tal que ∥u∥ = 1 y d(u,M) = inf {∥u – y∥ : y ∈ M} ≥ ρ.

Demostración

Fijamos x₀ ∈ X \ M y, por ser M cerrado, se tiene que d(x₀,M) = α > 0. Como α < α/ρ, por la definición de ínfimo, existe y₀ ∈ M tal que ∥x₀ – y₀∥ < α/ρ. Escribiendo x₁ = x₀ – y₀, se tiene x₁ ∉ M, luego podemos considerar u = x₁/∥x₁∥, que verifica ∥u∥ = 1. Además, para todo y ∈ M se tiene ∥u – y∥ = ∥x₁/∥x₁∥ – y∥ = (1/∥x₁∥) ∥x₁ – ∥x₁∥y∥ ≥ (1/∥x₁∥) α > ρ, ya que ∥x₁∥y ∈ M, luego ∥x₁ – ∥x₁∥y∥ ≥ α. Esto prueba que d(u,M) ≥ ρ, como se quería.

Teorema de Riesz: Dimensión Finita y Compacidad de la Esfera Unidad

Si en un espacio normado X, la esfera unidad S = {x ∈ X : ∥x∥ = 1} es un conjunto compacto, entonces X tiene dimensión finita.

Demostración

Fijemos ρ ∈ ℝ, con 0 < ρ < 1. Si X ≠ {0}, la esfera unidad S no es vacía. Como S es compacta, existirá un conjunto finito {x₁, x₂,…, x_N} ⊂ S tal que S ⊂ ∪_k=1^N B(x_k, ρ). Sea M = ⟨x₁, x₂,…, x_N⟩ el subespacio de dimensión finita generado por {x₁, x₂,…, x_N}. Como M es de dimensión finita, es cerrado. Si fuese M ≠ X, por el lema de Riesz existiría u ∈ S tal que d(u,M) ≥ ρ, lo que es absurdo, pues u ∈ B(x_k, ρ) para algún k ∈ {1,2,…,N}. Por tanto, ha de ser M = X, luego X tiene dimensión finita.

Teorema de Hahn-Banach: Extensión de Funcionales Lineales

Sea X un espacio vectorial y φ un funcional sublineal en X. Sea M un subespacio de X y g un funcional lineal en M, que está dominado por φ, en el siguiente sentido: Re g(y) ≤ φ(y) ∀y ∈ M. Entonces existe un funcional lineal f en X, que extiende a g y está dominado por φ, es decir, f(y) = g(y) ∀y ∈ M y Re f(x) ≤ φ(x) ∀x ∈ X. Si φ es una seminorma, se tiene de hecho |f(x)| ≤ φ(x) ∀x ∈ X.

Demostración

Caso real, primera extensión

Empezamos considerando el caso K = ℝ y sólo extendemos el funcional g al subespacio que se obtiene sumando una recta a M. Fijado x ∈ X \M , consideramos el subespacio Z = M⊕ℝx , y queremos definir un funcional lineal h en Z que extienda a g y siga dominado por φ. Obviamente debemos definir h (y + λx) = g (y) + λα ∀y ∈ M , ∀λ ∈ ℝ para conveniente α ∈ ℝ. Cualquiera que sea α, está claro que h es lineal y extiende a g, luego el problema es encontrar α ∈ ℝ, de forma que h esté dominado por φ, es decir, que verifique: g (y)+λα ≤ φ (y+λx) , y ∈ M , ∀λ en ℝ (1)

Para λ ∈ ℝ⁺, dividiendo por λ los dos miembros de (1) y usando que φ es homogéneo por homotecias, vemos que (1) toma la forma g(y/λ) + α ≤ φ (y/λ+ x ) , ahora que u = y/λ es un vector de M tan arbitrario como y . Por tanto, α ∈ ℝ verifica la desigualdad (1) para todo λ ∈ ℝ⁺ y todo y ∈ M si, y sólo si, α ≤ φ (u+ x ) – g (u) ∀u ∈ M (2)

Para λ ∈ ℝ^– dividimos por -λ ambos miembros de (1) y usando de que φ es homogéneo por homotecias, (1) toma la forma g(-y/λ) – α ≤ φ (-y/λ- x ) Como w = –y/λ es un vector de M tan arbitrario como y , vemos que α ∈ ℝ verifica la desigualdad (1) para todo λ ∈ ℝ^– y todo y ∈ M si, y sólo si, α ≥ g (w) – φ (w – x ) (3)

Obsérvese por último que, para λ = 0, la desigualdad (1) se cumple por hipótesis, cualquiera que sea α ∈ ℝ. En resumen, hemos probado que esta etapa de la demostración estará concluida si encontramos α ∈ ℝ verificando (2) y (3).

Fin

Caso real, extensión definitiva