Clase 8
Transformadores multisección de tipo binomial:
Continuando con las ideas expuestas en la clase anterior, se busca el diseño de una red que permita obtener la respuesta de frecuencia deseada. Una posibilidad es obtener una respuesta lo más plana posible en el entorno de la frecuencia central del diseño. Este tipo de respuesta se puede lograr con n transformador de N secciones haciendo cero las primeras N-1 derivadas del modulo 
en la frecuencia central f0. Una función que satisface esta condición es:
La magnitud del coeficiente de reflexión será entonces:
Nótese que a la frecuencia de diseño, 
y tanto 
como sus primeras N-1 derivadas valen cero.
La constante A se puede determinar haciendo tender la frecuencia a cero, de manera que:
Por tanto: 
El próximo paso es expandir la función
de acuerdo a la expansión binomial:
En donde los coeficientes binomiales son,
Nótese que estos coeficientes cumplen la condición de simetría mencionada en la clase anterior, es decir, 
, además 
y 
A continuación se igualará esta respuesta pasabanda con aquella que se había obtenido por la aproximación de reflexiones pequeñas, es decir,
En consecuencia, debemos escoger los coeficientes de reflexión como 
A partir de los coeficientes se pueden hallar las impedancias características usando las expresiones mostradas para los transformadores multisección, pero debido a que se han supuesto reflexiones pequeñas se puede usar la siguiente aproximación, 
En consecuencia, 
Lo cual permite hallar 
empezando por n=0
Ancho de banda del transformador binomial:
A partir del máximo valor de desacoplamiento tolerado se puede hallar la desviación de ángulo (por ejemplo, para el extremo inferior de la banda pasante), 
Y, finalmente,
Transformadores Chebyshev:
El otro enfoque para el diseño de estos filtros es el Chebyshev, que optimiza el ancho de banda a expensas de un rizado en el paso de banda. En general, se obtienen mejores resultados que en caso binomial para un mismo número de secciones de transformación. El método se basa en igualar la función
a un polinomio de Chebyshev. Si bien estos polinomios fueron estudiados en otra asignatura se listan aquí a efectos de referencia. 
. Una propiedad importante de los polinomios de Chebyshev es que si hacemos 
entonces 
y para x>1 se usan los cosenos hiperbólicos
Como se está usando una respuesta equi-ripple será necesario mapear 
al punto x=1 y 
a x=-1, correspondiendo a los límites inferior y superior del paso de banda del filtro. Al reemplazar en las expresiones anteriores se tiene que
Estos resultados se pueden substituir en las expresiones anteriores de los primeros cuatro polinomios de Chebyshev y producen, 
Diseño de los transformadores Chebyshev:
Partiendo de la premisa equi-ripple podemos sintetizar el transformador haciendo
proporcional a 
donde N es el número de secciones del transformador. Entonces, y usando los resultados de la expresión para el transformador multisección (última lámina de la clase 7), e igualando al polinomio de Chebyshev correspondiente se tiene, 
(
) 
con las correspondientes consideraciones respecto al último término de la serie. El valor de la constante se puede hallar haciendo 
lo que correspondería a frecuencia cero. Entonces,
Si el valor máximo de reflexión permitida en el ancho de banda es 
entonces 
por cuanto el valor máximo del polinomio en el ancho de banda es la unidad. En consecuencia
Utilizando las aproximaciones introducidas bajo la premisa de reflexiones pequeñas se puede escribir que, 
De donde se puede determinar 
El ancho de banda fraccional vale 
Para hallar los 
se igualan los términos de la expansión en serie anteriores con los de la expansión del polinomio
buscando términos similares de la forma 
. Las impedancias características se pueden hallar de las formulas ya obtenidas para el transformador multisección que se pueden aproximar a
Ejemplo 5.7:
Diseñe un transformador Chebyshev de tres secciones para acoplar una carga de 100 Ohms a una línea de 50 Ohms, con un desacoplamiento máximo de 0,05. Grafique la magnitud del coeficiente de reflexión vs la frecuencia normalizada para diseños exactos usando 1, 2, 3 y 4 secciones.
Con una N=3 se tiene que, 
Esto produce 
y en consecuencia
A continuación comparamos la expansión en serie con el polinomio 
Al igualar los términos similares en 
se obtiene 
Los restantes términos se hallan de la condición de simetría
Las impedancias características se hallan de:
=1
n=3
Estos valores se pueden comparar con los valores exactos de la tabla 5.2. El ancho de banda vale
Líneas ahusadas:
Partiendo de las ideas de las secciones anteriores de los transformadores multisección, podemos ver que a medida que se incremente el número de secciones disminuyen los saltos de impedancia de manera que el conjunto tiende hacia una línea ahusada continua como la siguiente:
Se podrán obtener diferentes respuestas usando diferentes tipos de ahusamiento.
A continuación se derivará una forma aproximada de la respuesta del coeficiente de reflexión en función de la posición para una determinada impedancia del ahusamiento utilizando la teoría de las reflexiones pequeñas. Considérese que la línea ahusada está compuesta de un gran número de secciones pequeñas, de longitud 
que presentan un cambio de impedancia característica 
. El coeficiente de reflexión incremental de un salto de impedancia vale
Y, si hacemos tender 
se obtiene la expresión diferencial
Finalmente, sumando todas las contribuciones se tiene el coeficiente de reflexión a la entrada:
Por tanto, si se conoce la dependencia de Z(z), es decir, la forma del ahusamiento, se puede hallar la respuesta de
en función de la frecuencia. Alternativamente, dada una respuesta, debería ser posible hallar la variación Z(z) por inversión. Sin embargo, esto último es difícil y Pozar remite al lector a unas referencias para ampliar este tópico.
Ahusamiento exponencial:
En este caso la variación de Z(z) con la posición es de la forma
En la carga 
lo cual permite halla la constante “a”
El coeficiente de reflexión vale:
El coeficiente de reflexión vale:
Ahusamiento triangular:En este caso la variación de Z(z) viene dada por: La respuesta de frecuencia vale:
Ahusamiento Klopfenstein:
Este es un diseño que provee la mejor solución bajo ciertas premisas. En este caso, para una longitud dada, este diseño minimiza el coeficiente de reflexión en la banda pasante. El diseño se basa en el transformador Chebyshev haciendo crecer el número de secciones infinitamente. Pozar no presenta los detalles de la derivación sino solamente algunos resultados intermedios para comprender el proceso.
En este diseño, el logaritmo de la variación de la impedancia característica viene dado por:
Donde: 
En la expresión anterior la función 
es una función de Bessel modificada que tiene las siguientes propiedades
Finalmente se tiene: 
El ancho de banda se define como 
y el máximo desacoplamiento vale
