1. Espacio Fila de A
La eliminación gaussiana actúa sobre una matriz A para producir una matriz escalonada U. El espacio fila de U se obtiene directamente: su dimensión es el rango r y sus filas distintas de cero constituyen una base. Cada operación elemental no altera el espacio fila, ya que cada fila de la matriz U es una combinación lineal de las filas originales de A. Como cada paso puede revertirse mediante una operación elemental, entonces fil(A) = fil(U); por lo tanto, fil(A) tiene la misma dimensión r y la misma base. Es más sencillo tomar las filas de U distintas de cero como base que comenzar con las m filas de A y descartar m – r para obtener una base.
Ejemplo:
Determinar una base del subespacio de R4 generado por los vectores v1 = (1, 1, 0, 1)T, v2 = (1, 2, 2, 1)T, v3 = (3, 4, 2, 3)T.
Disponemos los vectores generadores como las filas de una matriz:
A = (1 1 0 1 / 1 2 2 1 / 3 4 2 3)
El subespacio es el espacio fila de A. Reducimos por eliminación gaussiana:
A = (1 1 0 1 / 0 1 2 0 / 0 0 0 0) = U
U tiene dos pivotes, por lo que r = 2 y la dimensión del subespacio es dos. Una base de fil(U) está formada por las dos primeras filas, lo mismo ocurre con fil(A). Por lo tanto, una base del subespacio es w1 = (1, 1, 0, 1)T, w2 = (0, 1, 2, 0)T.
2. Espacio Nulo de A
El espacio nulo de A está formado por los vectores x tales que Ax = 0. En la eliminación gaussiana, se reduce el sistema Ax = 0 al sistema Ux = 0 sin alterar las soluciones. Por lo tanto, el espacio nulo de A es el mismo que el de U, Ker(A) = Ker(U). De las m restricciones impuestas por las m ecuaciones Ax = 0, solo r son independientes, especificadas por las r filas de U distintas de cero. Así, el espacio nulo de A tiene dimensión n – r, que es el número de variables libres del sistema reducido Ux = 0, correspondientes a las columnas de U sin pivotes. Para obtener una base, podemos dar el valor 1 a cada variable libre, cero a las restantes y resolver Ux = 0 para las r variables básicas por sustitución regresiva. Los n – r vectores así producidos forman una base de Ker(A).
Ejemplo:
Determinar una base del subespacio W de R4, formado por los vectores x = (x1, x2, x3, x4)T tales que:
-x1 + x2 – x3 + 2x4 = 0
2x1 – 2x2 + x3 = 0
5x1 – 5x2 + 3x3 – 2x4 = 0
Se tiene que W = { x ∈ R4 / Ax = 0 } donde:
A = (-1 1 -1 2 / 2 -2 1 0 / 5 -5 3 -2)
La eliminación gaussiana lleva a que W = Ker(U) donde:
U = (-1 1 -1 2 / 0 0 -1 4 / 0 0 0 0)
Como n = 4 y r = 2, la dimensión de W es n – r = 2. Las variables básicas son x1 y x3, y las libres x2 y x4. El sistema Ux = 0 queda:
x1 + x3 = x2 + 2x4
x3 = 4x4
Dando los valores x2 = 1, x4 = 0, tenemos el vector v1 = (1, 1, 0, 0)T. Con los valores x2 = 0, x4 = 1 se obtiene v2 = (-2, 0, 4, 1)T. Los vectores v1, v2 forman una base de W.
3. Espacio Columna de A
Es importante destacar que A no tiene el mismo espacio columna que U. La eliminación gaussiana altera las columnas. Sin embargo, cada vez que ciertas columnas de U formen una base del espacio columna de U, las correspondientes columnas de A forman una base del espacio columna de A. La razón es que Ax = 0 si y solo si Ux = 0. Los dos sistemas son equivalentes y tienen las mismas soluciones. En términos de multiplicación de matrices, Ax = 0 expresa una dependencia lineal entre las columnas de A, con coeficientes dados por las coordenadas de x. Por lo tanto, cada una de estas dependencias corresponde a una dependencia lineal Ux = 0 entre las columnas de U y con los mismos coeficientes. Si el conjunto de columnas de A es independiente, lo mismo es válido para las columnas de U y viceversa.
Para encontrar una base de col(A), partimos de encontrar una base de col(U). Una base de col(U) está formada por las r columnas de U que contienen los pivotes. Así, tenemos:
- La dimensión de col(A) es igual al rango r, que es la dimensión de fil(A): en cualquier matriz, el número de filas independientes es igual al número de columnas independientes.
- Una base de col(A) está formada por aquellas r columnas de A correspondientes, en U, a las columnas que contienen los pivotes.
Ejemplo:
Para la matriz:
A = (1 2 0 1 / 0 1 1 0 / 1 2 0 1)
la eliminación gaussiana lleva a que:
U = (1 2 0 1 / 0 1 1 0 / 0 0 0 0)
Para U, las columnas con pivote son la primera y la segunda, luego una base de col(A) está formada por las dos primeras columnas de A: (1, 0, 1)T, (2, 1, 2)T.
4. Espacio Nulo por la Izquierda de A
El espacio nulo por la izquierda de A es el espacio nulo de AT. Como para cualquier matriz, se tiene que:
dimensión del espacio columna + dimensión del espacio nulo = número de columnas
esta regla puede aplicarse a AT, que tiene m columnas. Como rango fila = rango columna = r, entonces:
dim Ker(AT) = m – r
Se puede determinar una base de Ker(AT) de la misma manera que se ha hecho con el espacio nulo de A.
Ejercicio:
Determinar una base de los cuatro subespacios elementales de la matriz:
A = (2 4 0 2 / 6 -2 1 0 / 8 2 1 2 / -4 1 -3 -5)
2.4. Operaciones con Subespacios
Básicamente, se pueden realizar dos operaciones con subespacios: intersecciones y sumas.
2.4.1. Intersección de Subespacios
Sea V un espacio vectorial y W1, W2 subespacios vectoriales de V. La intersección W = W1 ∩ W2 es el conjunto de vectores de V que están a la vez en W1 y W2. W es un subespacio vectorial. La intersección siempre es no vacía, pues al menos el vector nulo está en W.
Para describir la intersección de subespacios, la manera más natural es poner cada subespacio en forma de un sistema de ecuaciones homogéneo. La intersección será aquel subespacio que verifique todas las restricciones a la vez.
Ejemplo:
Para los subespacios:
W1 = {(x, y, z)T / x + y + z = 0}
W2 = {(x, y, z)T / x – z = 0}
el subespacio W1 ∩ W2 es:
= {(x, y, z)T / x + y + z = 0; x – z = 0}
2.4.2. Suma de Subespacios
Sea V un espacio vectorial y W1, W2 subespacios vectoriales de V. La unión de subespacios W1 ∪ W2 (el conjunto de vectores que están en algunos de los dos subespacios) no es un subespacio vectorial.
Se puede definir la suma de subespacios W = W1 + W2 como el subespacio generado por la unión W = < W1 ∪ W2 >.
Una manera sencilla de describir el subespacio suma consiste en determinar un sistema generador o una base de cada subespacio y quedarse con los independientes, obteniéndose así una base del subespacio suma.
Ejemplo:
Obtener una base del subespacio suma W1 + W2 donde:
W1 = {(x, y, z)T / x + y = 0; z = 0}
W2 = {(x, y, z)T / z = 0}
Una base de W1 es w1 = (1, -1, 0)T y de W2, w2 = (1, 0, 0)T, w3 = (0, 1, 0)T. Entonces, w1, w2 y w3 forman un sistema generador de W1 + W2. El vector w1 depende de los otros dos, luego una base del subespacio suma está formada por w2 = (1, 0, 0)T, w3 = (0, 1, 0)T. Es decir, W1 + W2 = W2.
Cuando los subespacios solo tienen en común el vector nulo, W1 ∩ W2 = 0, el subespacio suma se denomina suma directa de W1 y W2 y se denota por W = W1 ⊕ W2. En este caso, los vectores componentes w1, w2 de la descomposición w = w1 + w2 de cualquier vector w de la suma son únicos.
Fórmula de las Dimensiones:
Si W1 y W2 son dos subespacios vectoriales de dimensión finita:
dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) – dim(W1 ∩ W2)
En particular, si W1 ∩ W2 = 0:
dim(W1 ⊕ W2) = dim(W1) + dim(W2)
Teorema 3:
Sean U y V espacios vectoriales de dimensión finita sobre un mismo cuerpo K y T: U -> V una aplicación lineal. Entonces:
dim(U) = dim Ker(T) + dim Im(T)
Si fijamos bases cualesquiera en ambos espacios, sea A ∈ Mm,n(K) la matriz de T en tales bases. Por un lado,
dim Ker(T) = dim Ker(A) = n – r
siendo r el rango de la matriz A. Por otro lado,
dim Im(T) = dim col(A) = r
de donde se obtiene la fórmula.