1. Cálculo de lados de triángulos semejantes

La razón de proporcionalidad “k” de dos triángulos semejantes T y T’ es 2,3. Sabiendo que los costados del pequeño son a = 5 cm, b = 7 cm y c = 8 cm, calcula los lados del triángulo grande.

• a’ = 2,3 * 5 cm = 11,5 cm
• b’ = 2,3 * 7 cm = 16,1 cm
• c’ = 2,3 * 8 cm = 18,4 cm

2. Cálculo de la razón de proporcionalidad

El perímetro del triángulo T es 12 dm y el de T’ es 2,8 m. Calcula la razón de proporcionalidad.

Para trabajar con la misma magnitud, haremos la conversión a cm. El triángulo T tiene un perímetro de 120 cm y el segundo de 280 cm.

Por ello, si dividimos el más grande entre el más pequeño (280/12 = 23,3) nos indica que la proporcionalidad entre ambos es de 1:23,3, o sea, el segundo es 23,3 veces más grande que el primero.

3. Cálculo de la razón de proporcionalidad y lados desconocidos

El perímetro de T’ es 25 cm y el de T es 10 cm. Sabemos que dos lados son a’ = 8 cm y b’ = 7 cm. Calcula:

1. La razón de proporcionalidad
2. c’
3. a, b, c

Solución:

1. 25/10 = 2,5
2. 25 – (8 + 7) = 10 cm
3. • 8/a = 2,5 –> a = 8 / 2,5 = 3,2 cm
   • 7/b = 2,5 –> b = 7 / 2,5 = 2,8 cm
   • 10/c = 2,5 –> c = 10 / 2,5 = 4 cm

4. Cálculo de lados homólogos en triángulos

De dos triángulos sabemos que dos lados homólogos valen a = 12 cm, a’ = 19 cm y que b’ es 1 cm más grande que b. Calcula los valores de b y b’.

Solución:

• a = 12 cm
• a’ = 19 cm
• b’ = b + 1 cm

Entonces:

• b’/b = a’/a
• b’ = (19/12) b ≈ 1,583 b
• 1,583 b = b + 1 cm
• 0,583 b = 1 cm
• b = (1/0,583) cm
• b ≈ 1,72 cm
• b’ ≈ 2,72 cm

5. Cálculo de ángulos en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo, los catetos valen 8 y 10 cm respectivamente. Calcula los ángulos.

Supongamos que en este triángulo rectángulo los catetos son a y b, y los ángulos respectivos son B y A.

Los datos son:

• a = 8 cm
• b = 10 cm

Debemos averiguar:

• A = ?
• B = ?

La tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto (a) y el cateto adyacente (b). O sea:

tg A = a/b

Reemplazando a y b por sus valores:

• tg A = 8/10
• tg A = 0,8
• A será el ángulo cuya tangente vale 0,8. O sea:
• A = arctg 0,8
• A ≈ 38,66°

La tangente del ángulo B es el cociente entre el cateto opuesto (b) y el cateto adyacente (a). O sea:

tg B = b/a

Reemplazando a y b por sus valores:

• tg B = 10/8
• tg B = 1,25
• B será el ángulo cuya tangente vale 1,25. O sea:
• B = arctg 1,25
• B ≈ 51,34°

6. Cálculo del ángulo de incidencia de los rayos solares

Un poste de 1,30 m de altura está vertical en el suelo. Si en un momento determinado proyecta una sombra de 2,35 m, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el suelo?

Tanto el poste (b) como la sombra proyectada (c) son los catetos de un triángulo rectángulo, y el ángulo que forman los rayos del Sol con el suelo forman el ángulo B.

Ese ángulo se calcula con la tangente:

• tan B = b/c
• tan B = 1,30 / 2,35
• tan B ≈ 0,55319 (redondeado a 5 decimales)

Luego se calcula la función inversa de la tangente (tan^-1), que es el arcotangente (arctan):

• arctan B ≈ 28,95 (redondeado a dos decimales) = 28º 57′

7. Cálculo del área de un triángulo rectángulo

Calcula el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la hipotenusa mide 15 cm y uno de los ángulos agudos es de 41º.

Los ángulos miden 41° y 49°.

A = b*h / 2

Pero no tenemos información sobre los catetos del triángulo, nos dan la medida de la hipotenusa.

Cálculo de los Catetos:

El seno del ángulo B = 41° es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.

• sen B = Cateto opuesto / hipotenusa
• Cateto opuesto = Hipotenusa * sen B = 15 * sen 41° = 15 * 0,656 ≈ 9,84 cm

El coseno del ángulo B es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.

• cos B = Cateto contiguo / hipotenusa
• Cateto contiguo = Hipotenusa * cos B = 15 * cos 41° ≈ 15 * 0,7547 ≈ 11,32 cm

Sabiendo los catetos, sustituimos en la ecuación del área:

• A = b*h / 2 = (9,84 cm * 11,32 cm) / 2
• A ≈ 111,39 cm² / 2
• A ≈ 55,7 cm²

8. Cálculo del perímetro y área de un octógono regular

Calcula el perímetro y el área de un octógono regular (polígono de ocho lados) inscrito en una circunferencia de 10 dm de radio.

• P = lado x 8
• A = 2r²√(2) ó (perímetro x apotema)/2

El octógono está formado por 8 triángulos isósceles, o sea, 16 triángulos rectángulos. Separamos uno de los 16, que tendrá las medidas siguientes:

• A = 22,5°
• B = 67,5°
• C = 90°
• a = ? (la mitad del lado del octógono)
• b = ? (apotema del octógono)
• c = 10 dm (radio de la circunferencia)
• a = c * sen A
• a = 10 * 0,3827
• a ≈ 3,827 dm <——– (lado del octógono ≈ 7,654 dm)
• P ≈ 7,654 x 8 ≈ 61,232 dm <============ (Perímetro)
• b = √(c² – a²)
• b = √(100 – 14,646)
• b = √(85,354)
• b ≈ 9,239 dm <——– (apotema)
• A ≈ (61,232 x 9,239) / 2
• A ≈ 282,56 dm² <============== (Área)

9. Cálculo de la altura de dos torres

Dos torres de la misma altura están separadas entre sí una distancia de 200 m. Desde un punto entre ellas (no necesariamente el medio) se ven las partes más altas bajo ángulos de 43º y 28º respectivamente. ¿Cuál es la altura de las torres?

• H: altura común a las torres
• x₁: Distancia horizontal del observador a la primera torre

tan(43º) = H/x₁

x₁ = H/tan(43º)

tan(28º) = H/x₂

x₂ = H/tan(28º)

Suma de distancias horizontales:

x₁ + x₂ = H ( (1/tan(43º)) + (1/tan(28º)) ) = 200 m

H = (200 m) / ( (1/tan(43º)) + (1/tan(28º)) )

H ≈ 67,7 m

Como verificación, el punto de observación está separado horizontalmente de las torres con las distancias:

• x₁ = H/tan(43º) ≈ 72,63 m
• x₂ = H/tan(28º) ≈ 127,37 m

10. Cálculo del área y perímetro de un triángulo isósceles

Calcula el área y el perímetro de un triángulo isósceles sabiendo que el ángulo y el lado desiguales miden 38º y 16 dm respectivamente.

Lo divido desde la mitad de la base al ángulo superior, en 2 triángulos rectángulos. Separo uno:

• A = 19°
• B = 71°
• C = 90°
• a = ? (mitad de la base)
• b = ? (altura)
• c = 16 dm

Área de nuestro triángulo = (base x altura)/2

• a = c * sen A
• a = 16 * 0,3256
• a ≈ 5,2 dm
• b = √(c² – a²)
• b = √(256 – 27,04)
• b = √(228,96)
• b ≈ 15,13 dm
• Área ≈ (5,2 x 15,13) / 2
• Área ≈ 78,676 / 2
• Área ≈ 39,338 dm²

Como son 2 triángulos:

• Área del triángulo isósceles ≈ 78,676 dm²
• Perímetro ≈ 10,4 + 16 + 16 ≈ 42,4 dm

11. Cálculo de la longitud y altura de una pared de una glaciar

Por efecto del deshielo, la pared frontal de un glaciar forma un ángulo de 83º con la horizontal del mar. Desde el “Rainbow Warrior” los miembros de Greenpeace observan la parte más alta bajo un ángulo de 38º. Si avanzan 300 m, el ángulo de observación pasa a ser de 53º. ¿Qué longitud tiene el glaciar? ¿A qué altura sobre el nivel del mar está la parte más alta de este glaciar?

• H: Distancia vertical desde la parte más alta hasta el nivel del mar (vertical no accesible)
• D₁: Distancia horizontal desde la primera observación hasta el pie de la distancia vertical (no accesible)
• D₂: Distancia horizontal desde la segunda observación hasta el pie de la distancia vertical (no accesible)

Primera observación:

tan(38º) = H/D₁

D₁ = H (1/(tan(38º)))

Segunda observación:

tan(53º) = H/D₂

D₂ = H (1/(tan(53º)))

D₁ – D₂ = H (1/(tan(38º))) – H (1/(tan(53º)))

300 m = H ((1/(tan(38º))) – (1/(tan(53º))))

H = (300 m)/((1/(tan(38º))) – (1/(tan(53º))))

¿A qué altura sobre el nivel del mar está la parte más alta de esta montaña?

H ≈ 570 m

¿Qué longitud tiene la (pared frontal de la) montaña?

• H’ = H / sen(83º)
• H’ ≈ (570 m) / sen(83º)
• H’ ≈ 574 m

12. Cálculo de ángulos y área de un bosque quemado

Por efectos de la sequía se ha quemado un bosque de forma aproximada de triángulo. Para saber el área que se ha quemado se han medido los lados de este hipotético triángulo: 6 km, 7 km y 3 km respectivamente. Calcula los ángulos y ayuda a los bomberos a calcular el área de la parte quemada.

• a = 6 km
• b = 7 km
• c = 3 km

Ángulo A:

• a² = b² + c² – 2bc * cos A
• 6² = 7² + 3² – 2 * 7 * 3 * cos A
• 36 = 49 + 9 – 42 * cos A
• -22 = -42 * cos A
• cos A = -22 / (-42)
• cos A = 11/21
• arccos A ≈ 58,41 ≈ 58º 24′ 3″

Ángulo B:

• b² = a² + c² – 2ac * cos B
• 7² = 6² + 3² – 2 * 6 * 3 * cos B
• 49 = 36 + 9 – 36 * cos B
• 4 = -36 * cos B
• cos B = 4 / (-36)
• cos B = -1/9
• arccos B ≈ 96,38 ≈ 96º 22′ 4″

Ángulo C:

• A + B + C = 180
• C = 180 – A – B
• C ≈ 180º – 58º 24′ 3″ – 96º 22′ 4″
• C ≈ 25º 12′ 3″

13. Cálculo de la distancia y altura de un globo aerostático

Dos observadores a 150 m de distancia, observan un globo aerostático situado entre ellos a una cierta altura. Los ángulos de elevación de las visuales son de 47º y 60º respectivamente. Calcula:

1. La distancia desde el globo a cada uno de los observadores
2. La altura a la cual está situado el globo

Por el TEOREMA DEL SENO:

• A = 47°
• B = 60°
• C = 73°
• a = ? (distancia del 1er observador al globo)
• b = ? (distancia del 2° observador al globo)
• c = 150 m (distancia entre los observadores)
• a = (c/sen C) * sen A
• a = (150/0,9563) * 0,7313
• a ≈ (156,854) * (0,7313)
• a ≈ 114,7 m
• b = (c/sen C) * sen B
• b = (156,854) * (0,866)
• b ≈ 135,8 m

Para la altura, formamos 2 triángulos rectángulos de la base al globo.

El triángulo de la izquierda:

• A = 60°
• B = 30°
• C = 90°
• a = ? (altura del globo)
• b = ? (distancia del 1er observador a la parte baja del globo)
• c = 114,7 m
• a = c * sen A
• a = (114,7) * (0,866)
• a ≈ 99,33 m

14. Cálculo de la altura alcanzada en una montaña

La inclinación media de una montaña es de 38º. ¿Cuántos metros habremos subido después de caminar dos horas a 5 km/h?

• 1 h —————– 5 km
• 2 h —————– 10 km

Formas un triángulo rectángulo:

• A = 38°
• B = 52°
• C = 90°
• a = ? (metros subidos)
• b = ?
• c = 10 km
• a = c * sen A
• a = 10 * 0,61566
• a ≈ 6,156 m

15. Cálculo de la distancia entre dos coches

Dos coches salen a velocidades de 40 y 70 km/h respectivamente formando entre sí un ángulo de 29º. ¿A qué distancia el uno del otro están al cabo de 3 horas?

La distancia recorrida por los coches más la distancia que los separa después de 3 horas forman un triángulo.

Para calcular tal distancia se resuelve usando el teorema del coseno, pero antes se calculan los lados conocidos:

• b = 40 * 3 = 120 km
• c = 70 * 3 = 210 km

La fórmula es:

a² = b² + c² – 2bc * cos A

Por tanto:

• a² = 120² + 210² – 2 * 120 * 210 * cos 29º
• a² = 14.400 + 44.100 – 50.400 * 0,8746
• a² ≈ 58.500 – 44.079,84
• a² ≈ 14.420,16
• a ≈ 120,08 km (redondeado)

Después de 3 horas, los coches están separados por 120,08 km.