Integral de Riemann: Definición y Existencia

Definición de la Integral de Riemann: Si f es una función definida en [a,b] y sea P una partición de [a,b], un conjunto de partición X₀, X₁, …, X_n que guardan la relación: a = X₀ < X₁ < … < X_i < X_n = b. ||P|| es la norma de la partición tal que ||P|| = Max(ΔX_i) y X_i* un punto interior de cada subintervalo ΔX_i = X_i – (X_i-1). Entonces, la integral de f definida en [a,b] estará dada por la fórmula: ∫_a^b f(x)dx = lim_||P||→0 Σ_i=1ⁿ f(X_i*)ΔX_i. Siempre que el límite exista.

Existencia de la Integral

Si f: D ⊂ ℝ → ℝ definida en [a,b] ⊂ D_f:

1. Si f es continua en [a,b], entonces existe la integral.
2. Si f es discontinua en [a,b], la integral puede existir o no. Si f posee una cantidad finita de discontinuidades y todas son de salto, entonces f es continua por secciones o tramos y la integral existe.

Interpretación Geométrica de la Integral de Riemann

Representa la región bajo la curva hasta el eje x, encerrada por 2 rectas que pasan por los extremos. Si la función no es positiva en todo el intervalo, es decir, es negativa en un subintervalo, la integral de Riemann representa la diferencia entre el área de la región por encima del eje de abscisas y el área de la región por debajo de esta. ∫_a^b f(x)dx = A₁ – A₂ (gráfico).

Propiedades Básicas de Orden

1. Si f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b con x ∈ [a,b], entonces: ∫_a^b f(x)dx ≥ 0.
2. Si f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, entonces ∫_a^b f(x)dx ≥ ∫_a^b g(x)dx.
3. Si la función está acotada entre 2 valores reales: m ≤ f(x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, entonces: m(b–a) ≤ ∫_a^b f(x)dx ≤ M(b–a).

Teorema del Valor Medio para Integrales

∫_a^b f(x)dx = (b–a)F(c) = área del rectángulo de base (b–a) y altura F(c) con c ∈ [a,b]. F(c) = 1/(b–a) ∫_a^b f(x)dx.

Demostración

Como f es continua en [a,b], existen m, M ∈ ℝ tales que m ≤ f(x) ≤ M. Por la propiedad 8, m(b–a) ≤ ∫_a^b f(x)dx ≤ M(b–a). Como a < b, entonces b–a > 0. Dividiendo los 3 miembros por (b–a), queda m ≤ F(c) ≤ M.

Teorema Fundamental del Cálculo (TFC)

Primer TFC: Sea f: D ⊂ ℝ → ℝ definida en [a,b] ⊂ D. Existe una función g, definida como g(x) = ∫_a^x f(t)dt con a ≤ x ≤ b, continua en [a,b] y derivable en ]a,b[, se cumple que g‘(x) = f(x).

Demostración

Si x, x+h ∈ ]a,b[, g(x+h) = ∫_a^x+h f(t)dt. g(x+h) – g(x) = ∫_x^x+h f(t)dt. Como h > 0, entonces [g(x+h) – g(x)]/h = 1/h ∫_x^x+h f(t)dt (I). Además, si x, x+h ∈ ]a,b[, existen m, M ∈ ℝ tal que m = min abs y M = max de f. Existen u, v ∈ [x, x+h] / m = f(u) y M = f(v). Por la propiedad 8: m·h ≤ ∫_x^x+h f(t)dt ≤ M·h, f(u)h ≤ ∫_x^x+h f(t)dt ≤ f(v)·h. Dividiendo todos los miembros por h (II). Reemplazando (I) en (II): f(u) ≤ [g(x+h) – g(x)]/h ≤ f(v). Si h tiende a cero y calculamos el límite: lim_h→0 a cada miembro de arriba. Cuando h → 0, u → x y v → x, por lo tanto: lim_h→0 f(u) = lim_u→x f(u) = f(x), lo mismo con f(v), lim_h→0 [g(x+h) – g(x)]/h = g‘(x), entonces: f(x) ≤ g‘(x) ≤ f(x), por el teorema del emparedado: g‘(x) = f(x).

Segundo TFC: g(x) = ∫_a^x f(t)dt → g‘(x) = f(x). Si F(x) = ∫_a^x f(t)dt en [a,b]: F(b) = ∫_a^b f(t)dt, F(a) = ∫_a^a f(d)dt → F(b) – F(a) = ∫_a^b – ∫_a^a, lo mismo pero ∫_a^a es cero, F(b) – F(a) = ∫_a^b. En general, ∫_a^b f(x)dx = F(b) – F(a).

Métodos de Integración

Sustitución

Se puede aplicar generalmente cuando la función integrando es el producto entre una composición de 2 funciones y la derivada de la segunda función: f(x) = (g ∘ h)(x)·h‘(x). Hacemos: z = h(x), z‘ = h‘(x). ∫(g ∘ h)(x)·h‘(x) = ∫(g ∘ z)dz = ∫g(z)dz. z = h(x), dz/dx = h‘(x) → dz = h‘(x)dx.

Por Partes

Se utiliza cuando el integrando es un producto entre 2 funciones: si f·g: D(f,g) = D_f·g + f·D_g, d(f,g)/dx = f‘·g + f·g‘, d(f·g) = f‘·g dx + f·g‘ dx. Si hacemos: u = f(x) → du = f‘(x)dx, v = g(x) → dv = g‘(x)dx. Reemplazando: d(u·v) = vdu + udv. ∫d(u·v) = ∫vdu + ∫udv. u·v = ∫vdu + ∫udv → ∫udv = uv – ∫vdu.

Integración de Funciones Racionales

f(x) = P(x)/Q(x), Q(x) ≥ 1, gºQ ≥ 1.

1. Si gºP(x) ≥ gºQ(x) → f(x) es una función racional impropia. En este caso, se deben dividir los polinomios: P(x)/Q(x), P(x) = C(x)Q(x) + R(x), divido a todos por Q(x), → P(x)/Q(x) = C(x) + R(x)/Q(x).
2. Si gºP(x) < gºQ(x) → es una función racional propia. Caso particular: racional propia. Si f(x) = (2ax + b)/(ax² + bx + c).

Longitud de Curva

f: D ⊂ ℝ → ℝ, x → y = f(x) continua en [a,b]. Si tomamos una partición regular P = (X₀ = a = X₁, X₂, …, X_n = b), ΔX = ΔX₁ = ΔX₂ = … = ΔX_n. Longitud aproximada = Σ_i=1ⁿ ||P_i-1 – P_i||. Longitud exacta: lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ ||P_i-1 – P_i||. Para seguir, ΔY = f(X_i) – f(X_i-1), ΔX = X_i – X_i-1, ||P_i – P_i-1|| = √(Δx² + ΔY²). Existe X_i ∈ [X_i-1, X_i] tal que f‘(x) = ΔY/ΔX. Reemplazo todo y saco factor común. L = ∫_a^b √(1 + (f‘(x))²)dx.

Derivada de una Función Vectorial de Variable Real

Si f: D ⊂ ℝ → ℝⁿ, x → f(x) = y, f‘(x) = lim_h→0 [f(x+h) – f(x)]/h, f‘(X₀) = lim_h→0 [f(X₀+h) – f(X₀)]/h, r‘(t₀) = lim_h→0 [r(t₀+h) – r(t₀)]/h.

Límite de una Función Vectorial

Sea r: D ⊂ ℝ → ℝⁿ, el límite de r cuando t → a ∈ D es el vector L y denotamos como lim_t→a r = L si existe ε > 0 y existe γ > 0 tal que ||r(t) – L|| < ε. Siempre que 0 < ||t – a|| < γ. L = lim_t→a r(t) = (lim_t→a F₁, lim_t→a F₂, …, lim_t→a F_n).

Continuidad

Sea r: D ⊂ ℝ → ℝⁿ, a ∈ D. R es continua en t = a si:

1. Existe lim_t→a r(t).
2. Está definida r(a) (existe la imagen de a).
3. lim_t→a r(t) = r(a).

Cada r lleva una flecha arriba*.

Longitud de Arco para Funciones Vectoriales

Si f: D ⊂ ℝ → ℝ, L = ∫_a^b √(1 + (f‘(x))²)dx, a ≤ x ≤ b, x ∈ [a,b]. Tenemos: r: D ⊂ ℝ → ℝ², r(t) = (x,y), x = f(t) → dx = f‘(t)dt, y = g(t) → dy = g‘(t)dt. Para x = a → t = γ, x = b → t = β. L = ∫_a^b √(1 + (dy/dx)²)·f‘(t)dt. Reemplazo todos los datos, después sumo la fracción, muevo la raíz para denominador y numerador y resuelvo, me queda: ∫_γ^β √[(f‘(t))² + (g‘(t))²]dt = ∫_γ^β ||r‘(t)||dt.

Curva Suave

Una curva C que representa la función r: D ⊂ ℝ → ℝⁿ en el intervalo I = [a,b] ⊂ D_f es suave si r es continua en I y además r‘(t) no es igual a cero en I, excepto tal vez en los extremos.

Vector Tangente

Sea C la curva descrita por r: D ⊂ ℝ → ℝ³ en [a,b] ⊂ D. Puede ocurrir que en un punto r(t₀) de C donde r‘(t₀) = 0 exista el lim T(t). En este caso, definimos al vector tangente de t₀ → T(t₀) = lim_t→∞ T(t), y se lo llama vector tangente unitario a C en r(t₀). La importancia de este vector es que define la dirección de C en el punto extremo del vector r(t). T(t) = r‘(t)/||r‘(t)||.

Vector Normal y Binormal

Vector Normal: La dirección es normal que sea perpendicular al versor tangente. N(t) = T‘(t)/||T‘(t)||. Vector Binormal: La dirección es perpendicular a la normal y la tangente, se define como el producto vectorial del versor tangente por el normal. B(t) = T(t) × N(t).

Función Longitud de Arco

Si una curva uniforme c tiene la ecuación y = f(x), a ≤ x ≤ b, sea s(t) la distancia a lo largo de C, entonces s es una función, s(t) = ∫_a^x √[1 + (f‘(x))²] α ≤ t ≤ β. S(t) = ∫_α^t ||r‘(u)||du → S‘(t) = ds/dt = ||r‘(t)|| por el TFC. r(u) = (x(u), y(u), z(u)).

Curvatura

Es el valor absoluto de la variación del vector tangente unitario con respecto a la función longitud de arco. K(t) = ||dT/ds||.

Curvas de Nivel

Si f: D ⊂ ℝ² → ℝ, (x,y) → f(x,y) = Z constante, L = [(x,y) ∈ D / f(x,y) = k, k = const] conjunto de todas las curvas de nivel.

Regla de la Cadena

f: D ⊂ ℝ² → ℝ, (x,y) → z = f(x,y); r: D₁ ⊂ ℝ → ℝ², t → r(t) = (x,y) y además: x = f₁(t), y = f₂(t), podemos definir la composición: r: D₁ ⊂ ℝ → ℝ², t → r(t) = (x,y); f: D ⊂ ℝ² → ℝ, (x,y) → Z = f(x,y); r ∘ f: D ⊂ ℝ → ℝ, t → z = f(t), derivada: dz/dt = (df/dx)·(dx/dt) + (df/dy)·(dy/dt).

Derivada Parcial

Partiendo de: ΔZ = (df/dx)(X₀,Y₀)h₁ + (df/dy)(X₀,Y₀)h₂ + E₁h₁ + E₂h₂, si h₁ = ΔX y h₂ = ΔY, reemplazo, divido por ΔT, aplico límite ΔT a cero y los deltas se vuelven dx, dy y dt.

Derivada Direccional

f: D ⊂ ℝ² → ℝ, (x,y) → z = f(x,y), (X₀,Y₀) ∈ D, u tal que ||u|| = 1. D_uf(X₀,Y₀) = lim_h→0 ΔZ/h = lim_h→0 [f(X₀ + hu₁, Y₀ + hu₂) – f(X₀,Y₀)]/h. Podemos definir: g(h) = f(X₀ + hu₁, Y₀ + hu₂) = f(x,y). g‘(0) = lim_h→0 [g(0+h) – g(0)]/h = lim_h→0 [g(h) – g(0)]/h = lim_h→0 [g(X₀ + hu₁, Y₀ + hu₂) – g(0)]/h = lim_h→0 [f(X₀ + hu₁, Y₀ + hu₂) – f(X₀,Y₀)]/h = D_uf(X₀,Y₀). Como X = X₀ + hu₁ e Y = Y₀ + hu₂: usando la regla de la cadena: dg/dh = (dg/dx)·(dx/dh) + (dg/dy)·(dy/dh) = (dg/dx)·u₁ + (dg/dy)·u₂ = (df/dx)·u₁ + (df/dy)·u₂ = (df/dx, df/dy)·(u₁, u₂) = gradiente f(X₀,Y₀)·u = D_uf(X₀,Y₀).