Ejercicios Resueltos de Dinámica en Ingeniería Aeroespacial

Ejercicio 1: Barra con Resorte y Carga

Se tiene una barra con las siguientes características:

• Momento (M) = 50 N
• Carga (P) = 80 N
• Resorte (Longitud no alargada) = 0.5 m
• Ángulo (θ) = 0

Cálculos:

• Peso (w) = 10 * 9.81 = 98.1 N
• Trabajo debido al peso (U_w) = 98.1 * 1.5 = 147.2 J
• Momento del par a θ = π/2 rad: U_M = 50 * (π/2) = 78.5 J
• Fuerza en el resorte:
  • A θ = 0°: (0.75 – 0.5) = 0.25 m
  • A θ = 90°: (2 – 0.75) – 0.5 = 1.25 m
• Trabajo del resorte (U_S) = -[1/2 * (30 N/m) * (1.25 m)^2 – (1/2) * (30 N/m) * (0.25 m)^2] = -22.5 J
• Fuerza P: Al moverse hacia abajo se desplaza (π/2) * (3 m) = 4.712 m
• Trabajo debido a la fuerza P (U_P) = 80 N * 4.712 m = 377.0 J
• Las reacciones en el pasador no realizan trabajo porque no hay desplazamiento.
• Trabajo total (U) = 147.2 + 78.5 – 22.5 + 377 = 579.7 J

Ejercicio 2: Sistema de Tres Elementos

Se tiene un sistema compuesto por tres elementos:

• Bloque
• Disco
• Cilindro

Cálculos:

• Velocidad del punto B (V_B): V_B = R_d * ω_d; 0.8 m/s = (0.1 m) * ω_d; ω_d = 8 rad/s
• Velocidad del punto E (V_E): V_E = (r_E/CI) * ω_c; 0.8 m/s = 0.2 m * ω_c; ω_c = 4 rad/s
• Velocidad del punto G (V_G): V_G = (r_G/CI) * ω_c; V_G = 0.1 m * 4 rad/s = 0.4 m/s
• Energía cinética del bloque (T_B) = 1/2 * m_B * V_B^2 = 1/2 * (6 kg) * (0.8 m/s)^2 = 1.92 J
• Energía cinética del disco (T_D) = 1/2 * I_D * ω_D^2 = 1/2 * [1/2 * (m_D) * (r_D^2)] * ω_D^2 = 1/2 * [1/2 * (10 kg) * (0.1 m)^2] * (8 rad/s)^2 = 1.60 J
• Energía cinética del cilindro (T_C) = 1/2 * m_c * V_G^2 + 1/2 * I_G * ω_C^2 = 1/2 * (12 kg) * (0.4 m/s)^2 + 1/2 * [1/2 * (12 kg) * (0.1 m)^2] * (4 rad/s)^2 = 1.44 J
• Energía cinética total (T) = T_B + T_D + T_C = 1.92 + 1.60 + 1.44 = 4.96 J

Ejercicio 3: Barra en Forma de L Invertida

Se tiene una barra en forma de L invertida con las siguientes características:

• Masa de la barra = 10 kg
• θ = 0
• Fuerza (P) = 50 N

Cálculos:

• Posición inicial 1: T₁ = 0; (v_g)₁ = ω₁ = 0
• Posición final 2: T₂ = ?; (v_g)₂ = ?; ω₂ = ?
• Energía cinética T₂ = 1/2 * m * (v_g2)^2 + 1/2 * I_G * ω₂^2 = 1/2 * (10 kg) * (v_g2)^2 + 1/2 * [1/12 * (10 kg) * (0.8 m)^2] * ω₂^2 = 5 * (v_g2)^2 + 0.267 * ω₂^2
• (v_g)₂ = (r_G/CI) * ω₂ = 0.4 * tan(45°) * ω₂; v_g2 = 0.4 * ω₂
• T₂ = 0.8 * ω₂^2 + 0.267 * ω₂^2 = 1.067 * ω₂^2
• Trabajo: El peso se desplaza una distancia vertical Δy = (0.4 – 0.4 * cos(45°)) m, mientras que la fuerza de 50 N se mueve horizontalmente s = (0.8 * sin(45°)) m
• Principio de trabajo y energía: [T₁] + [Σ U_(1-2)] = [T₂]; [T₁] + [W * Δy + P * s] = [T₂]; 0 + [98.1 N * (0.4 m – 0.4 * cos(45°) m) + 50 N * (0.8 * sin(45°) m)] = 1.067 * ω₂^2 J
• ω₂ = 6.11 rad/s

Ejercicio 4: Bloques A y B con Dos Poleas

Se tienen dos bloques A y B conectados por un sistema de dos poleas y una cuerda. Se cumple que T_A = 2 * T_B

Cálculos:

• Bloque A: m * (V_A)₁ + ∑∫_(t1)^(t2) F_y dt = m * (V_A)₂; 0 – (2 * T_B) * (6 s) + 3 * 9.81 N * (6 s) = (3 kg) * (V_A)₂
• Bloque B: m * (V_B)₁ + ∑∫_(t1)^(t2) F_y dt = m * (V_B)₂; 0 + 5 * 9.81 N * (6 s) – (T_B) * (6 s) = (5 kg) * (V_B)₂
• Cinemática: Se tienen las coordenadas S_A y S_B relacionadas con la longitud constante total L de la cuerda: 2 * S_A + S_B = L. Derivando con respecto a t, se obtiene 2 * V_A = -V_B (hacia abajo)
• Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene: (V_B)₂ = 35.8 m/s (hacia abajo), T_B = 19.2 N

Ejercicio 5: Caja con Impulso

Se tiene una caja de 100 lb sometida a una fuerza variable.

Cálculos:

• Impulso = A₁ + A₂ = m * V₂ – m * V₁; m * V₁ = 0
• A₁ + A₂ = m * V₂
• A₁ = base * altura / 2 = (4 s * 40 lb) / 2 = 80 lb*s
• A₂ = 4 s * 40 lb = 160 lb*s
• Impulso = 80 lb*s + 160 lb*s = 240 lb*s = m * V₂
• m = 100 lb / 32.2 ft/s^2 = 3.1 slugs
• V₂ = 240 lb*s / 3.1 slugs = 77.42 ft/s

Ejercicio 6: Cigüeñal

Se tiene un sistema de cigüeñal.

Cálculos:

• (EC)_A = 1/2 * M * V^2 = 1/2 * (1 kg) * (3 m/s)^2 = 4.5 Nm
• (0.6 / sin β) = (0.3 / sin 20°), β = 43.2°
• α = 90° – β = 46.8°
• V_B = V_A + (ω_AB * k) X ρ_AB; V_B * (cos α * i + sin α * j) = 3 * i + ω_AB * k X (0.6 * cos 20° * i + 0.6 * sin 20° * j); V_B * (0.684 * i + 0.729 * j) = 3 * i + 0.564 * ω_AB * j – 0.205 * ω_AB * i; V_B = 3.16 m/s y ω_AB = 4.09 rad/s
• Velocidad del centro de masas: V_C = V_A + (ω_AB * k) X (ρ_AC) = 3 * i + (4.09 * k) X (0.940 * i + 0.342 * j) * (0.3) = 3 * i + 1.158 * j – 0.420 * i = 2.580 * i + 1.158 * j m/s
• (EC)_AB = 1/2 * M_AB * V_C^2 + 1/2 * I_zz * ω_AB^2 = 1/2 * (2.5 kg) * (2.58^2 + 1.158^2) m^2/s^2 + 1/2 * (1/12 * 2.5 kg * 0.6^2 m^2) * (4.09 rad/s)^2 = 10.61 Nm = J
• ω_D = (V_B / r) = (3.16 m/s / 0.3 m) = 10.53 rad/s
• (EC)_D = [1/2 * (50 kg) * (0.36^2 m^2)] * (10.53 rad/s)^2 = 359.3 Nm
• Energía cinética total: EC = EC_A + EC_AB + EC_D; 4.5 + 10.61 + 359.3 = 374.4 Nm

Ejercicio 7: Rueda Doble

Se tiene una rueda doble con las siguientes características:

• Masa de la rueda = 30 kg
• Radio = 100 mm
• Masa de la barra OB = 10 kg
• Masa del cursor B = 7 kg
• Constante del resorte (k) = 30 kN/m
• θ = 45°

Cálculos:

• ΔT = [2 * (1/2 * I_o * ω^2) – 0]_barras + [1/2 * m * v^2 – 0]_cursor = 1/3 * 10 kg * (0.375 m)^2 * (V_B / 0.375 m)^2 + 1/2 * 7 kg * V_B^2
• El cursor B cae a una distancia de 0.375 / √2 = 0.265 m
• ∆V = ∆V_g = 0 – 2 * (10 kg) * (9.81 m/s^2) * (0.265 m / 2) – 7 kg * (9.81 m/s^2) * (0.265 m) = -44.2 J
• U´_(1-2) = 0; [U´_(1-2) = ∆T + ∆V]; 0 = 6.83 * V_B^2 – 44.2; V_B = 2.54 m/s
• En el estado de deformación máxima (x) del resorte, todo está en reposo, ∆T = 0; [U´_(1-2) = ∆T + ∆V_g + ∆V_e]; 0 = 0 – 2 * (10 kg) * (9.81 m/s^2) * [(0.265 m / 2) + (x / 2)] – 7 kg * (9.81 m/s^2) * (0.265 m + x) + 1/2 * (30 kN/m) * x^2
• Resolviendo la ecuación cuadrática, se obtiene x = 60.1 mm

Ejercicio 8: Rueda con Momento de Par

Se tiene una rueda con las siguientes características:

• Peso (w) = 40 lb
• Radio de giro (R_G) = 0.6 pies
• Momento de par = 15 lb*pie (horario)
• Rigidez del resorte (k) = 10 lb/pie

Cálculos:

• T₁ = 0 (la rueda está en reposo)
• T₂: Energía cinética final = 1/2 * m * (V_G)₂^2 + 1/2 * I_G * ω₂^2 = [1/2 * (40 lb / 32.2 ft/s^2)] * (V_G)₂^2 + 1/2 * [(40 lb / 32.2 ft/s^2) * (0.6 ft)^2] * ω₂^2
• La velocidad del centro de masa se relaciona con la velocidad angular mediante el centro instantáneo de rotación (CI): V_G)₂ = 0.8 * ω₂
• T₂ = 0.621 * ω₂^2
• Trabajo del resorte: U_S = -1/2 * k * s^2
• Cuando el centro G se mueve 0.5 pies, la rueda gira θ = s_G / (r_G/CI) = 0.5 ft / 0.8 ft = 0.625 rad
• S_A = θ * (r_A/CI) = 0.625 rad * (1.6 ft) = 1 ft
• Principio de trabajo y energía: [T₁] + [Σ U_(1-2)] = [T₂]; [T₁] + [M * θ – (1/2) * k * s^2] = [T₂]; 0 + [15 lb*ft * (0.625 rad) – 1/2 * (10 lb/ft) * (1 ft)^2] = [0.621 * ω₂^2 ft*lb]
• ω₂ = 2.65 rad/s (horario)

Ejercicio 9: Pilote Rígido

Se tiene un sistema de pilote rígido con las siguientes características:

• Masa del martinete (P) = 800 kg
• Masa del pilote (H) = 300 kg

Cálculos:

• Conservación de la energía: T₀ + V₀ = T₁ + V₁; 1/2 * m_H * (v_H)₀^2 + W_H * y₀ = 1/2 * m_H * (v_H)₁^2 + W_H * y₁; 0 + 300 kg * 9.81 m/s^2 * 0.5 m = 1/2 * 300 kg * (v_H)₁^2 + 0
• (v_H)₁ = 3.13 m/s
• Conservación del momento lineal: (V_H)₂ = (V_P)₂ = V₂; (m_H) * (v_H)₁ + (m_P) * (v_P)₁ = (m_H) * V₂ + (m_P) * V₂; 300 kg * 3.13 m/s + 0 = 300 kg * V₂ + 800 kg * V₂
• V₂ = 0.854 m/s
• Principio de impulso y momento lineal: (m_H) * (v_H)₁ + ∑∫_(t1)^(t2) F_y dt = m_H * V₂; 300 kg * 3.13 m/s – ∫R dt = 300 kg * 0.854 m/s
• ∫R dt = 683 N*s