Elipse e Hipérbola: Fórmulas y Conversión a Forma Ordinaria

Elipse

Ecuación estándar (horizontal): ((x – h)²/a²) + ((y – k)²/b²) = 1
Ecuación estándar (vertical): ((x – h)²/b²) + ((y – k)²/a²) = 1
Eje mayor: 2a
Eje menor: 2b
Excentricidad: e = √(1 – (b²/a²))
Focos: c = √(a² – b²), donde los focos son (h ± c, k) para la elipse horizontal y (h, k ± c) para la vertical.
Centro de la elipse: (h, k)

Ecuación general de la elipse:

Ax² + By² + Cx + Dy + F = 0

Pasos para convertirla:

Agrupa los términos cuadráticos: Ax² + Cx y By² + Dy.
Completa el cuadrado para los términos ‘x’ e ‘y’.
Divide por el coeficiente principal de x² o y² (si es necesario).
Reorganiza para obtener la forma estándar: ((x – h)²/a²) + ((y – k)²/b²) = 1 (horizontal) o ((x – h)²/b²) + ((y – k)²/a²) = 1 (vertical)

Para Ax² + Bx, factoriza A y agrega y resta (B/2A)². Aplica lo mismo para los términos en ‘y’.

Ejemplo: x² + 6x se convierte en (x + 3)² – 9.

Ecuación estándar (horizontal): ((x – h)²/a²) – ((y – k)²/b²) = 1
Ecuación estándar (vertical): ((y – k)²/a²) – ((x – h)²/b²) = 1
Excentricidad: e = c/a, donde c = √(a² + b²)
Rectas asintóticas:
- Horizontal: y = k ± (b/a)(x – h)
- Vertical: y = k ± (a/b)(x – h)
Centro de la hipérbola: (h, k)

Ecuación general de la hipérbola:

Ax² – By² + Cx + Dy + F = 0

Pasos para convertirla:

Agrupa los términos cuadráticos: Ax² + Cx y -By² + Dy.
Completa el cuadrado para los términos ‘x’ e ‘y’.
Divide por los coeficientes principales de x² y y² (si es necesario).
Reorganiza para obtener la forma estándar: ((x – h)²/a²) – ((y – k)²/b²) = 1 (horizontal) o ((y – k)²/a²) – ((x – h)²/b²) = 1 (vertical)

Para Ax² + Bx, factoriza A y agrega y resta (B/2A)². Aplica lo mismo para los términos en ‘y’.

Ejemplo: x² – 8x se convierte en (x – 4)² – 16.