Conceptos Fundamentales del Cálculo

Integral Definida

La integral definida se define como:

r: D ⊂ R → R³, t → r(t) = (x, y, z) = xi + yj + zk

∫_a^b r(t) dt = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ r(t_i^*) Δt_i

Esto se puede expresar como:

lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ [x(t_i^*)i + y(t_i^*)j + z(t_i^*)k] Δt_i = lim_n→∞ [∑ x(t_i^*)iΔt_i + ∑ y(t_i^*)jΔt_i + ∑ z(t_i^*)kΔt_i]

Finalmente, la integral definida se calcula como:

∫_a^b x(t) dt + ∫_a^b y(t) dt + ∫_a^b z(t) dt

Integral de Riemann

La integral de Riemann se define como:

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ ∑_i=1ⁿ f(x_i^*) Δx

Donde x_i^* es el extremo derecho del i-ésimo subintervalo, dado por:

x_i = x_i^* = a + iΔx = a + i(b-a)/n

f es la función integrando.

Integración por Partes

Este método se utiliza cuando el integrando es un producto de dos funciones. Si tenemos f(x) y g(x), entonces:

d[f(x)g(x)]/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

d[f(x)g(x)] = f'(x)g(x)dx + f(x)g'(x)dx

Integrando ambos lados:

∫ d[f(x)g(x)] = ∫ f'(x)g(x)dx + ∫ f(x)g'(x)dx

Esto lleva a la fórmula de integración por partes:

f(x)g(x) = ∫ f'(x)g(x)dx + ∫ f(x)g'(x)dx

Si hacemos u = f(x) y v = g(x), entonces du = f'(x) y dv = g'(x), y la fórmula se convierte en:

∫ u dv = uv – ∫ v du

Integral Indefinida

F(x) es una antiderivada o primitiva de f(x) si F'(x) = f(x). El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se denomina integral indefinida y se denota:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Donde C es la constante de integración.

Longitud de Arco de una Curva

Si f: D ⊂ R, la longitud de arco L se calcula como:

L = ∫_a^b √(1 + (f'(x))²) dx

En forma diferencial:

(dl)² = (dx)² + (dy)²

dl = √((dx)² + (dy)²)

Para una curva parametrizada r: D ⊂ R → R², t → (x, y), donde x = f(t) y y = g(t), la longitud de arco es:

L = ∫_α^β √((f'(t))² + (g'(t))²) dt

En general, para r(t) = (x, y, z), la longitud de arco es:

L = ∫_α^β ||r’(t)|| dt = ∫_α^β √((f'(t))² + (g'(t))² + (h'(t))²) dt

Ecuaciones Diferenciales

Definición

Una ecuación diferencial es una relación entre una variable independiente (x), una función buscada y = f(x), y sus derivadas (y’, y», …, yⁿ) o sus diferenciales (dx, dy). La forma general es:

F(x, y, y’, y», …, yⁿ) = 0

Clasificación

1. Orden: El orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
2. Tipo: Ordinarias o en derivadas parciales.
3. Grado: El exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden.
4. Linealidad: Pueden ser lineales o no lineales. Una ecuación es lineal si se puede expresar como:

a_n(x)yⁿ + a_n-1(x)y^n-1 + … + a₂(x)y» + a₁(x)y’ + a₀(x)y = g(x)

Características de una ecuación lineal:

1. Los coeficientes solo dependen de x.
2. La variable dependiente (y) y sus derivadas son de primer grado.

Solución de una Ecuación Diferencial

Una función f definida en un intervalo I es una solución de la ecuación diferencial si al sustituirla en la ecuación, la transforma en una identidad:

F(x, f(x), f'(x), f»(x), …, fⁿ(x)) = 0

Ecuación Diferencial Homogénea

f'(x, y) es homogénea si f(λx, λy) = λⁿ f(x, y). Para una ecuación de la forma:

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

Si f(x, y) = -M(x, y) / N(x, y) es homogénea de grado 0, entonces f(λx, λy) = f(x, y).

Se puede hacer la sustitución u = y/x, y = ux, y’ = u’x + u, para resolver la ecuación.

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

En una ecuación de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, si M(x, y) y N(x, y) dependen solo de x o solo de y, o son productos de funciones que dependen solo de x o de y, la ecuación es de variables separables.

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación de Bernoulli tiene la forma:

y’ + P(x)y = Q(x)yⁿ

Se puede resolver haciendo la sustitución u = y^1-n.

Conceptos Adicionales

Curvatura

La curvatura de una curva que representa una función vectorial es una medida de la rapidez de cambio de la dirección de dicha curva en un punto.

Curva Suave

Una curva C que representa a la función r: D ⊂ R → Rⁿ en un intervalo I ⊂ D es suave si r es continua en I y r’(t) ≠ 0 en I, excepto tal vez en los extremos.

Vector Tangente

El vector tangente a una curva descrita por r: D ⊂ R → R³ en un punto r(t₀) es el límite del vector tangente unitario cuando t tiende a t₀.

Derivada Direccional

La derivada direccional es la derivada de una función según una dirección dada por un vector unitario. Si f: D ⊂ R² → R, y u es un vector unitario, entonces:

D_uF(X₀, Y₀) = lim_h→0 (F(X₀ + hu₁, Y₀ + hu₂) – F(X₀, Y₀)) / h