EJERCICIO 1
a) Razone si el punto de coordenadas (7, 3) pertenece al recinto.
Sustituimos el punto (7,3) y vemos si verifica las tres inecuaciones a la vez.
3x + 4y 28; → 3(7) + 4(3) 28 →33 28, cierto luego la verifica 5x + 2y 42; →5(7) + 2(3) 42 → 41 42, cierto luego la verifica x – y 0; → (7) – (3) 0 → 4 0, cierto luego la verifica
Luego el punto de coordenadas (7,3) pertenece al recinto.
b) Represente dicho recinto y halle sus vértices.
Las desigualdades 3x + 4y ? 28; 5x + 2y ? 42; x – y ? 0, las transformamos en igualdades, y ya son rectas, 3x + 4y = 28; 5x + 2y = 42; x – y = 0
Para que nos sea más fácil dibujar las rectas (con dos valores es suficiente), despejamos las y y tenemos y = – 3x/4 + 7; y = -5x/2 + 21; y = x;
Representamos gráficamente las rectas que verifican estas igualdades, y el recinto en el cual estarán los bordes del recinto delimitado por las inecuaciones dadas.
De y = -3x/4 + 7 e y = -5x/2 + 21; tenemos -3x/4 + 7 = -5x/2 + 21, de donde -3x+28 = -10x+84, es decir sale 7x=56, de donde x = 8 e y = 1, y el punto de corte es A(8,1)
De y = -3x/4 + 7 e y = x; tenemos -3x/4 + 7 = x, de donde -3x+28 = 4x, es decir sale 28=7x, de donde x = 4 e y = 4, y el punto de corte es B(4,4)
De y = -5x/2 + 21 e y = x; tenemos -5x/2 + 21 = x, de donde -5x+42 = 2x, es decir sale 42=7x, de donde x = 6 e y = 6, y el punto de corte es C(6,6)
Fijándonos en la resolución de las ecuaciones, los vértices de lrecinto son: A(8,1); B(4,4) y el C(6,6).
c) Calcule el valor máximo de la función F(x,y) = 3x – 2y + 6 en el recinto, indicando el punto o puntos donde se alcanza ese máximo.
El Teorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que su máximo y mínimo absoluto están en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto, por lo que evaluamos F en los puntos anteriores A(8,1); B(4,4) y el C(6,6).
F(8,1) = 3(8) – 2(1) + 6 = 28, F(4,4) = 3(4) – 2(4) + 6 = 10, F(6,6) = 3(6) – 2(6) + 6 = 12
EJERCICIO 2
a) Dada la función f(x) = 2×2+ ax + b, determine los valores de a y bsabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo en x = ?2.
Como f pasa por el punto (1,3) me está diciendo que f(1) = 3.
Como f alcanza un extremo en x = – 2, me está diciendo que f(-2) = 0 (los extremos anulan la 1ª derivada).
f(x) = 2×2+ ax + b f(x) = 4x + a
De f(-2) = 0 →4(-2) + a = -8 + a = 0, de donde a = 8.
De f(1) = 3 → 2(1)2+ 8(1) + b = 3, de donde b = -7.
b) Calcule la ecuación de la recta tangente a la función g(x)=3×2- 2x + 1, en el punto de abscisa x =1.
Nuestra función es g(x) = 3×2- 2x + 1
La recta tangente es y – g(1) = g(1)(x – 1) g(x) = 3×2- 2x + 1 →g(1) = 3(1)2- 2(1) + 1 = 2 g(x) = 6x – 2 → g1(1) = 6(1) – 2(1) = 4
La recta tangente pedida es y – 2 = 4(x – 1)
EJERCICIO 3
Lanzamos un dado, si sale 5 o 6 extraemos una bola de una urna A, que contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si sale otro resultado se extrae una bola de la urna B, que contiene 3 bolas blancas y 7 negras. Calcule:
a) La probabilidad de que la bola extraída sea negra.
Aplicando el teorema de la probabilidad total, la probabilidad de que la bola extraída sea negra (N) es: p(N) = p(A).p(N/A) + p(B).p(N/B) = (1/3)·(4/10) + (2/3)·(7/10) = (3/5) = 0’6.
b) La probabilidad de que la bola sea negra y de la urna B.
Me piden p(B y N) = p(B?N) = p(B).p(N/B) = (2/3)·(7/10) = 7/15 ? 047
c) La probabilidad de que haya salido menos de 5 si la bola extraída ha sido blanca.
Aplicando el teorema de Bayes, tenemos: ((1/3)·(6/10))/(1-3/5)=1/2=0,5
EJERCICIO 4
Un informe de un Ayuntamiento afirma que al menos el 26% de los usuarios del carril bici habrían utilizado el coche particular para sus desplazamientos de no haber existido dicho carril. Sin embargo, un periódico local anuncia la falsedad del dato, informando que una encuesta propia indica que solo 240 de los 1000 usuarios encuestados afirman que habrían utilizado el coche particular.
a) Establezca un contraste, con hipótesis nula H0 : p ? 026, para verificar la afirmación del Ayuntamiento e indique la región crítica de dicho contraste para un nivel de significación del 5%.
Datos del problema: p0= 26% = 026; n = 1000; pˆ= 240/1000 = 024; región crítica = a = 5% = 005.
Etapa 1: Las hipótesis nula y alternativa son: H0 : p0 ? 026 (al menos el 26% habrían usado el coche si no existiese el carril bici) y H1 : p0< 026, la cual nos indica la dirección del contraste, es decir la región crítica esta a la izquierda
del punto crítico Zá = – Z1-á
Etapa 2: El nivel de significación es á = 005, luego tenemos 1 – á = 0,95.
De p(Z ? z1-á) = 1 – á = 1 – 005 = 095, mirando en las tablas de la N(0,1), vemos que no aparece en las tablas. El valor más próximo es la mitad de 09495 y 09505, que corresponde a Z1-á = (164+165)/2 = = 1645 , con lo cual el valor crítico es Zá = – Z1-á = – 1645 que separa