Ejercicios Resueltos de Cálculo Vectorial en MATLAB: Aplicaciones Prácticas

Ejercicio 1

Función para Calcular la Suma de Riemann en 3D

function sumaRiemann3(a,b,c,d,h,j,m,n,p)
% Calcula los incrementos de x, y, z
inc=[(b-a)/m,(d-c)/n, (j-h)/p];
x=a+inc(1)/2:inc(1):b-inc(1)/2;
y=c+inc(2)/2:inc(2):d-inc(2)/2;
z=h+inc(3)/2:inc(3):j-inc(3)/2;
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z);
% Calcula el valor aproximado de la integral
valor=(X+Z).*exp(cos(X));
suma=sum(valor(:))*prod(inc);
% Calcula el valor exacto de la integral
syms u v w
I=double(int(int(int((u+w)*exp(cos(u)),u,-1,1),v,0,2),w,0,2));
error=abs(I-suma);
end

a) Dibujar un Alambre con Ecuaciones Paramétricas

t=0:pi/10:5*pi/2;
x=4*cos(t);
y=9*sin(t);
z=4*t;
plot3(x,y,z)
grid on
syms u
L=double(int(sqrt(16*sin(u)^2+81*cos(u)^2+16),u,0,5*pi/2))

b) Cálculo del Elemento Diferencial de Longitud de Arco

El elemento diferencial de longitud del arco de la curva es:

ds = sqrt[(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2]

La longitud será la integral del diferencial en t.

c) Representación de Vectores de un Campo Vectorial

hold on
% Dibuja 10 vectores equidistantes del campo V=(x^2,x+y,-1)
% sobre la curva
tv=linspace(0,5*pi/2,11);
xv=4*cos(tv);
yv=9*sin(tv);
zv=4*tv;
U=xv.^2;
V=xv+yv;
W=-ones(size(U));
quiver3(xv,yv,zv,U,V,W,'r')
title('Curva en Paramétricas y Muestra de Vectores del Campo V=(x^2,x+y,-1)')

syms x y
format short
valor_exacto=double(int(int(sin(x^2+y^2),x,0,1),y,0,2))

Ejercicio 2

a) Dibujar un Paraboloide en Coordenadas Cilíndricas

r=linspace(0,1.5,20);
t=linspace(0,2*pi,20);
[R,T]=meshgrid(r,t);
X=R.*cos(T); 
Y=R.*sin(T); 
Z=1+R.^2;
surf(X,Y,Z)
xlabel('X'); 
ylabel('Y'); 
zlabel('Z')
axis equal

b) Cálculo del Volumen de un Sólido Limitado por un Paraboloide y un Cilindro

Integral triple en coordenadas cilíndricas para el volumen del sólido H:

Volumen = ∫∫∫ r dz dr dθ
- z va de 0 a 1 + r^2
- r va de 0 a 1
- θ va de 0 a 2π

syms r t z
volumen=int(int(int(r,z,0,1+r^2),r,0,1),t,0,2*pi)

Resultado: volumen = (3*pi)/2

c) Cálculo de la Temperatura Media

La temperatura en cada punto viene dada por el cuadrado de la distancia del punto al eje OZ, que en coordenadas cilíndricas es r^2.

Tmedia=(1/volumen)*int(int(int(r^3,z,0,1+r^2),r,0,1),t,0,2*pi)

Resultado: Tmedia = 2/3

Ejercicio 3

a) Representación de una Circunferencia y un Campo Vectorial

% Dibuja la circunferencia
t=linspace(0,2*pi); 
% Vector de parámetros del arco
x=2*cos(t); 
% Primera componente del arco
y=2*sin(t); 
% Segunda componente del arco
figure(3)
% Dibujo del arco en rojo con grosor 2 unidades
plot(x,y,'r','linewidth',2)
grid on
hold on
% Dibuja una muestra de 10 vectores del campo vectorial en azul
% sin escalar
tv=linspace(0,2*pi,11);
quiver(2*cos(tv),2*sin(tv), 1+4*cos(tv).^2,2*sin(tv),0,'b')
% Dibuja sobre la curva los vectores tangentes T en rojo
% sin escalar
quiver(2*cos(tv),2*sin(tv), -sin(tv),cos(tv),0,'r')
% Dibuja sobre la curva los vectores normales n en verde
% sin escalar
quiver(2*cos(tv),2*sin(tv),cos(tv), sin(tv),0,'g')
axis equal
hold off
title('Circunferencia, Muestra de Vectores V, Vectores Tangentes y Perpendiculares')

b) Cálculo del Flujo Saliente

El flujo saliente total para el campo V a través de la curva C se calcula con la integral:

Flujo = ∫c (V · n) ds

Donde:

C: x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sin(t) con t ∈ [0, 2π]
V = (1 + x^2, y)
n = (cos(t), sin(t)) (vector normal unitario)
ds = 2dt (elemento diferencial de longitud de arco)

% Calcula el flujo del campo V a través de la curva C
syms u
flujo= 2*int((1+4*cos(u)^2)*cos(u)+2*sin(u)*sin(u),u,0,2*pi)

Resultado: flujo = 4*pi

c) Cálculo de la Circulación

La circulación del vector V alrededor de la curva C en sentido antihorario se calcula con la integral:

Circulación = ∫c (V · T) ds