Sucesiones y Progresiones

Sucesiones: Una sucesión es una función definida de los naturales en los reales. Las sucesiones se escriben como un conjunto numérico, donde el conjunto de partida es la posición del término. En una sucesión siempre necesitamos el término general, que se denota como

Progresión Aritmética

Es una sucesión en la cual, cada término se halla “sumándole al anterior un valor constante llamado razón”.

NOTA: No todas las sucesiones son progresiones.

Suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética:

Progresión Geométrica

Es una sucesión en la cual, cada uno de los términos se halla “multiplicando” el anterior por un valor constante llamado razón.

La suma de los n primeros términos de la progresión geométrica:

Productos de los n primeros términos de una progresión geométrica

Interpolación

“Colocar entre dos polos”. Existen interpolaciones de medios aritméticos y medios geométricos.

Vectores en el Espacio

Espacio Vectorial

Necesito altura, ancho y largo. (X,Y,Z). Son necesarias las tres para poder estar ubicado en el espacio, siendo perpendiculares entre sí.

Vectores en el espacio

Segmento orientado. Para definirlo siempre indico módulo, dirección y sentido. Si el vector es libre se denota con letra minúscula.

Componentes de un vector

Son las coordenadas del extremo del vector libre equipolente al vector dado. EXTREMO – ORIGEN. Los vectores en el espacio no tienen una dirección, tienen ángulos directores.

Módulo

Se halla usando Pitágoras.

Sentido

Dependerá del espacio por lo que SOLO tendremos que dibujarlo.

Dirección

En el plano es el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X. En el espacio debo decir los 3 ángulos que forman con el punto, llamándose “Ángulos directores”.

Ángulos directores

• α (alpha) el ángulo que forma con respecto al eje positivo de las X
• β (beta) el ángulo que forma con respecto al eje positivo de las Y
• γ (gamma) el ángulo que forma con respecto al eje positivo de las Z

NOTA: el ángulo debe ser mayor que 90° pero SIEMPRE menor de 180°. En el espacio se usa “cos ^-1” o “Arcos”.

Operaciones con vectores

Suma de vectores

(X₁ + X₂, Y₁ + Y₂, Z₁ + Z₂). Se deben sumar los componentes de los vectores, mas no un origen cualquiera con un extremo cualquiera ya que son simples puntos.

Resta de vectores

(Resta sumar al minuendo el simétrico aditivo al sustraendo) sentidos opuestos (igual módulo, dirección pero distinto sentido).

Multiplicación de vectores

Escalar por vector → los escalares son magnitudes que solo tienen medida; en cambio la magnitud vectorial tiene módulo dirección y sentido.

Producto escalar de vectores → producto en el cual el resultado que obtengo es un escalar.

Producto vectorial → el resultado es un vector. La dirección SIEMPRE es perpendicular al plano que forman los vectores.

Regla de la mano derecha del sacacorchos: sirve para determinar el sentido del vector.

Dependencia e independencia lineal

Dos o más vectores son linealmente dependientes cuando uno es combinación lineal del otro.

NOTA: si el número de ecuaciones es menor que el número de ecuaciones el sistema es compatible determinado (1 solución). El compatible indeterminado (∞ soluciones).

Base y dimensión

Base

Es el mínimo número de vectores linealmente independientes con los cuales cualquier otro se puede escribir como combinación lineal de ellos. Por ejemplo, si se tienen 3 vectores linealmente independientes se dice que forman una base en el espacio, es decir, a cualquier otro vector lo puedo escribir como combinación lineal de los otros 3, pero si son linealmente dependientes NO forman una base en el espacio.

Base canónica

Formado por los vectores unitarios que obligatoriamente serán linealmente independientes y formarán una base en el espacio.

Dimensión

Es el número de vectores (3) que sirven para formar la base en el espacio.

NOTA: Linealmente independientes = perpendiculares entre sí, deben dar obligatoriamente cero.

Matrices

Una matriz es un arreglo generalmente numérico organizado en filas y columnas denotándose con una letra mayúscula y cada elemento identificado según la posición que ocupe. SIEMPRE se deberá escribir el orden de las matrices.

Tipos de matrices

Matriz cuadrada

Mismo número de filas que de columnas.

Matriz fila

Una sola fila.

Matriz columna

Una sola columna.

Matriz diagonal

Es una “matriz cuadrada” en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal.

Matriz identidad

Es una “matriz diagonal” en la cual todos los elementos de la diagonal son 1. SIEMPRE se denotará con una I de identidad.

Matriz traspuesta

Se cambian las filas por las columnas.

Matriz nula

Todos sus elementos son cero.

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales si son del mismo orden y los elementos que ocupa la misma posición en cada matriz son iguales.

Adición de matrices

Deben tener obligatoriamente el mismo orden.

Propiedades

• Conmutativa: el orden de los sumandos no altera la suma.
• Asociativa: el orden como asocia los sumandos no alteran la suma.
• Elemento neutro: en las matrices se llama “matriz nula” (todos sus elementos son cero y deberán tener el mismo orden que la otra matriz).
• Simétrico aditivo: sirve para poder definir la resta, aquella en la cual todos sus elementos cambian de signo. Aquel elemento sumado con el elemento original da el elemento neutro.

Resta de matrices

La resta NO cumple NINGUNA propiedad.

Multiplicación de matrices

El número de las columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda. Al momento de multiplicar es la primera fila por la primera columna de la segunda matriz, sumando cada uno dará el producto de la primera fila, primera columna, y así sucesivamente.

Propiedades

• Conmutativa: para que se cumpla la multiplicación de matrices estas no deben presentar el mismo orden por lo que esta propiedad NO sirve (en la multiplicación de matrices).
• Asociativa: No se debe cambiar el orden establecido para poder aplicarse.
• Distributiva: No se debe cambiar el orden porque la multiplicación de matrices NO es conmutativa, por lo cual si sumo y luego multiplico me debe dar igual a si multiplico y luego sumo.
• Elemento neutro (1): es la matriz identidad.
• Inverso multiplicativo o simétrico multiplicativo: (se denota a la -1) Una matriz por su inversa debe dar la matriz identidad, aunque esto no se cumple con todas las matrices inversas.

Sistema de matrices

La primera matriz se llama “matriz coeficiente A”.

La segunda matriz “matriz variable X” (SIEMPRE será una matriz columna).

La tercera matriz “términos independientes B” (SIEMPRE será una matriz columna).

Operaciones elementales por filas o columnas

1. Se pueden intercambiar filas por filas o columnas por columnas.
2. Se pueden multiplicar los elementos de una fila o columna por un número diferente de cero.
3. Se pueden multiplicar todos los elementos por filas o columnas y sumar esa fila con otra.

NOTA: esto se utiliza para hallar la matriz inversa.