Ejercicio 1

• Si se necesita realizar en una oficina estudios técnico-económicos sobre determinadas empresas industriales y se cuenta con un personal de 2 economistas y 3 ingenieros industriales, ¿cuántas parejas de técnicos podrán formarse?

Economistas: 2

Ingenieros: 3

Principio de Adición: 2 + 3 = 5

Principio de Multiplicación: 2 * 3 = 6

Ejercicio 2

• Se desea saber ¿Cuántos grupos ordenados de tres letras pueden obtenerse del conjunto formado por las letras (a, b, c)?

n! = 3 * 2 * 1 = 6

3! = 6

Ejercicio 3

• Si se tiene un conjunto de 4 elementos y se desean formar grupos ordenados de 2 elementos, ¿Cuántos grupos se obtendrán?

₄P₂ = 12

₄P₂ = = = = 12

Ejercicio 4

• Se tiene un conjunto de 4 elementos y se desean formar grupos ordenados de 3 elementos. ¿Cuántos grupos se obtendrán?

₄P₃ = 24

₄P₃ = = = = 24

Ejercicio 5

• Si se tiene un conjunto con 4 elementos y se quieren formar subconjuntos no ordenados con 0, 1, 2, 3 y 4 elementos, ¿Cuántos subconjuntos es posible formar?

₄C₀ + ₄C₁ + ₄C₂ + ₄C₃ + ₄C₄ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

+ + + + = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

2⁴ = 16

Ejercicio 6

• Si se toma un conjunto de 3 elementos y se quiere determinar el número de subconjuntos no ordenados que se pueden formar con 0, 1, 2, y 3 elementos, ¿Cuántos subconjuntos se pueden formar?

₃C₀ + ₃C₁ + ₃C₂ + ₃C₃ = 1 + 3 + 3 + 1 = 8

+ + + = 1 + 3 + 3 + 1 = 8

2³ = 8

Ejercicio 7

• Un inversionista desea comprar 3 tipos de acciones. Se pregunta ¿Cuántos subconjuntos de acciones contienen exactamente 2 tipos de acciones y cuantos contienen exactamente 3 tipos de acciones?

₃C₂ = 3

A. ₃C₂ =

B. ₃C₃ =

Ejercicio 8

• Se quiere elegir un comité de 4 entre 10 personas.

₁₀C₄ = 210

₁₀C₄ =

Ejercicio 9

Si se quiere escoger un comité de 5 alumnos entre 7 alumnos del último año y 6 del penúltimo año, ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer si se estima que:

• Debe contener exactamente 3 alumnos del último año

₇C₃ = 35

₇C₃ =

₆C₂ = 15

₆C₂ =

35 * 15 = 525

• Por lo menos debe contener 3 alumnos del último año

1. 525

₇C₄ =

₆C₁ =

2. 35 * 6 = 210

₇C₅ =

3. 21

525 + 210 + 21 = 756

Ejercicio 10

• De un grupo de 3 técnicos en tiempos y movimientos y 6 especialistas en PERT, ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer de un grupo que conste de 2 técnicos y 4 especialistas? Si:
• Puede pertenecer al grupo cualquier técnico y cualquier especialista.

₃C₂ = 3

₃C₂ =

₆C₄ = 15

₆C₄ =

3 * 15 = 45

1. Un técnico determinado debe pertenecer al grupo.

₂C₁ = 2

₂C₁ =

₆C₄ = 15

₆C₄ =

2 * 15 = 30

2. 2 especialistas no pueden pertenecer al grupo.

₃C₂ = 3

₃C₂ =

₄C₄ = 1

₄C₄ =

3 * 1 = 3

Ejercicio 11

En un estante hay 12 libros diferentes:

• Calcular el número de selecciones de 8 libros diferentes que puedan hacerse.

₁₂C₈ = 495

₁₂C₈ =

• Determinar el número de estas selecciones que incluyen a un libro determinado.

₁₁C₇ = 330

₁₁C₇ =

• Determinar el número de estas selecciones que incluyen a dos libros determinados.

₁₀C₆ = 210

₁₀C₆ =

Ejercicio 12

Se tienen 4 nuevos productos de consumo, que van a lanzarse a la venta. Se han seleccionado 3 sectores de mercado donde va a muestrearse la venta a escala comercial. Como promoción se regalará, por cada producto que el cliente compre, dos de cualquiera de los 3 productos restantes. Se tienen los siguientes datos resultantes de una encuesta previa en los 3 sectores seleccionados:

• El sector 1 está compuesto por familias de la clase media baja, donde el producto A no tiene aceptación.

₃C₃ = 1

₃C₃ =

• El sector 2 está formado por familias de clase media alta donde no tienen preferencia por el producto C.

₃C₃ = 1

₃C₃ =

• El sector 3, formado por familias de la clase popular, quienes presentan una preferencia por los 4 productos.

₄C₃ = 4

₄C₃ =

Suponiendo que estos datos son 100% confiables, ¿Cuántas posibles combinaciones proporcionales pueden resultar?, ¿Qué porcentajes de estas mezclas promocionales contiene el producto B? y ¿Cuántas contienen al producto A y D?

₃C₂ = 3 veces aparece el producto B

₃C₂ =

El total de combinaciones serán 1 + 1 + 4 = 6

₂C₂ =

₂C₁ =

3 combinaciones contienen al producto A y D.

Ejercicio 13

• Si se tienen 3 cuadrillas de obreros para trabajar:

La cuadrilla A consta de 6 obreros

La cuadrilla B consta de 4 obreros

La cuadrilla C consta de 3 obreros

¿De cuántas formas distintas es posible ordenarlos? si:

• Los hombres de la cuadrilla A deben estar juntos

₆P₆ = 720

₆P₆ =

₇P₇ = 5040

₇P₇ =

720 * 5040 = 3628800

• Solamente los hombres de la cuadrilla C deben estar juntos

₃P₃ = 6

₃P₃ =

₁₀P₁₀ = 3628800

₁₀P₁₀ =

Ejercicio 14

• ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 …. 9? ¿Cuántos números pares? ¿Cuántos números, si los dos primeros dígitos son pares? Ningún digito debe repetirse.

₉P₄ = 3024

₉P₄ =

₅P₃ = 60

₅P₃ =

₄P₁ = 4

₄P₁ =

60 * 4 = 240 formas

₄P₂ = 12

₄P₂ =

₅P₂ = 20

₅P₂ =

12 * 20 = 240 formas

Ejercicio 15

Se tiene un conjunto de 6 letras = y un conjunto de 5 dígitos = ¿Cuántas claves se pueden formar para unos expedientes, si cada clave constara de 2 dígitos y 3 letras?

5² = 25

6³ = 216

25 * 216 = 5400 formas

Ejercicio 16

El número de maneras distintas en que 4 personas se pueden sentar en un coche de 6 plazas es de:

₆P₄ = 360

₆P₄ =

Ejercicio 17

Se quiere determinar el número de maneras en que se pueden distribuir 3 monedas de 25 centavos y 7 monedas de 10 centavos, entre 10 jóvenes de forma que a cada uno le corresponda una sola moneda.

P =

Ejercicio 18

¿De cuántas maneras se pueden colocar 7 libros sobre una estantería?

₇P₇ = 5040

₇P₇ =

Ejercicio 19

• ¿De cuántas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estas ocupen los lugares pares?

Hombres

₅P₅ = 120

₅P₅ =

Mujeres

₄P₄ = 24

₄P₄ =

120 * 24 = 2880 formas

Ejercicio 20

• ¿Cuántas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores diferentes?

P =

Ejercicio 21

Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra EMPUJADO.

• Si cada letra no se emplea más de una vez

₈P₅ = 6720

₈P₅ =

• Si cada letra se puede repetir

8⁵ = 32768 palabras

Fórmulas

Permutación

• Todo a la vez: _NP_n = N!
• Una parte a la vez: _NP_r =
• Circular: (N – 1)!
• Con repetición de elementos: P =
• Cuando se repiten: Nⁿ

Combinación

• _NC_r =
• Todos los elementos sucesivamente: _NC₀ + _NC₁ + _NC₂ + _NC₃ + …
• _NC_r = 2^N

Con Logaritmos

• + = *
• – = /
• * = +
• / = –