Ecuaciones Fundamentales de la Mecánica de Fluidos
Las ecuaciones generales de la Mecánica de Fluidos, llamadas de Navier-Stokes, se obtienen al completar con las ecuaciones de Navier-Poisson y de Fourier las ecuaciones diferenciales de continuidad, cantidad de movimiento, energía y estado.
Las ecuaciones en forma integral de continuidad, cantidad de movimiento y energía se recogen a continuación:
En el caso particular de que se trate de fluidos incompresibles, con viscosidad y conductividad térmica constantes, las ecuaciones diferenciales anteriores se simplifican hasta tomar la forma siguiente.
En definitiva, si sustituimos las ecuaciones de estado de energía interna y presión por sus expresiones correspondientes, el sistema nos queda con 5 ecuaciones (la de cantidad de movimiento es vectorial) para determinar 5 variables: ρ,v y T.
7.2 Condiciones Iniciales y de Contorno
Condiciones iniciales: En problemas no estacionarios es preciso fijar el campo inicial de densidad, velocidad y temperatura:
ρ(x,0), v(x,0), T(x,0)
Si es incompresible no hace falta fijar la distribución inicial de densidad, pero en cambio el campo de velocidades inicial ha de cumplir:
En problemas estacionarios o periódicos, no harán falta las condiciones iniciales, pero las condiciones de contorno habrán de ser igualmente estacionarias o periódicas.
Condiciones de contorno: Las ecuaciones de Navier-Stokes son tan complejas que pueden ser parabólicas, hiperbólicas, elípticas o mixtas, y los tipos de condiciones de contorno son tan diversos que citaremos únicamente algunas ideas generales sobre los tipos principales.
a) Cuando el fluido se extiende hasta el infinito, debemos conocer v,T,p(o ρ)en el infinito en función del tiempo
b) En un contorno sólido impermeable, se debe cumplir la condición de adherencia: la velocidad y la temperatura son iguales a las del sólido en contacto, y si no hay generación de calor en la interfase, debe haber continuidad de flujos de calor
c) Flujo limitado por otro fluido no miscible: En la interfase existirán condiciones cinemáticas por ser una superficie fluida. Así, las velocidades de ambos fluidos en cada punto de la superficie de separación serán la misma. v1(xs,t) = v2(xs,t), donde xs es cualquier punto de la superficie.
7.3 Condiciones de Contorno en la Superficie entre Dos Fluidos. Tensión Superficial
En las interfaces entre fluidos inmiscibles aparece una energía potencial por unidad de superficie debida al desequilibrio que las relaciones entre las moléculas de uno y otro producen. Este fenómeno se puede considerar superficial ya que sólo afecta a unas pocas capas moleculares y a los efectos que nos interesan se traduce en una tensión superficial de valor s, que depende de los fluidos en cuestión y de la temperatura. Tomemos un volumen de control a caballo de la interfase, muy delgado para que el volumen sea despreciable frente a las superficies.
Planteando la ecuación de cantidad de movimiento, las integrales de volumen son despreciables y tampoco hay flujo convectivo de cantidad de movimiento por ser una superficie fluida. La superficie de este disco de espesor infinitesimal se puede descomponer en las dos caras superior e inferior Σ y en el perímetro que por ser tan delgado como se quiera es en realidad una línea cerrada L.
Se puede escribir por lo tanto
y por tanto el equilibrio entre las fuerzas de presión, los esfuerzos viscosos y la tensión superficial se puede plantear del modo:
El gradiente de tensión superficial se puede poner como
7.4 Variación con las Magnitudes Termodinámicas de los Coeficientes de Transporte
En las leyes que determinan τ’ y q en función de los campos de v y T aparecen unos coeficientes de transporte μ, μv y k que dependen a su vez de las variables termodinámicas locales.
En gases, la teoría cinética de gases proporciona la información de que los coeficientes indicados solo dependen de la temperatura y de modo creciente con ella. La dependencia con la presión no es en realidad exactamente nula, pero es pequeña y también aumentan con la misma.
En líquidos en cambio, la viscosidad y la conductividad térmicas son debidas a la interacción entre las moléculas que se separan al aumentar la temperatura, por lo que disminuyen al aumentar ésta. La variación con la presión es pequeña y del mismo sentido que en gases.
En Mecánica de Fluidos tienen especial importancia los coeficientes de difusividad viscosa o térmica que se definen del modo siguiente:
La relación entre ellos es un parámetro adimensional que juega también un papel importante:
