Propagación de Ondas: Descripción Matemática, Energía e Intensidad

Descripción matemática de la propagación de una perturbación: Ecuación de ondas. Trataremos el caso ideal en el que se establecen como hipótesis básicas: 1- La forma de onda no cambia durante su propagación. 2- La velocidad de propagación se supone constante. 3- El medio es infinito. Consideramos una función continua φ=f(x). Podemos desplazarla tanto f(x+a) como f(x-a). Si expresamos este desplazamiento como a=vt, siendo v la velocidad y t el tiempo, tendremos que la función φ(x,t)=f(x+-vt) representa una perturbación que se propaga en la dirección del eje x con velocidad v. La función representa la deformación de un sólido. Cualquier perturbación que se propague sin deformación con velocidad constante deberá satisfacer dicha ecuación. Este tipo de ondas recibe el nombre de **ondas planas**, porque los llamados frentes de onda, que son las regiones del espacio en las que la función es constante. Otro tipo muy importante son las llamadas **ondas esféricas**, para representarlas se dibujan las superficies formadas por todos los puntos del espacio en los que el valor de la perturbación es constante. La expresión φ(r,t)=f(r-vt)/r donde r es la distancia al punto emisor, su curvatura va disminuyendo a medida que se va alejando de la fuente, aproximándose a superficies planas. Para determinar si una perturbación producida en un sistema físico se va a propagar a través del mismo como una onda, bastará aplicar las ecuaciones fundamentales que rigen el comportamiento macroscópico del sistema.

Energía e intensidad: Durante la propagación de una onda mecánica, los átomos o moléculas que constituyen el medio en el que se propaga la onda permanecen en promedio en sus posiciones de equilibrio. Es decir, que la onda viaja, el átomo o molécula del medio transmite su estado de movimiento al contiguo, lo que se propaga, por consiguiente, es el estado de movimiento. Y como todo movimiento supone una energía y un momento lineal. Se define la **intensidad** de una onda como la energía media que fluye por unidad de tiempo y unidad de área: I=P/S=<E>v, sea <E> la densidad media de la energía de la onda y v la velocidad de propagación. En el caso de ondas esféricas, la potencia total emitida por la fuente con la intensidad a una distancia r de la misma I=P/4πr². A esta expresión se le denomina **ley del inverso del cuadrado de la distancia**. Si la onda se propaga en un medio limitado de sección transversal S, su potencia media es P=I•S=<E>Sv. En el caso de una onda armónica expresada por y(x,t)=y_o•sen(kx-ωt), recordando la energía total de un oscilador (1/2)mω²a², la densidad media de energía es <E>=(1/2)pω²y²_o.

Ondas Electromagnéticas Planas y Armónicas en el Vacío

Para que una magnitud física vectorial se propague como una onda plana y armónica, cada una de sus componentes deberá satisfacer una ecuación semejante a φ(x,t)=Asen(kx-2πft)=Asen(kx-ωt). Los campos E y B deben satisfacer además las ecuaciones de Maxwell. Los campos E y B son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. El vector campo magnético en cualquier posición r e instante t tiene:

• Módulo: B(r,t)=E(r,t)/c
• Dirección perpendicular a E
• Sentido tal que {E(r,t),B(r,t),K} forman triedro directo.

Para ondas propagándose en la dirección del eje x, el vector de ondas K se expresaría como K=2π/λ î y en el caso más sencillo los campos tomarían la siguiente forma: E(r,t)=E_osen(kx-ωt), B(r,t)=B_osen(kx-ωt), E_o y B_o siempre son perpendiculares entre sí, donde E_ox=B_ox=0, es decir, siempre son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda.

Intensidad de las Ondas Sonoras y Audición

El sonido puede dividirse en tres rangos de frecuencia: Infrasonidos (0-20Hz), audible (20Hz-20KHz) y ultrasonidos (>20KHz). Para las ondas sonoras, la amplitud de onda de presión (P_o) y de desplazamiento (y_o) están relacionados P_o=2πfρ_ovy_o → la intensidad sería I=P_o²/2vρ_o. Existe una intensidad mínima, umbral de audición, en la sensibilidad del oído humano y la intensidad máxima, umbral del dolor. El nivel de intensidad del sonido B=10log(I/I_o) expresada en decibelios (db) donde I_o=10^-12w/m². Al percibir simultáneamente dos sonidos se suman las energías, no los niveles de intensidad. Otros dos términos son el tono, que tiene que ver con la frecuencia de la onda sonora, y el timbre, que está relacionado con la forma de la onda.

Ondas Estacionarias

Cuando una onda viajera se encuentra con una frontera, parte de la onda se refleja y parte se transmite al otro medio. La parte de la onda que es reflejada se superpone con la onda incidente, interfiriendo con ella. Cuando confinamos las ondas en una región del espacio entre fronteras, su reflexión hacia adelante y hacia atrás puede dar lugar a un tipo de onda que no se propaga llamada **onda estacionaria**. Consideremos dos ondas Φ₁=Asen(kx-ωt) y Φ₂=Asen(kx+ωt) cuando se superponen Φ=2Asen(kx)cos(ωt), siendo su amplitud 2Asen(kx) y es máxima cuando sen(kx)=+-1. Por otro lado, las ondas deben de cumplir las condiciones de contorno, siendo los extremos x=0 y x=L, de modo que Φ(0,t)=0, Φ(L,t)=0. La primera condición se cumple y para la segunda KL=nπ→2πL/λ=nπ→λ_n=2L/n. λ_n son cada una de las longitudes de onda. Los puntos en los que la curva se cruza con el eje, se corresponden con posiciones x que cumplen kx=nπ, donde la onda es nula y reciben el nombre de **nodos**. El punto intermedio entre nodos donde la amplitud es máxima se llaman **antinodos**. La frecuencia deduciremos que es f_n=v/λ_n=nv/2L. Denominamos frecuencias naturales o armónicas, siendo su valor más bajo f_n=nf1 las frecuencias armónicas.

Interferencia de Ondas

La superposición de dos o más ondas en cualquier región del espacio. Supongamos dos fuentes de ondas armónicas situadas a distancia b entre sí, la emisión en un plano situado a una distancia grande L de esos emisores, de manera que las dos líneas que les separa de un punto P son r1 y r2, pueden considerarse paralelas entre sí y al vector de ondas k, y la diferencia será z=r2-r1. Las dos fuentes emiten con la misma frecuencia, longitud de onda, amplitud, fase y estado de polarización. Cuando dos fuentes están en fase o tienen una diferencia de fase se llaman **fuentes coherentes**. Las dos ondas llegan al punto P de la pantalla a distancia y, Φ₁=Φ_ocos(kr1-ωt) y Φ₂=Φ_ocos(kr2-ωt) →k(r1-r2)=2nπ→2πz/λ=2nπ→z=nλ siendo n un número entero Φ=Φ₁+Φ₂ =2Φ_o , I=4I_o si para un punto P la intensidad será el doble, hay **interferencia constructiva**. Si k(r2-r1)=(2n+1)π→2πz/λ=(2n+1)π→z=(n+0,5)λ resultará Φ=Φ₁+Φ₂ =0 la **interferencia será destructiva** y el ángulo de será senθ_n=nλ/b.

Efecto Doppler

Cambio de frecuencia que sufren las ondas cuando la fuente emisora y/o el observador se encuentran en movimiento relativo al medio material en el que se propagan. v representará la velocidad de propagación de la onda, v_o la del observador y v_s la de la fuente, la fuente emite ondas de frecuencia f y la frecuencia que le llega al observador será f’=v’/λ’ ,si el observador se mueve en el mismo sentido de las ondas, la velocidad relativa con la que sobrepasan será v’=v-v_o o v’=v+v_o si se mueve en el sentido contrario. Para calcular la longitud de onda λ’ de las ondas que le llegan al observador en el instante t=0, el periodo T=1/f, emitirá otra onda, durante el intervalo de tiempo T la primera onda avanzará una distancia vT, la fuente se habrá desplazado una distancia v_sT y desde esa posición emitirá la segunda onda. Si la fuente se mueve en el mismo sentido de las ondas la longitud de onda será λ’ =vT-v_sT=(v-v_s)/f o λ’ =(v+v_s)/f si se mueve en sentido contrario. f’=v’/λ’=(v-v_o)f/v-v_s donde v_o,v_s >0 si tienen el mismo sentido que la onda de propagación y menores que 0 en caso contrario.