Estudio de la Continuidad y Derivabilidad de las Siguientes Funciones
Caso a)
En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.
La función es continua, por lo tanto, podemos estudiar la derivabilidad.
No es derivable en x = 0.
Caso b)
En primer lugar, estudiamos la continuidad en x = 0.
La función no es continua, por lo tanto, tampoco es derivable.
Caso c)
Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.
La función es continua en toda 
.
f’(−2)− = −1f’(−2)+ = 1
No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Caso d)
La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, por lo tanto, tampoco es derivable.
Por lo que es continua. Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonométricas inmediatas.
Como las derivadas laterales no coinciden, no es derivable en el punto.
Caso e)
¿Para qué valores de “a” es derivable la siguiente función?
¿Para qué valores de a es derivable?
Derivable para a = 1
Caso f)
En este ejercicio hay varios fallos de “imprenta”
ex si x<0
f(x)= 1- x2 si 0
x-1 si x=>1
Cada rama de la función es continua y derivable donde está definida por tratarse de funciones continuas y derivables en todo su dominio (exponencial y polinómica). Donde puede existir discontinuidad es en los puntos x=0 y x=1.
Estudio de la continuidad en x=0.
Por lo tanto, se cumple:
Y la función es continua en x=0.
Continuidad en x=1.
Y la función también es continua en x=1. Consecuentemente, la función es continua en todo R.
Estudio de la derivabilidad en el punto x=0
e x si x
f(x) = -2x si 0
1 si x = > 1
No existe derivada 
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=0.
Derivabilidad en x=1.
No existe 
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=1.
Consecuentemente, f(x) es derivable en: 
f’(−2)− = −1f’(−2)+ = 1
No será derivable en: x= -2.
En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.
Caso d)
La función no es continua en x = 0 porque no tiene imagen, por lo tanto, tampoco es derivable.
Por lo que es continua. Veamos si es derivable mediante las fórmulas de derivadas trigonométricas inmediatas.
Como las derivadas laterales no coinciden, no es derivable en el punto.
Caso e)
¿Para qué valores de “a” es derivable la siguiente función?
¿Para qué valores de a es derivable?
Caso f)
En este ejercicio hay varios fallos de “imprenta”
ex si x<0
f(x)= 1- x2 si 0
x-1 si x=>1
Cada rama de la función es continua y derivable donde está definida por tratarse de funciones continuas y derivables en todo su dominio (exponencial y polinómica). Donde puede existir discontinuidad es en los puntos x=0 y x=1.
Estudio de la continuidad en x=0.
Por lo tanto, se cumple:
Y la función es continua en x=0.
Continuidad en x=1.
Y la función también es continua en x=1. Consecuentemente, la función es continua en todo R.
Estudio de la derivabilidad en el punto x=0
e x si x
f(x) = -2x si 0
1 si x = > 1
No existe derivada
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=0.
Derivabilidad en x=1.
No existe
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=1.
Consecuentemente, f(x) es derivable en:
Como las derivadas laterales no coinciden, no es derivable en el punto.
Caso e)
¿Para qué valores de “a” es derivable la siguiente función?
¿Para qué valores de a es derivable?
Derivable para a = 1
Caso f)
En este ejercicio hay varios fallos de “imprenta”
ex si x<0
f(x)= 1- x2 si 0
x-1 si x=>1
Cada rama de la función es continua y derivable donde está definida por tratarse de funciones continuas y derivables en todo su dominio (exponencial y polinómica). Donde puede existir discontinuidad es en los puntos x=0 y x=1.
Estudio de la continuidad en x=0.
Por lo tanto, se cumple:
Y la función es continua en x=0.
Continuidad en x=1.
Y la función también es continua en x=1. Consecuentemente, la función es continua en todo R.
Estudio de la derivabilidad en el punto x=0
e x si x
f(x) = -2x si 0
1 si x = > 1
No existe derivada
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=0.
Derivabilidad en x=1.
No existe
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=1.
Consecuentemente, f(x) es derivable en:
Caso f)
En este ejercicio hay varios fallos de “imprenta”
ex si x<0
f(x)= 1- x2 si 0
x-1 si x=>1
Cada rama de la función es continua y derivable donde está definida por tratarse de funciones continuas y derivables en todo su dominio (exponencial y polinómica). Donde puede existir discontinuidad es en los puntos x=0 y x=1.
Estudio de la continuidad en x=0.
Por lo tanto, se cumple:
Y la función es continua en x=0.
Continuidad en x=1.
Y la función también es continua en x=1. Consecuentemente, la función es continua en todo R.
Estudio de la derivabilidad en el punto x=0
e x si x
f(x) = -2x si 0
1 si x = > 1
No existe derivada
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=0.
Derivabilidad en x=1.
No existe
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=1.
Consecuentemente, f(x) es derivable en:
No existe derivada
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=0.
Derivabilidad en x=1.
No existe
Y, por lo tanto, f(x) no es derivable en x=1.
Consecuentemente, f(x) es derivable en: