Hoja 2

Ejercicio 1

Comprueba que ??_{[a,b]× [c,d]}f(x)g(y) dxdy = (?_a^b f(x) dx )(?_c^dg(y) dy)

Ejercicio 2

Calcular ??_R f(x, y)dxdy en los siguientes casos:

1. f(x, y) = 2(x + 2y) R = [? 1, 2] × [0, 2]
2. f(x, y) = xy³e^x2y2 R = [1, 3] × [1, 2]
3. f(x, y) = x/(y + 1 ) + ye^xy R = [1, 4] × [1, 2]
4. f(x, y) = y⁵ sen xe^{y3 cos x} R = [0, π] × [?1, 0]
5. f(x, y) = x³ + sen(x + y) R = [1, 2] × [?3, 2]
6. f(x, y) = x² sen(xy) R = [0, 1] × [0, 1]

Ejercicio 3

Calcular las siguientes integrales:

1. ??_D x dxdy D = {(x, y), 0 < x < π, 0 < y < sen(x² )}
2. ??_Dx²y² dxdy D = {(x, y), 0 < x < y², 0 < y < 2 + x, x ≤ 1}
3. ??_Dx² dxdy, donde D es la región del primer cuadrante limitada por las curvas xy = 16, y = x, y = 0 e x = 20.

Ejercicio 4

Calcular la integral ??_R x cos(y) dxdy donde R es la región delimitada por las curvas y = ax e y = x² con x ≥ 0, supuesto que a > 0.

Ejercicio 5

Dadas las siguientes integrales iteradas, dibujar el recinto sobre el que se integra, invertir el orden de integración y calcularlas de la forma más sencilla:

1. ?₀¹?₀^{√(1? x2)}√( 1 ? y²)dydx
2. ?₀³?_–x²+1^{x2 +1}xy dydx
3. ?01?eye(2y)yln(x)dxdy
4. ?_-1¹?_-2|y|^|y|e^(x+y) dxdy
5. ?₀¹?_1-y¹(x + y² )dxdy

Ejercicio 6

Escribe las dos integrales iteradas de la siguiente integral doble.

??_R(x ? y² ) dxdy

donde R es la región anular entre las dos circunferencias x² + y² = 1, x² + y² = 2.

Calcula la integral, utilizando coordenadas polares.

Ejercicio 7

Calcular la integral ??_Rln(x² + y² ) dxdy

donde R es la región formada por los puntos (x, y) tales que 1 ≤ x² + y² ≤ 4, y ≥ 0.

Ejercicio 8

Calcular el área, A = ??_R 1 dxdy, de las regiones planas delimitadas por

1. x² + y² = 16, y = √x² + 4, x ≥ 0, y ≥ 0.
2. xy = 16, y = x, y = 0, x = 8.
3. y = 2x, y = x² , x ≤ 1.

Ejercicio 9

Calcular la integral doble ??_D xy dxdy

siendo D la región contenida en el primer cuadrante, encerrada por las curvas y = x² , y² = x.

Ejercicio 10

Calcula ??_R²e^{?(x2 +y2)} dxdy

efectuando un cambio a coordenadas polares. Utiliza las integrales iteradas en coordenadas cartesianas para concluir que ?_-∞^∞ e^{? x2}dx =√π

Ejercicio 11

Calcula el área de la elipse x²/a² + y²/b² = 1.

Ejercicio 12

Calcular la integral ??_R x cos(y) dxdy donde R es la región delimitada por las curvas y = ax e y = x² con x ≥ 0, supuesto que a > 0.

Ejercicio 13

Sea D el interior del triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (2, 1) y consideramos la integral doble

I = ??_D(x ? y)e^{x? y} dxdy.

1. Escribir las dos integrales iteradas (cambiando el orden de integración) necesarias para calcular la integral doble.
2. Calcular la integral doble, integrando primero en la variable x.

Ejercicio 14

Hallar el volumen encerrado por la gráfica de z=√(4?x²? y²) sobre la región R = {(x, y), x² +y²≤ 4}.

Ejercicio 15

Sobre un estadio que ocupa la región [0, a]×[0, b] se va a levantar una cubierta cuya altura viene dada por h(x, y) = h₀ + y(b ? y).

Calcula el volumen resultante. Idem si h(x, y) = h₀ + x(a ? x).

Ejercicio 16

Sobre una plaza de toros que ocupa la región R = {(x, y), x² + y² ≤ r²} se levanta una cubierta cuya altura viene dada por h(x, y) = h₀ + (h₀ ? x² ? y²)^α con α > 0. Calcular el volumen resultante.

Ejercicio 17

Sea densidad ρ= ρ(x, y) la densidad de masa por unidad de superficie de una lámina plana correspondiente a una región R del plano. Así la masa total m de la lámina plana viene dada por

m = ??_R ρ(x, y) dxdy

Calcula la masa de una lámina triangular de vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 1) suponiendo que ρ(x, y) =2x + 3y.

Ejercicio 18

El centro de masas de una lámina plana, R, de densidad variable ρ(x, y) tiene coordenadas

x =1 /m??_R xρ(x, y) dxdy y =1 /m??_R yρ(x, y) dxdy

Calcula la masa y el centro de masas de las siguientes láminas

1. el triángulo de vértices (0, 0), (0, a) y (a, 0), con la densidad ρ(x, y) = x² + y² .
2. el triángulo de vértices (0, 0), (0, 1) y (2, 0), con la densidad ρ(x, y) = 1 + 3x + y.
3. limitada por la y = 6x ?x² y y = x y densidad constante ρ₀.

Ejercicio 19

Calcular el volumen de los siguientes cuerpos

1. limitado por z = 0, z = x + y + 2 e interior al cilindro x² + y² = 16.
2. la porción de cilindro 4x² + y² = a² entre los planos z = 0 y z = my.
3. resultado de eliminar a una esfera de radio 2a, un cilindro de radio a, de manera que el eje del cilindro es un diámetro de la esfera.
4. un cono recto cuya base tiene radio a y altura h.

Ejercicio 20

Calcular las integrales triples ???_R f(x, y, z) dxdydz para las siguientes funciones siendo las regiones R limitadas como sigue:

1. f(x, y, z) = x+y +z, x² +y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2
2. f(x, y, z) = z, x ≥ 0, y ≥ 0, z = 2, z = x² +y²
3. f(x, y, z) = x² cos(z), z=0, z=π, y = 0, y = 1, x = 0, x + y = 1

Ejercicio 21

Sea ρ = ρ(x, y, z) la densidad de un cuerpo correspondiente a una región V del espacio. La masa m del objeto viene dada por m = ???_Vρ(x, y, z) dxdydz

Calcula la masa de una esfera de radio 1 y densidad ρ = ρ(r) = 1 /(r+1 ) , sabiendo que en coordenadas esféricas dxdydz = r² sen θ drdθdφ