1 Polinomios y funciones

Definición 1 Un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo R es una expresión de la forma:

p(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +…+ a₁x + a₀

donde los coeficientes a_n, a_n-1;…; a₀ son elementos de R.

Definición 2 Cada polinomio p(x) define una función polinómica p(x) : R → R enviando un elemento a a su evaluación en el polinomio, es decir:

a → p(a) = a_naⁿ + a_n-1a^n-1 +… + a₁a + a₀.

Definición 3 Si a_n ≠ 0 entonces p(x) tiene grado n, escribimos gr(p(x)) = n.

Dos polinomios p(x) = a₀+a₁x+… a_nxⁿ y q(x) = b₀+b₁x+… b_mx^m son iguales si y solo si tienen el mismo grado y todos los coeficientes son iguales, i.e. n = m y a_i = b_i para todo i = 0,…. ,n.

Definición 4 Sean p(x) = a₀+a₁x+… a_nxⁿ y q(x) = b₀+b₁x+…. b_mx^m dos polinomios, la suma y el producto de estos dos polinomios se define mediante:

p(x) + q(x) = (a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x +….(a_m + b_m)x^m +….+ a_nxⁿ si digamos (m ≤ n).

p(x)q(x) = a₀b₀ + (a₀b₁ + a₁b₀)x + (a₂b₀ + a₁b₁ + a₀b₂)x² + …. a_nb_mx^n+m

Definición 5 El coeficiente líder de p(x) es a_n, y a_nxⁿ es el término líder. Si a_n = 1, p(x) se llama mónico.

2 Dominios de integridad

Definición 6 Un anillo D se llama dominio de integridad si no tiene divisores de cero, i.e. si a ≠ 0 y b ≠ 0 entonces ab ≠ 0.

Proposición 1 Los polinomios con coeficientes en un dominio de integridad verifican:

gr(p(x) + q(x)) ≤ gr(p(x)) + gr(q(x))

gr(p(x)q(x)) = gr(p(x)) + gr(q(x))

Corolario 1 Si D es un dominio de integridad entonces D[x] es un dominio de integridad.

3 Homomorfismos

Definición 7 Dados dos anillos R y S, un homomorfismo de anillos f : R → S es una aplicación verificando que:

1. f(a + b) = f(a) + f(b)
2. f(ab) = f(a)f(b)
3. f(1_R) = 1_S

Ejemplos 1

1. eva : R[x] → R es un homomorfismo de anillos, eva(p(x)) = p(a).
2. Si f : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces se puede extender a un homomorfismo que también llamaremos f : R[x] → S[x], mediante f(a₀ + a₁x +…+ a_nxⁿ) = f(a₀) + f(a₁)x +..+ f(a_n)xⁿ.

4 Polinomios en varias variables

Denotamos por R[x, y] = R[x][y] = R[y][x] el anillo de polinomios en dos indeterminadas. Un elemento general de este anillo es:

p(x; y) = a_ijxⁱy^j.

donde la suma es finita.

En general, podemos definir polinomios en n indeterminadas, x₁,.., x_n, R[x₁; : : : ; x_n] inductivamente por:

R[x₁; : : : ; x_n] = R[x₁; : : : ; x_n-1][x_n]:

Un polinomio se escribe en general:

p(x) = ∑ a_i1,…,inxⁱ¹ ….xⁱⁿ

donde los coeficientes a_i1….in son elementos del anillo R.

1 Algoritmo de la división para polinomios

Sea f(x) un polinomio con coeficientes en un anillo R.

Definición 1 Un elemento c de R es un cero de f(x) si f(c) = 0, también decimos que c es una raíz de f(x).

Teorema 1 Sea R cualquier anillo. Sean f(x), g(x) ∈ R[x] dos polinomios con g(x) mónico, existen dos polinomios únicos q(x), r(x) ∈ R[x] tales que:

f(x) = q(x)g(x) + r(x)

con gr(r(x))

Demostración. Encontramos q(x) de manera que f(x)-q(x)g(x) tenga grado mínimo. Si este grado fuera mayor que el de g(x) podríamos disminuir el grado quitándole un múltiplo de g(x) puesto que es mónico. Esto contradice que la definición de q(x), por tanto gr(f(x)-q(x)g(x))

Unicidad. Supongamos que f(x) = q₁(x)g(x)+r₁(x) = q₂(x)g(x)+r₂(x) donde r₁(x), r₂(x) tienen grado menor que g(x). Entonces:

g(x)(q₁(x) – q₂(x)) = r₂(x) – r₁(x)

Si q₁(x)-q₂(x) ≠ 0, sea cx^k su término líder y supongamos que gr(g(x)) = m, por tanto g(x)(q₁(x) – q₂(x)) tiene término líder cx^k+m. Pero entonces:

gr(r₂(x) – r₁(x)) 1(x) – q₂(x))

Contradicción. Por tanto q₁(x) = q₂(x) y r₁(x) = r₂(x).

2 Teorema del resto

Teorema 2 Sea R un anillo conmutativo, a ∈ R y f(x) ∈ R[x], entonces existe un g(x) ∈ R[x] tal que:

f(x) = (x – a)g(x) + f(a);

y (x – a)|f(x) si y solo si f(a) = 0

Demostración. Por el algoritmo de división se tiene:

f(x) = (x – a)g(x) + r(x);

donde gr(r(x))

Teorema 3 Sea R un dominio de integridad y sea f(x) un polinomio sobre R; si a₁;…., a_k son ceros distintos de f(x), entonces (x-a₁)….(x-a_k)|f(x).

Demostración. Si k = 1 es el teorema anterior. Sea k > 1. Aplicando inducción tenemos que f(x) = (x – a₂)…(x – a_k)g(x) para algún g(x) ∈ R[x]. Ahora f(a₁) = 0, luego (a₁ – a₂)….(a₁ – a_k)g(a₁) = 0. Como R es un dominio de integridad y los ceros son distintos, se sigue que g(a₁) = 0. Así g(x) = (x -a₁)h(x) y f(x) = (x – a₁)(x -a₂)….(x – a_k)h(x).

Corolario 1 Cualquier ecuación de grado n sobre un cuerpo tiene a lo más n raíces distintas.

Corolario 2 Si dos polinomios f(x) y g(x) de grado a lo más n sobre un cuerpo, coinciden en n + 1 valores, entonces f(x) y g(x) son iguales.

Corolario 3 Si F es un cuerpo infinito y f(x) y g(x) tales que f(a) = g(a) para todo a ∈ F, entonces f(x) = g(x).

Teorema 4 Sea F un cuerpo infinito y f(x₁;…; x_n) un polinomio en n indeterminadas sobre F. Si f(a₁; … ; a_n) = 0 para todo a_i ∈ F, entonces f(x₁;….; x_n) = 0.

Demostración. Por inducción sobre n. El caso n = 1 es el Corolario anterior. Sea n > 1. Escribimos f como un polinomio en x₁ con coeficientes en F[x₂;….. ; x_n]:

f(x₁; x₂; ….; x_n) = c₀ + c₁x₁ +….+ c_kx₁^k

con c_i = c_i(x₂;…; x_n). Fijamos a₂; … ; a_n ∈ F, entonces f(x₁; a₂;…; a_n) = 0 en todos los puntos de F, por el último Corolario se sigue que es el polinomio cero, i.e. c_i(a₂;…. a_n) = 0; i = 0; 1; …. ; k para todos los a₂;…., a_n ∈ F. Por la hipótesis de inducción c_i = 0, luego f = 0.

1 Dominios de factorización única

Sea R un dominio de integridad.

Definición 1

1. Decimos que a|b si b = ac para algún c ∈ R.
2. u es una unidad si u|1, i.e. uv = 1.
3. a y b se llaman asociados si a|b y b|a.

Ejemplos 1

1. En Z las únicas unidades son +1 y -1.
2. En el anillo de polinomios F[x], F cuerpo, las unidades son las constantes no cero, i.e. los polinomios de grado cero.

Lema 1 Sean a; b ∈ R, a y b son asociados si y solo si b = au para alguna unidad u ∈ R.

Demostración. Como a|b, b = au y como b|a entonces a = bv sustituyendo se obtiene b = au = buv luego b(1 – uv) = 0 y como estamos en un dominio, 1 – uv = 0, i.e. uv = 1 y u es una unidad

Definición 2 Un elemento que no sea una unidad se llama irreducible si no es el producto de dos elementos que no sean unidades.

Definición 3 Un dominio de factorización única es un dominio de integridad en el que cada elemento no cero o unidad se puede escribir como un producto de irreducibles y dadas dos factorizaciones del mismo elemento en producto de irreducibles:

c = a₁a₂ … a_r = b₁b₂……b_s

entonces r = s y después de reordenar, a_i está asociado a b_i para cada i.

Ejemplos 2: Z es un dominio de factorización única.

2 Algoritmo de Euclides para polinomios

Definición 4 Por un máximo común divisor de dos elementos en un dominio de integridad R, entendemos un elemento d ∈ R tal que:

1. d|a y d|b
2. Si d’|a y d’|b, entonces d’|d.

El máximo común divisor no es único, pero dos máximos común divisor tienen que ser asociados.

Teorema 1 Dados dos polinomios f y g, aplicamos el algoritmo de la división repetidamente para obtener:

f = gq₁ + r₁

g = r₁q₂ + r₂

r₁ = r₂q₃ + r₃

…

r_n-2 = r_n-1q_n + r_n

r_n-1 = r_nq_n+1 + 0

entonces r_n es un máximo común divisor de f y g.

Teorema 2 (Identidad de Bezout) Cualquier máximo común divisor d de dos polinomios f y g en F[x], F un cuerpo, puede escribirse como:

d = rf + sg con r,s polinomios en F[x].

Teorema 3 Cualquier polinomio de grado ≥ 1 en F[x], F un cuerpo, es irreducible o factoriza en un producto de polinomios irreducibles.

Teorema 4 Si p es un polinomio irreducible en F[x], F un cuerpo, y si p divide a fg entonces p divide a f o p divide a g.

Teorema 5 En F[x], F un cuerpo, si f = p₁….p_s = q₁…q_r son dos factorizaciones del polinomio f en un producto de polinomios irreducibles, entonces r = s y reordenando p_i es asociado a q_i para todo i. Hemos probado que F[x] con F cuerpo es un dominio de factorización.

1 Irreducibles de R[x]

Proposición 1 Si f(x) = x² + bx + c es un polinomio de grado 2 en R[x], entonces f(x) es irreducible si y solo si b² – 4c

Teorema 1 Teorema Fundamental del Álgebra. Cada polinomio p(x) en C[x] de grado ≥ 1 tiene una raíz en C.

Corolario 1 Ningún polinomio f(x) en R[x] de grado > 2 es irreducible en R[x].

Demostración. Sea f(x) en R[x] de grado > 2. Demostraremos que no es irreducible. Si tuviera una raíz real, no será irreducible, suponemos que no tiene raíces reales. Supongamos que α es una raíz no cero compleja de f(x). Sea p(x) = (x-α)(x -α); donde α= a + bi p(x) = x² – 2ax + (a² + b²) está en R[x] y es irreducible. Dividimos f(x) por p(x):

f(x) = q(x)p(x) + r(x)

donde el grado de r(x) ≤ 1, i.e. r(x) = c + dx. Si evaluamos la ecuación anterior en x = α se tiene que r(α) = 0. Entonces c + dα= 0 y será real, contradicción. Luego r(x) = 0 y p(x) divide a f(x), por tanto f(x) no es irreducible.

2 Irreducibles de Q[x]

Definición 1 Un polinomio f(x) ∈ Q[x] se llama primitivo, si todos los coeficientes son enteros y el máximo común divisor de estos coeficientes es 1.

Sea p un número primo, tenemos un homomorfismo de anillos:

φ_p : Z → Z_p

llevando un entero n a su clase de restos módulo p, denotado n.

Este homomorfismo se extiende a los anillos de polinomios:

φ_p : Z[x] → Z_p[x]

φ(a₀ + a₁x +…a_nxⁿ) = a₀ + a₁x +….a_nxⁿ

Lema 1 f(x) es primitivo si y solo si φ_p(x) ≠ 0 para todos los primos p, i.e. p no divide a todos los coeficientes de f(x).

Lema 2 El producto de dos polinomios primitivos es un polinomio primitivo

Demostración. Supongamos que f(x) y g(x) son primitivos. Entonces para cada primo p, φ_p(f(x)) ≠ 0 y φ_p(g(x)) ≠ 0 en Z/pZ[x]. Pero Z/pZ[x] no tiene divisores de cero, puesto que Z/pZ es un cuerpo. Por tanto el producto φ_p(f(x))φ_p(g(x)) = φ_p(f(x)g(x)) ≠ 0 como esto es cierto para todo p, se sigue que f(x)g(x) es primitivo.

Lema 3 Lema de Gauss. Sea f(x) un polinomio con coeficientes enteros. Supongamos que f(x) = a(x)b(x) con a(x),b(x) en Q[x]. Entonces existen polinomios a₁(x) y b₁(x) en Z[x] asociados a a(x) y b(x) respectivamente, tales que f(x) = a₁(x)b₁(x)

Ejemplos 1 x⁴ -3x² + 9

Demostración. Sea f(x) ∈ Z[x]. Probaremos que podemos suponer f(x) primitivo. Sea t un entero tal que (1/t)f(x) sea primitivo. Supongamos que el lema de Gauss es cierto para polinomios primitivos. Sea f(x) =a(x)b(x) en Q[x]. Entonces (1/t)f(x) = (1/t)a(x)b(x), por Gauss para primitivos se tiene que (1/t)f(x) = a₁(x)b₁(x) donde a₁(x); b₁(x) son polinomios con coeficientes enteros, y a₁(x) = r(1/t)a(x), b₁(x) = sb(x) donde r; s son números racionales. Entonces f(x) = ta₁(x)b₁(x). Supongamos pues que f(x) es primitivo. Sea f(x) = a(x)b(x) con a(x); b(x) en Q[x]. Existen números racionales r; s tales que ra(x) = a₁(x) y sb(x) =b₁(x) están en Z[x] y son primitivos . Por tanto a₁(x)b₁(x) = rsf(x) es primitivo, por el lema anterior. Como f(x) y rsf(x) son primitivos, se tiene que rs = 1 o rs = -1. Para ver esto supongamos que rs = m/n, m; n primos entre sí. Como f(x) tiene coeficientes enteros, rsf(x) = (m/n)f(x) tiene coeficientes enteros si y solo si n divide a cada coeficiente de f(x). Pero como f(x) es primitivo, el máximo común divisor de los coeficientes es 1, por tanto n = +-1. Así rs =+-m es un entero. Ahora si p es un divisor primo de m, entonces p dividirá a todos los coeficientes de rsf(x) que es primitivo, luego p = +-1 Luego f(x) = +-a₁(x)b₁(x) en Z[x], que termina la demostración.

3 Criterio de Descartes

Teorema 2 Si f(x) = a_nxⁿ +…+ a₀ en Z[x] y r/s es una raíz, con r; s primos entre sí, entonces s divide a a_n y r divide a a₀

Demostración. Supongamos que:

0 = f(r/s) = a_n(r/s)ⁿ +…a₁(r/s) + a₀:

Multiplicando por sⁿ tenemos:

a_nrⁿ + a_n-1r^n-1s +….a₁rs^n-1 + a₀sⁿ:

Entonces s divide a a_nrⁿ, y como r, s son primos entre sí, entonces s divide a a_n. Análogamente r divide a a₀sⁿ y s divide a a₀.

4 Pruebas de irreducibilidad

Proposición 2 Sea f(x) un polinomio mónico con coeficientes enteros. Si φ_m(f(x)) es irreducible para algún m entonces f(x) es irreducible

Demostración. Supongamos que f(x) = a(x)b(x) donde a(x),b(x) son polinomios mónicos de grados r; s con r+s = d, d el grado de f(x). Entonces φ_m(f(x)) = φ_m(a(x)b(x)) = φ_m(a(x))φ_m(b(x)) que es una factorización de f(x) módulo m de polinomios del mismo grado, pues a(x) y b(x) son mónicos.

3 Criterio de Descartes

Teorema 2 Si f(x) = a_nxⁿ +…+ a₀ en Z[x] y r/s es una raíz, con r; s primos entre sí, entonces s divide a a_n y r divide a a₀

Demostración. Supongamos que:

0 = f(r/s) = a_n(r/s)ⁿ +…a₁(r/s) + a₀:

Multiplicando por sⁿ tenemos:

a_nrⁿ + a_n-1r^n-1s +….a₁rs^n-1 + a₀sⁿ:

Entonces s divide a a_nrⁿ, y como r, s son primos entre sí, entonces s divide a a_n. Análogamente r divide a a₀sⁿ y s divide a a₀.

4 Pruebas de irreducibilidad

Proposición 2 Sea f(x) un polinomio mónico con coeficientes enteros. Si φ_m(f(x)) es irreducible para algún m entonces f(x) es irreducible

Demostración. Supongamos que f(x) = a(x)b(x) donde a(x),b(x) son polinomios mónicos de grados r; s con r+s = d, d el grado de f(x). Entonces φ_m(f(x)) = φ_m(a(x)b(x)) = φ_m(a(x))φ_m(b(x)) que es una factorización de f(x) módulo m de polinomios del mismo grado, pues a(x) y b(x) son mónicos.

Proposición 3 Criterio de irreducibilidad de Eisenstein. Supongamos que f(x) = a_nxⁿ +…+ a₀ en Z[x] verifica que existe un primo p tal que:

1. p no divide a a_n
2. p divide a a_n-1; … a₁, a₀
3. p² no divide a a₀,

entonces f(x) es irreducible en Q[x]

Demostración. Tenemos que φ_p(f(x)) = a_nxⁿ, con a_n≠ 0. Supongamos n≥ 2 y f(x) = g(x)h(x) con gr(g(x)) = r ≥ 1 y gr(h(x)) =s ≥ 1. Entonces φ_p(f(x)) = φ_p(g(x))φ_p(h(x)) en Z/pZ[x]. Entonces φ_p(g(x)) = bx^r y φ_p(h(x)) = cx^s con bc ≡ a_n (mod p). Por tanto φ_p(g(0)) = b0^r = 0, es decir p divide a g(0) y análogamente para h(0). Entonces a₀ = f(0) = g(0)h(0) es divisible por p², que contradice 3. Luego f(x) es irreducible.

1. La construcción

PASO 1. Sea D un dominio, construimos el producto cartesiano de D con el mismo:

D X D = {(a, b)|a, b ∈ D}:

y consideramos el subconjunto:

S = {(a, b)|a, b ∈ D, b ≠ 0}:

Definición 1. Dos pares ordenados de S, (a; b) y (c; d) son equivalentes y lo denotamos (a; b) ≡ (c; d) cuando ad = bc.

Lema 1. La relación ≡ es una relación de equivalencia en S.

2. Operaciones

Sabemos que entonces tenemos una partición en S y denotaremos [(a; b)] la clase de equivalencia del par (a; b). Denotamos por F al conjunto cociente.

PASO 2.

Definimos en F dos operaciones:

Definición 2. Dadas [(a; b)] y [(c; d)] en F, definimos la operación suma por:

[(a; b)] + [(c; d)] = [((ad + bc); bd)]

y el producto:

[(a; b)] + [(c; d)] = [(ac; bd)]:

Lema 2. Las operaciones de suma y producto están bien definidas.

3. Propiedades

1. La suma es asociativa.
2. [(0; 1)] es el elemento neutro de la suma.
3. [(-a; b)] es el elemento opuesto de [(a; b)].
4. La suma de F es conmutativa
5. El producto de F es asociativo
6. [(1; 1)] es el elemento unidad para el producto.
7. Si [(a; b)] ≠ [(0; 1)] entonces a ≠ 0 y se tiene que [(b; a)] es el elemento inverso de [(a; b)].
8. El producto de F es asociativo
9. El producto es distributivo respecto a la suma.

4. El cuerpo de fracciones

Proposición 1. F es un cuerpo y existe un homomorfismo inyectivo i : D →F

Demostración. Del lema se sigue que F tiene las propiedades necesarias para ser un cuerpo. La aplicación i se define mediante i(d) = [(d; 1)] para cada d ∈ D. Es claro que i es inyectiva.

5. La propiedad universal

Proposición 2. Dado cualquier homomorfismo de anillos f de F a un cuerpo K, existe un único homomorfismo g de F a K tal que:

f = gi:

Demostración. g existe definiendo g([(a; 1)]) = f(a), entonces g([(a; b)]) = g([(a; 1)][(b; 1)]^-1) = g([(a; 1)])g([(b; 1)])^-1 = f(a)f(b)^-1: Además cualquier otra estará definida de esta manera. Es fácil ver que g está bien definida.

6. Unicidad del cuerpo de fracciones

Teorema 1. Cada dominio de integridad D puede incluirse en un cuerpo, y este cuerpo conteniendo a D como subanillo es único salvo isomorfismo.

Demostración. Sea i : D→ F y j : D→ F’ dos homomorfismos inyectivos en cuerpos. Por la proposición anterior existen g : F→ F’ verificando j = ig y g’ : F’ → F con i = jg’. Entonces j = ig = (jg’)g = j(g’g) por unicidad en la proposición anterior se sigue que g’g = id_F’ Análogamente gg’ = id_F es decir g es un isomorfismo.

7. Funciones racionales

Consideremos en anillo de polinomios F[x] sabemos que es dominio de
integridad, entonces podemos construir su cuerpo de fracciones, lo denotamos
por F(x). Los elementos de F(x) se llaman funciones racionales.
Así una funcion racional con coecientes en un cuerpo F es de la forma f(X)/g(x) donde f(x) y g(x) son polinomios en F[x] y g(x) ≠ 0, dos funciones racionales f(x)/g(x) = a(x)/b(x) si f(x)b(x) = a(x)g(x) en F[x].

1.Si D es un DFU D[x] es un DFUTeorema 1. Sea D un dominio de factorizacion unica, entonces D[x] es un
dominio de factorizacion unica.
Demostracion. Sea f(x) € D[x] no unidad y no nulo.
Si f(x) es una constante entonces esta en D y por tanto se puede factorizar.
Si gr(f(x)) > 0, consideramos f(x) € F[x] donde F es el cuerpo de
fracciones de D.
Sabemos que F[x] es un DFU entonces
f(x) = p1(x)…pr(x)
en F[x], donde pi(x) es irreducible en F[x].
Si quitamos denominadores
df(x) = q1(x)…qr(x)
donde d, qi(x) € D[x].
Como cada pi(x) es irreducible en F[x], entonces qi(x) es irreducible en
F[x].
Ponemos f(x) = cg(x) y qi(x) = ciq’i (x) en D[x], donde g(x) y q’i (x) son primitivos.
Entonces
dcg(x) = (c1…cr)(q’1(x)…q’r(x));
Los polinomios en los dos terminos de la igualdad son primitivos, luego
dcu = c1….cr
para alguna unidad u € D. Así
dcg(x) = dcuq’1(x)…..q’r(x), luego
f(x) = cg(x) = cuq’1(x)…. q’r(x),
Ahora bien cu se puede factorizar en irreducibles y los qi(x) € D[x] son irreducibles y primitivos en F[x] luego irreducibles en D[x].
Unicidad. Sea f(x) € D[x] no unidad y no nulo.
Supongamos que
f = c1….cmp1(x)….pn(x) = d1….drq1(x)….qs(x)
donde ci, dj son irreducibles en D y pi(x), qj(x) son polinomios irreducibles en D[x] (y por tanto primitivos) .
Entonces c1..cm y d1….dr son asociados en D.
La factorizacion unica en D implica que n = r y ci esta asociado a di
despues de reordenar.
Consecuentemente p1(x)….pn(x) y q1(x)….qs(x) son asociados en D[x] y por tanto en F[x], la unicidad de la factorizacion en F[x], al ser los pi(x), qj(x) tambien son irreducibles en F[x], implica que n = s y que despues de reordenar pi(x) y qi(x) son asociados en F[x]. Pero entonces son asociados en D[x].

son polinomios irreducibles en D[x] (y por tanto primitivos) .
Entonces c1..cm y d1….dr son asociados en D.
La factorizacion unica en D implica que n = r y ci esta asociado a di
despues de reordenar.
Consecuentemente p1(x)….pn(x) y q1(x)….qs(x) son asociados en D[x] y por tanto en F[x], la unicidad de la factorizacion en F[x], al ser los pi(x), qj(x) tambien son irreducibles en F[x], implica que n = s y que despues de reordenar pi(x) y qi(x) son asociados en F[x]. Pero entonces son asociados en D[x].

Sea f(x) = anx^n+…+ a1x + a0 un polinomio con coeficientes en un anillo R.
Definicion 1. La derivada de f(x), denotada Df(x) o f'(x), viene dada por
la ecuacion
f'(x) = nanx^n +…+ 2a2x + a1:
La aplicacion D : R[x]→ R[x], f(x) → Df(x), satisface las siguientes
propiedades
1. (f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x)
2. (af(x))’ = af'(x)
3. (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
4. x’ = 1
Reciprocamente la aplicacion f → f’ queda completamente determinada
por las cuatro propiedades anteriores. Sea f(x) un polinomio con coeficientes en un cuerpo F y supongamos que K es un cuerpo algebraicamente cerrado conteniendo a F.
Definicion 2. Sobre K podemos descomponer
f(x) = c(x- a1)^m1(x -a2)^m2 …(x -ap)^mp
donde los ai son elementos distintos de K. Llamamos a mi la multiplicidad
del cero ai y decimos que ai es un cero multiple de orden mi.

Entonces p(x)|p'(x)g(x), si la caracterstica de F es cero, p(x) no puede dividir a su derivada, luego p(x) divide a g(x). Por tanto g(x) = p(x)h(x) y f(x) = p(x)p(x)h(x).

Proposicion 1. Sea F un cuerpo y f(x) € F[x], entonces un elemento aen cualquier cuerpo conteniendo a F es un cero multiple si y solo si f(a) =f'(a) = 0
Demostracion. a es un cero multiple si y solo si (x-a)^2|f(x). Supongamos que a es un cero multiple, entonces
f(x) = (x-a)^2g(x)
Sustituyendo f(a) = (a-a)^2g(a) = 0 y derivando
f'(x) =2(x-a)g(x) + (x-a)^2g'(x) de donde f'(a) = 0.
Reciprocamente supongamos que f(a) = f'(a) = 0. Dividiendo f(x) = (x-a)2g(x) + h(x) donde h(x) es un polinomio lineal. Entonces 0 = f(a) = h(a) y derivando
f'(x) = 2(x-a)g(x) + (x-a)^2g'(x) + h'(x) asì 0 = f'(a) = h'(a) = 0. Se sigue que h(x) = 0 y por tanto (x-a)^2|f(x) y a es un cero multiple
Definicion 3. Si R es un anillo conmutativo con unidad, entonces R es de caracterstica cero si
n.1 = 1 + 1 +….+ 1(n sumandos) ≠ 0:
Teorema 1. Sea f(x) un cuerpo y f(x) un polinomio en F[x].
1. Si f(x) tiene un divisor multiple, entonces f(x) y f'(x) no son primos entre sí.
2. Si el cuerpo F es de caracterstica cero y f(x) y f'(x) no son primos
entre sí, entonces f(x) tiene un divisor multiple.
Demostracion. 1) Sea f(x) = p(x)^eg(x), con e > 1. Derivando
f'(x) = ep(x)^e-1p'(x)g(x) + p(x)^eg'(x) = p(x)^e-1(eg(x)p'(x) + p(x)g'(x),
Así p(x) es un factor comun y f(x) y f'(x) no son primos entre sí.
2) Sea d(x) = mcd(f(x); f'(x)) y p(x) un divisor irreducible de d(x).
Tendremos que f(x) = p(x)g(x), derivando
f'(x) = p'(x)g(x) + p(x)g'(x)