Problemas de Electromagnetismo

Lámina y Línea con Densidad de Carga

Dada una lámina muy extensa y delgada con densidad de carga uniforme ρ_s [C/m²] ubicada en z = z_o y una línea larga con densidad de carga ρ_l [C/m] ubicada en z = 0, paralela al eje «x».

Solución:

a) e = ρ_s/2ε₀ + ρ_l/2πε₀r

b) d(0,0,1) -> D = E*ε₀ = (-ρ_s/2ε₀ + ρ_l/2πε₀r)k

c) y = q infinito

Dos Placas Infinitas con Densidad de Carga

Dos placas infinitas están separadas por una distancia d y contienen densidades de carga iguales y de polaridad opuesta. Si las placas se encuentran en espacio libre:

Solución:

a) E = ρ₀i/2ε₀; E = ρ₀i/2ε₀ -> E = ρ_o/ε₀ ->

V = -∫Edl = -dρ₀/ε₀ (nulo afuera)

b) P = -∫Edl = -El = -(-ρ₀r/2ε₀) = ρ₀r/2ε₀

Dos Cilindros Paralelos con Densidad de Carga

Dos cilindros paralelos, cada uno de 10 mm de radio, son ubicados en el espacio y cada uno de ellos está cargado con una densidad de carga uniforme de 2 [uC/m] de longitud. Los ejes de los cilindros están separados por 5m. Cuál es la magnitud del campo eléctrico:

Solución:

a) ρ₁ -> ∫Eds = Q/ε₀ -> Q = ρ_l*l ->

Ea2πrl = ρ_l*l/ε₀ -> Ea = ρ_l/2πrε₀

b) ρ₂ -> E = 2Esinθ-j -> tan θ = 2/2.5 -> θt = 38.6

E = 2ρ_lsinθ-j/2πrε₀

Trabajo para Mover una Carga

En el mismo campo del problema anterior determinar el trabajo necesario para mover la carga desde el punto P1 (4, 0, 0) [m] a P2 (4, 2, 0) [m]

Solución:

W = Q-∫Edy = Q-∫2xdy = -20u*-8∫dy = 320uJ

Trabajo en Coordenadas Esféricas

 Encuentre el trabajo realizado al mover una carga puntual Q = 5 [mC] desde el origen hasta el punto P1 (2, π/π , π/π ) [m], dado en coordenadas esféricas, en el campo:

Solución:

W = 25e-3∫e^-r/4dr – 0.05∫dφi = 0.1178

w = q∫E

Diferencia de Potencial

Encuentre la diferencia de potencial en ra = 5 [m] con respecto a rb = 15 [m] debida a una carga puntual Q = 500 [pC] ubicada en el origen.

Solución:

Vab = Q*(1/ra – 1/rb)

Potencial Eléctrico en el Origen

Cinco cargas puntuales iguales de valor Q = 20 [nC] están localizadas en x = 2, 3, 4, 5, y 6 [m] respectivamente. Encuentre el potencial eléctrico en el origen.

Solución:

V = sum(Q/4πε₀R)

v = ∫Edq -> v = q₁/4πε₀r²

W = Q₁Q₂/4πε₀d

Capacidad de un Condensador Esférico

 Un condensador esta formado por una esfera de 5 [cm] de radio colocada en el centro de un delgado cascaron esferico de 12 [cm] de radio. Si el espacio entrte la esfera y el cascaron esta vacio;¿Cuánto vale la capacidad del sistema?

Solución:

C = Q/V = Q/(-∫Edr) = 4πε₀/(1/r₁ – 1/r₂) = 9.5e-12F

C = E₀*A/d

Capacidad de un Condensador con Dieléctricos

 Un condensador plano cuyas armaduras tienen una superficie “A” y están separadas por una distancia “d” esta relleno con dos planchas de material dieléctrico de igual espesor y permitividades relativas ε_r1 y ε_r2 respectivamente (ver figura). ¿Cuánto vale la capacidad de este condensador?

Solución:

c = Q/V = E₀ε_r1A/d -> Ct = e₀A/d(ε_r1 + ε_r2)

Hilo Cilíndrico con Capa Aislante

Un hilo cilíndrico de cobre, muy largo, de radio 0,20 [cm], esta circundado por una capa cilíndrica aislante de goma de radio interno 0,20 [cm] y radio externo 0,30 [cm]. La goma tiene una permitividad relativa ε_r = 3.0. Suponiendo que la superficie del cobre tenga una carga superficial libre de 4,0 x10^-6 [C/m²]:

Solución:

a) Q = ρ_s*s = ρ_s2πal

b) D2πrl = ρ_s2πal -> D = ρ_sa/r -> E = ρ_sA/ε₀r

c) flujo = infinito

Condensador Plano con Batería

Un condensador esta formado por dos armaduras conductoras cuadradas con una superficie de 0.04 [m²] y separadas por 0.2 [mm]. Si las armaduras estan conectadas a los bornes de una bateria de 12 [V]:

Solución:

i) C = E₀A/D = 1.77E-9 -> Q = 2.124E-8

II) deltaQ = deltaCV = e₀av(a/d₁ – 1/d₂) = 7.1e-9 -> E = 4E4

Energía Potencial de un Sistema de Cargas

Se disponen tres cargas dispuestas en el espacio de la forma que se indica en la figura. Calcular la energía potencial del sistema.

Solución:

Ut = u₁₂ + u₁₃ + u₂₃ = -2q²/4πε₀b – q²/4πε₀(a+b) + 2q²/4πε₀a

Diámetro Mínimo de un Alambre

Si un alambre de aluminio de 15 [m] de largo debe llevar una corriente de 25 [A] con una caída de potencial no superior a 5 [V]; ¿Cuánto debe ser su diámetro mínimo?

Solución:

V = IR = ρ*il/πr² -> r = root(ρ*il/deltaV) = 1.6e-3

Corriente a Través de un Dieléctrico

Un condensador plano tiene armaduras de 8×10^-2 [m²] las que están separadas mediante una plancha de polietileno de 1×10^-4 [m] de espesor. Si la diferencia de potencial entre las armaduras es de 2×10⁴ [V], ¿Cuánto valdrá la intensidad de corriente que fluye a través del polietileno si su resistividad es de ρ = 10¹³ [Ω – m].

Solución:

I = EA/ρ = deltaV*A/d*ρ

Cable Coaxial con Pérdidas

En un cable coaxial de largo “L”, el radio del conductor interno es “a” y el radio del conductor externo “b”, los que están separados por un dieléctrico con pérdidas de permitividad ε y conductividad σ. Si una fuente de potencial V se conecta de modo que su terminal positivo está conectado al conductor externo.; despreciando los efectos en los extremos del cable determinar:

Solución:

R = ρ*L/A = ρ/2πr = ρ/2π*ln(b/a)

I = v/r

Corriente en un Cable Eléctrico

Un cable eléctrico de 12 [m] de largo está formado por un alambre de cobre de 0,3 [cm] de diámetro cubierto por un envoltorio cilíndrico de 0,1 [cm] de espesor. Si en los extremos del cable se conecta una diferencia de potencial de 6 [V]:

Solución:

I = V(r_ext² – r_int²)/ρL = 2.75e-17

I = 20

Corriente en una Cañería de Agua

Una cañería de agua es un tubo de hierro con diámetro externo de 2,5 [cm] y un diámetro interno de 2 [cm]. El tubo se usa para “poner a tierra” un electrodoméstico. Si una corriente de 20 [A] fluye en el tubo desde el electrodoméstico; ¿Qué fracción de esta corriente fluye por el hierro?

Solución:

I = I_agua + I_fe = 20 -> I_fe(1 + R_fe/R_agua)

I_fe(1 + (ρ_feL/A_fe)/ρ_aguaL/A_agua)

I_fe/I = 0.9998

Aumento de Resistencia por Corte

Un alambre de cobre que tiene un largo de 0.5 [m] y un diámetro de 0.259 [cm] se cortó accidentalmente con una sierra. La región del corte tiene un largo de 0.4 [cm] y en esta región el alambre restante (sin corte) tiene una sección transversal cuya área es semejante solo a ¼ de la sección transversal inicial. ¿Cuánto vale el aumento porcentual de la resistencia del alambre causado por el corte?

Solución:

R = ρ*l/A –> 2.4%

 Req = ρ(l*d/A + d/0.25A) = ρ(l + 3d)/a

Localización de un Cortocircuito

Un cable telefónico subterráneo de 5 [km] de longitud formado por un par de alambres conductores. Este cable se cortocircuita en un punto “P” (ver figura) cuya posición es desconocida. Para descubrir donde se produjo el cortocircuito, un técnico mide primeramente la resistencia entre los puntos A y B, y después la resistencia entre los puntos C y D. La primera medición es de 30 [] y la segunda de 70 []. ¿Dónde está el cortocircuito?

Solución:

Rab/Rcb = d/l-d = 30/70 -> 7d = 3l – 3d -> d = 3l/10

Densidad de Campo Magnético

Un alambre infinitamente largo lleva una corriente I [A] y es doblado de la forma indicada en la figura. Encontrar la densidad de campo magnético en los puntos P1 y P2.