1- El Cuerpo C de los Números Complejos
Consideremos en el conjunto R2 (conjunto de parejas de números reales) las operaciones de adición y producto definidas por:
(a,b) + (a’,b’) = (a + a’, b + b’)
(a,b)(a’,b’) = (aa’ – bb’, ab’ + a’b)
Es fácil comprobar las propiedades asociativa y conmutativa de las operaciones así definidas y la distributiva del producto respecto de la suma. El elemento neutro de la suma es (0,0) y (1,0) es la unidad del producto. Además, (-a,-b) es el opuesto de (a,b), y todo (a,b) ≠ (0,0) tiene inverso dado por la pareja. Todas estas propiedades se resumen diciendo que es un cuerpo. Dicho cuerpo se representa simbólicamente por C y sus elementos se llaman números complejos.
Con la definición de producto, es fácil comprobar algunas igualdades, por ejemplo:
(0, 1)(0, 1) = (-1, 0) => (0, 1)2 = (-1, 0)
(√2/2, √2/2)(√2/2, √2/2) = (0, 1) => (√2/2, √2/2)2 = (0, 1)
Definición 1.
A los elementos de R2 se les llama unas veces pares ordenados de números reales, otras vectores o puntos y también números complejos. En R2 conviven varias estructuras cada una con su terminología propia. Por eso a los elementos de R2 se les llama vectores si se está considerando la estructura de espacio vectorial, puntos si fijamos la atención en la estructura topológica o afín, pares ordenados cuando estamos pensando en R2 como conjunto sin ninguna estructura particular y números complejos cuando se considera la estructura aritmética de cuerpo antes definida.
Ocurre que estos términos se usan a veces en un mismo párrafo lo que puede resultar confuso. La regla que debes tener siempre presente es que todo concepto matemático tiene sentido propio dentro de una determinada estructura matemática. Por ello, a un elemento de R2 se le llama número complejo cuando se va a usar el producto antes definido que es lo que en realidad distingue a los números complejos de los vectores de R2.
2- Forma Binómica de un Número Complejo
Representaremos los números complejos con un simbolismo más apropiado en el que va a intervenir el producto complejo. Para ello, observa que:
(a, 0) + (a’, 0) = (a + a’, 0)
(a, 0)(a’, 0) = (aa’ – 0*0, a*0 + 0*a’) = (aa’, 0)
Esto indica que los números complejos de la forma (a, 0), se comportan respecto a la suma y la multiplicación de números complejos, exactamente de la misma forma que lo hacen los números reales respecto a la suma y multiplicación propias. En términos más precisos, R x 0 es un subcuerpo de C isomorfo a R. Por esta razón, en las operaciones con números complejos podemos sustituir los complejos del tipo (a, 0) por el número real a.
Definición 2.
Al número complejo (0,1) lo representaremos por i y lo llamaremos unidad imaginaria. Con ello razonamos la famosa igualdad encontrada antes:
i2 = (0, 1)(0, 1) = (-1, 0) = -1
Y podemos reescribir una pareja como una suma:
(a,b) = (a, 0) + (0,b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi
Definición 3.
Se dice que a + bi es la expresión binómica del número complejo (a,b). Se dice que a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo a + bi.
El producto ahora es muy fácil de recordar, pues por las propiedades distributiva, asociativa y la igualdad fundamental i2 = -1, tenemos:
(a + ib)(a’ + ib’) = aa’ + i2bb’ + i(ab’ + ba’) = aa’ – bb’ + i(ab’ + ba’)
Definición 4.
Se escribe Re(z) e Im(z) para representar las partes real e imaginaria de z. Naturalmente, dos números complejos son iguales cuando tienen igual parte real e igual parte imaginaria.
Acabamos de ver que i2 = -1 de aquí se tiene que i = √-1. Pero hay que tener cuidado con esta notación de raíz cuadrada. Fíjate lo que ocurre si manejamos ese símbolo con las reglas a las que estamos acostumbrados:
-1 = i2 = i i = √-1 √-1 = √(-1)(-1) = √1 = 1
3- Forma Polar de un Número Complejo
El uso de coordenadas polares en el plano facilita mucho los cálculos con productos de números complejos. Para cualquier número complejo z = x + yi ≠ 0 podemos escribir z = |z|(x/|z| + y/|z|i). Esta forma de expresar un número complejo recibe el nombre de forma polar o forma módulo-argumento cuya interpretación gráfica es inmediata.
Definición 8.
Definimos el conjunto de los argumentos de z:
Arg(z) = {t ∈ R : z = |z|(cos t + i sen t)}
Es claro que dos números complejos no nulos, z, w, son iguales si, y solo si, tienen el mismo módulo y Arg z = Arg w.
Definición 9.
De entre todos los argumentos de un número complejo z ≠ 0 hay sólo uno que se encuentra en el intervalo ]-π,π], se representa por arg(z) y se le llama el argumento principal de z.
El argumento principal, arg(z), de un número complejo se calcula así:
Lema 5.
arg(z) =
- -π + arctan(y/x) si x < 0, y < 0
- π + arctan(y/x) si x < 0, y ≥ 0
- arctan(y/x) si x > 0
- -π/2 si x = 0, y < 0
- π/2 si x = 0, y > 0