Dinámica y Clasificación de Robots

Definición de Dinámica: Rama de la mecánica que estudia cuerpos en movimiento, contemplando:

• Cinemática: Describe desplazamientos, velocidades y aceleraciones sin analizar su causa.
• Cinética: Estudia fuerzas y momentos responsables del movimiento.

Modelo Dinámico: Permite predecir el movimiento bajo fuerzas dadas o calcular las fuerzas requeridas para un movimiento específico.

Clasificación de Robots:

• Robots móviles (vehículos autónomos).
• Robots manipuladores (brazos robóticos).
• Robots paralelos (estructuras cerradas con múltiples brazos sosteniendo la misma plataforma).

Cuerpo Rígido y Movimiento

Cuerpo Rígido: Objeto que no se deforma bajo fuerzas externas (distancias internas constantes).

Movimientos Rígidos:

• Traslación: Desplazamiento lineal.
• Rotación: Giro alrededor de un eje.

Marcos de Referencia: Se usa un marco fijo (inercial) y otro móvil (ligado al cuerpo). Para pasar de un marco a otro se emplean matrices de rotación.

Matriz de Rotación en 2D

Las matrices de rotación en 3D pueden formarse mediante la secuencia de rotaciones Roll-Pitch-Yaw. Son ortogonales y tienen determinante igual a 1.

Cinemática de un Cuerpo Rígido

donde:

• p = Rv
• Θ = R2ω

• p es la posición en el marco inercial.
• R es la matriz de rotación del marco local al inercial.
• v es la velocidad lineal en el marco local.
• Θ (roll, pitch, yaw) y ω (vel. angular local).
• R2 es un operador cinemático que depende de los ángulos.

Centro de Masa

Definición: Punto en el que se concentra toda la masa de un cuerpo para efectos de análisis de fuerzas externas.

Sistema de Partículas Discretas:

Cuerpo Continuo: Se utilizan integrales con la densidad de masa apropiada (lineal, superficial o volumétrica). Por ejemplo, para una barra uniforme de longitud L, el centro de masa se halla en L/2. Para un cubo uniforme de arista L, se ubica en L/2, L/2, L/2.

Tensor de Inercia

Concepto: Es un tensor que describe cómo se distribuye la masa respecto a distintos ejes de rotación. Vincula el torque con la aceleración angular:

τ = I · ω

Ejemplo para una partícula en (rx, ry, rz):

Ixx = m(ry² + rz²), Iyy = m(rx² + rz²), Izz = m(rx² + ry²),

Ixy = Iyx = -mrxry, Ixz = Izx = -mrxrz, Iyz = Izy = -mryrz.

Casos:

• Cuerpo simétrico: El tensor puede ser diagonal (no hay productos de inercia cruzados).
• Cuerpo no simétrico: Aparecen términos fuera de la diagonal.

Cálculo para cuerpos continuos: Se emplean integrales volumétricas de la forma:

Modelado Newton-Euler

¿Qué es el Modelado Newton-Euler?

• Es un método para describir la dinámica de sistemas mecánicos (robots móviles, manipuladores, péndulos, etc.).
• Combina las leyes de Newton (traslación) y las de Euler (rotación).
• Permite calcular fuerzas y torques para mover un robot de forma eficiente.

Ventajas:

• Eficiente computacionalmente.
• Útil para control en tiempo real.

Desventajas:

• Puede resultar compleja si el sistema es muy grande o complicado.

Conceptos Básicos

• Conservación de momento lineal y angular: considera fuerzas, torques y aceleraciones de un cuerpo rígido.
• Marcos de referencia:
  • Inercial (fijo): se asume fijo en el espacio.
  • Local (cuerpo): se mueve con el objeto (usualmente, el centro de masa).

Análisis de Movimiento Lineal

Para un punto p de un cuerpo rígido:

1. Posición en el marco inercial:

   ^Ip = ^Id + R ^Br

   donde ^Id es la posición del origen local respecto al marco inercial, R es la matriz de rotación, y ^Br la posición de p en coordenadas locales.

2. Velocidad de p:

   ^Iṗ = ^Iḋ + Ṙ ^Br

   Usualmente se reescribe en términos de las velocidades lineales (v) y angulares (ω) locales.

3. Aceleración de p:

   ^Ip̈ = R v̇ + ω̇ × r + ω × v + ω × (ω × r)

   Aparecen términos de aceleración tangencial, Coriolis y centrípeta.

4. Fuerza (segunda ley de Newton):

   ^Bf = m(v̇ + ω × v)

   si el origen local está en el centro de masa.

Fuerza gravitatoria:

^If_g = mg, ^Bf_g = mR^Tg

Análisis de Movimiento Angular

Torque sobre un cuerpo rígido:

τ = I ω̇ + ω × (Iω)

donde I es el tensor de inercia.

El término ω × (I ω) describe efectos giroscópicos.

Ejemplo: Quadrotor UAV

Se muestran ecuaciones para la dinámica lineal (fuerza de empuje, gravedad) y dinámica rotacional (torques, efectos giroscópicos). En el control, las ecuaciones se resuelven para los valores deseados de v y ω.

Caso de Estudio: Péndulo Invertido

• Parámetros: m (masa del péndulo), M (masa del carrito), l (longitud), θ (ángulo), xc (posición del carrito), u (fuerza de control).
• Posición del péndulo:

  xp = xc + lsin(θ), yp = lcos(θ)

• Ecuaciones de movimiento (no lineales):

  (M + m)ẍc + ml cos(θ)θ̈ – ml sin(θ) θ̇² = u

  ẍc cos(θ) + l θ̈ – g sin(θ) = 0

• Modelo lineal (para θ pequeño):

  ẍc + l θ̈ = gθ, (M + m)ẍc + ml θ̈ = u

  Estos modelos simplificados son la base para diseñar controles (p.ej., control PID).