Integrales sobre curvas – Hoja de Ejercicios

1. Calcular los puntos inicial y final, el vector velocidad y las longitudes de las curvas recorridas por los caminos siguientes:

   • c^→(t) = (cos(t), sen(t), 1 + t), t ∈ [0, π]

   • c^→(t) = (t, t², 2 – t²), t ∈ [0, 1]

   • c^→(t) = (e^t cos(t), e^t sen(t), e^t), t ∈ [0, π/2]

2. Encuentra una fórmula para la longitud de un arco de gráfica y = f(x) con x ∈ [a, b].

3. Si un camino en el plano c^→ viene descrito en coordenadas polares como c^→* = (r(t), θ(t)), t ∈ [a, b], probar que:

   1. Su longitud viene dada por L = ∫_a^b √(r´(t)² + r²(t)θ´²(t)) dt

   2. La integral de línea ∫_c→ P(x, y) dx + Q(x, y) dy resulta:

      ∫_c→ (P *(r, θ) cos(θ) + Q *(r, θ) sen(θ)) dr + (Q *(r, θ) cos(θ) – P *(r, θ) sen(θ))r dθ

      donde P *(r, θ) = P(r cos(θ), r sin(θ)) y Q *(r, θ) = Q(r cos(θ), r sin(θ)).

      Aplicar lo anterior para calcular la longitud de la curva en polares r(t) = |sen(t)|, θ(t) = t, con t ∈ [0, π] y la integral de línea sobre la misma con P(x, y) = –y, Q(x, y) = x.

4. Calcula la integral de trayectoria de la función f(x, y, z) = arc cos³(y)(x² + y²) sobre el camino c^→(t) = (sen(t), cos(t), t³), t ∈ [0, π/2].

5. La base de una pieza del motor de un tractor tiene forma circular r(t) = (2cos(t), 2sen(t)), t ∈ [0, 2π], y su altura viene dada por z = 1 + y². Halla el área lateral de la pieza.

6. La parte inferior de una pared se puede expresar como y = x^3/2 y su altura como z = 20 + x/4. Calcula el área de la misma si x ∈ [0, 4].

7. Evalúa la integral de línea ∫_c→ [xy dx + 2y dy] desde x = 0 hasta x = 2 sobre:

   1. La línea y = 2x

   2. La curva y = x²

   3. El camino c^→(t) = (1 – cos(πt), t² + 3t)

8. Calcula el trabajo desarrollado por la fuerza F^→(x, y, z) = yi – xj + k cuando mueve una partícula desde (1, 0, 0) hasta (1, 0, 1) a lo largo del camino c^→(t) = (cos t, sen t, t/2π), 0 ≤ t ≤ 2π.

9. Calcular la siguiente integral de línea ∫_σ→ x cos(y) dx + e^x dy + e^x dz sobre la curva σ^→(t) = (t, t², e^t) con t ∈ [0, 1].

10. Explica qué relación existe entre la integral de línea de F^→(x, y) = –yi + xj a lo largo de los caminos c₁^→(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2π y c₂^→(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 4π. ¿Cuáles son las curvas correspondientes?

11. Sea F^→(x, y, z) = x²i – xyj + k. Calcular la integral de línea de F^→ a lo largo de los siguientes caminos:

    1. Recta que une (0, 0, 0) con (1, 1, 1).

    2. Circunferencia de centro el origen y radio 1, situada en el plano x = 0 y recorrida en sentido antihorario.

    3. Parábola z = x², y = 0 entre (-1, 0, 1) y (1, 0, 1).

12. Calcular la siguiente integral de línea ∫_σ→ yz dx + xz dy + xy dz sobre la curva σ^→(t) = (t², t, t²) con t ∈ [0, 1].

13. A lo largo de un camino termodinámico c^→(t) = (P(t), V(t), T(t)) en el espacio (P, V, T) el trabajo realizado es W = ∫_c→ P dV.

    Comprueba que para un gas ideal, para el que P = nRT / V, o para un gas de Van der Waals, para el que P = RT /(V – b) – a / V², en un proceso isotermo, el trabajo realizado sólo depende del estado inicial y final y no del trayecto recorrido.

14. A lo largo de un camino termodinámico c^→(t) = (P(t), V(t), T(t)) en el espacio (P, V, T) el calor ganado es:

    Q = ∫_c→ A_V dV + K_V dT,

    donde A_V, K_V son funciones de (P, V, T), dependiendo del sistema físico particular.

    Un proceso adiabático es un camino termodinámico (P(t), V(t), T(t)), para el cual no se gana calor en ninguna parte del recorrido. Obtén de esto que el proceso es adiabático si y sólo si:

    dT / dV = dT/dt / dV/dt = – A_V(P, V, T) / K_v(P, V, T).

15. Para un gas de Van der Waals, se sabe que:

    P = RT /(V – b) – a / V², JA_V = RT /(V – b), K_V = cte

    donde R, b, a, y J son constantes conocidas. Inicialmente el gas está a una temperatura T₀ y tiene un volumen V₀.

    1. Si el gas de Van der Waals se somete a un proceso adiabático en el cual se duplica el volumen hasta 2V₀, calcular:

       1. el calor ganado

       2. el trabajo realizado

       3. el volumen, la temperatura y la presión final.

    2. Después de este proceso i), el gas se enfría o calienta a volumen constante, hasta alcanzar la temperatura original T₀. Calcular:

       1. el calor ganado

       2. el trabajo realizado

       3. el volumen, la temperatura y la presión final.

    3. Después de este segundo proceso ii), el gas se comprime a temperatura constante, hasta alcanzar el volumen original V₀. Calcular:

       1. el calor ganado

       2. el trabajo realizado

       3. el volumen, la temperatura y la presión final.

    4. Para el proceso cíclico i), ii), iii), calcular:

       1. el calor total ganado

       2. el trabajo total realizado

16. Sea F^→ el campo de velocidad de un fluido en movimiento circular uniforme con velocidad angular ω alrededor del eje z en sentido contrario a las agujas del reloj, es decir F^→(r^→) = ω k^→ × r^→, siendo r^→ el vector de posición de un punto. Demostrar que la integral de línea de F^→ (o circulación) a lo largo de la circunferencia C, situada en el plano xy, centrada en el origen y de radio R, es 2πωR².

17. Consideremos un alambre largo sobre el eje z que transporta una corriente de intensidad I. El campo magnético B^→ que rodea al alambre verifica la Ley de Ampère: I = ∫_c→B^→ds^→, donde c^→ es cualquier camino cerrado simple que rodea al alambre. Los experimentos demuestran que B^→ es tangente a cada círculo C en el plano xy con centro el origen y que la magnitud de B^→ es constante en cada uno de dichos círculos, es decir, B^→ = BT^→ donde T^→ es un vector unitario tangente a C y B es un escalar. Demuestra que B = I /2πR donde R es el radio del círculo C.

18. Determinar, si fuera posible, un potencial para los campos:

    1. F^→ = (3x²yz + 2xy)i + (x³z + x² + 2yz)j + (x³y + y² + 1)k.

    2. F^→ = (3x²yz² – 2xy)i + (x³z² – x² + z³)j + (2x³yz + 3z²y + sen(z))k.

    3. F^→(x, y, z) = (y² + y cos(xy), 2xy + x cos(xy), e^z)

    4. F^→(x, y) = (3x²y + 2xy, x³ + x² + 2y)

    5. F^→(x, y, z) = e^z i – cos(xy)j + z³yk.

    Calcular el rotacional de los campos anteriores.

19. Sea F^→(x, y, z) = (z³ + 2xy)i + x²j + 3xz²k. Demuestra que la integral de línea de F^→ a lo largo de la circunferencia circunscrita al cuadrado [0, 1] × [0, 1] en el plano xy es cero.

    1. Calculándola directamente.

    2. Encontrando una función f tal que F^→ = ∇f.

20. Sea r^→ = xi + yj + zk, sea r = ||r^→||. La fuerza gravitatoria ejercida por una masa M situada en el origen sobre una masa puntual m localizada en r^→ es F^→ = –GmM r^→/ r³.

    1. Comprobar que F^→ es un campo gradiente y encontrar una función f tal que F^→ = ∇f.

    2. ¿Cuál es el trabajo realizado por F^→ cuando m se mueve desde r₁^→ hasta r₂^→?

    3. Obtener el mismo resultado para el campo creado por una carga eléctrica Q en el origen.

21. Usar el teorema de Green para evaluar ∫_c→(y² + x³)dx + x⁴dy, donde !c es el perímetro de [0, 1]×[0, 1] positivamente orientado (en sentido contrario al de las manecillas del reloj).

22. Comprobar que se verifica el Teorema de Green para P(x, y) = 2y, Q(x, y) = x y D el disco unidad, es decir, ∫_c→ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∬_D (∂Q /∂x – ∂P /∂y) dxdy.

23. Sea c^→ una parametrización de la elipse x²/a² + y²/b² = 1 y F^→(x, y) = xy²i – yx²j. Escribir ∫_c→ F^→ ds^→ como una integral doble utilizando el teorema de Green y calcularla.

24. Sea c^→ una parameterización la frontera del cuadrado [1, 2] × [1, 2]. Calcular ∫_c→ x²ydx + 3y²xdy utilizando el teorema de Green.

25. Hallar, utilizando el teorema de Green:

    1. área del triángulo de vértices (1,0), (3,4), (5,-1)

    2. área de la figura de vértices (0,1), (3,0), (1,2) y (4,3).

    3. el área dentro de la elipse x²/a² + y²/b² = 1

    4. el área encerrada entre las curvas y = x³, y = √x.

    5. el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas, r = 3 sen 2θ, 0 ≤ θ ≤ π/2. (Indicación: xdy – ydx = r²dθ).

26. Si F es un campo vectorial conservativo y C una curva suave cerrada, ¿serán nulas tanto la circulación de F a lo largo de C como su flujo a través de dicha curva?

27. Obtén el flujo del campo F(x, y) = (x, –y) a través de la curva, considerada en sentido antihorario, formada por el trozo de astroide (cos³(t), sen³(t)) con t ∈ [0, π/2] y el trozo de la parábola y = 1 – x² con x ∈ [0, 1].

28. Demuestra las afirmaciones y contesta las preguntas:

    1. ∇ · (∇ × F^→) = 0,

    2. ∇ × (∇ f) = 0,

    3. Si r^→(t), s^→(t) son curvas probar que d(r^→ · s^→) /dt = dr^→/dt · s^→ + r^→ · ds^→/dt,

    4. Si r^→(t), s^→(t) son curvas, d(r^→ × s^→)/dt = dr^→/ dt × s^→ + r^→ × ds^→/ dt

    5. Si r^→(t) es una curva función de módulo constante, r^→ · d r^→/dt = 0.

29. 1. Calcula ∫_c f ds para f(x, y, z) = x + √y – z², siendo C el trozo de la parábola { y = x² } que va de (0,0,0) a (1,1,0) concatenado a la recta que va de (1,1,0) a (1,1,1)

    2. Calcula ∫_c 2xy² dx + (x² + y²)dy siendo C el trozo de curva comprendido entre (0,-4) y (5, 0):

       1. perteneciente a la elipse x²/25 + y²/16 = 1

       2. perteneciente a la recta y = x – 5

       ¿Puedes explicar el resultado?

30. Haz un esbozo del campo de fuerzas F(x, y, z) = (x, y, z) y calcula el trabajo realizado por dicho campo al mover una partícula de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) a lo largo del camino r(t) = (t, t², t⁴). ¿Daría el mismo resultado moverla a lo largo de alguna otra curva que una esos dos puntos?

31. Halla ∫_c(x – y) ds siendo C la curva cerrada formada por la unión de trozos de otras tres: la parábola y = x² yendo de (0,0) a (2,4), la recta horizontal entre (2,4) y (0,2) y la recta vertical entre (0,2) y (0,0).

32. Obtén la circulación (en sentido antihorario) a lo largo de C y el flujo a través de C del campo de velocidades en el plano v(x, y) = (2y, 3x) siendo C la elipse x²/4 + y² = 1.

33. Halla la masa de dos vueltas de un muelle de densidad p(x, y, z) = (x² + y² + z²)/2 y forma r(t) = (3cos(t), 3sen(t), 2t).

34. Calcula el centro de masas de un alambre de forma r(t) = (-√2t, -√2t, 4 – t²), con t ∈ [0, 1] y densidad p(x, y, z) = 3√(4 – z).