Diagramas de Interferencia

Se define la resistencia como s y la solicitación o carga como l. Para un buen funcionamiento, se requiere que s – l > 0. El margen de seguridad se calcula como SM = (s – l) / √(σ_s² + σ_l²), y la diferencia entre resistencia y carga como dif_s,l = (s – l) / √(σ_s² + σ_l²). La fiabilidad se define como la probabilidad de que la resistencia sea mayor que la carga, es decir, Pr(dif_s,l > 0) o, equivalentemente, 1 – Pr(dif_s,l < 0). Existe una tabla de valores que se deben adoptar para SM si se requiere una fiabilidad determinada.

Tasa Instantánea de Fallo – λ(t)

La tasa instantánea de fallo es una medida de la probabilidad de que un componente falle en el siguiente intervalo temporal, condicionado a que haya sobrevivido al comienzo de ese intervalo (componentes no reparables). La tasa de fallo (λ) se aplica a sistemas reparables y representa el número medio de fallos por unidad de tiempo.

Consideremos los siguientes eventos:

• A: El componente falla en el siguiente intervalo temporal.
• B1: El componente ha sobrevivido al comienzo de ese intervalo.
• B2: El componente ha fallado antes del comienzo de ese intervalo.

Entonces, la probabilidad de A se puede expresar como: Pr(A) = Pr(A/B1) · Pr(B1) + Pr(A/B2) · Pr(B2)

Fiabilidad en función de la tasa instantánea de fallo:

λ(t) = f(t) / R(t) = -dR(t)/dt / R(t)

λ(t) · dt = -dR(t) / R(t)

∫λ(t) · dt = -Ln(R(t))

R(t) = exp[-∫λ(t) · dt] = exp[-λt] (Si λ(t) es constante)

Curva de la bañera:

1. Fase de fallos prematuros.
2. Fase de vida útil.
3. Fase de fallos por envejecimiento.

Disponibilidad

La disponibilidad es la proporción de tiempo que un componente, bloque o máquina es capaz de llevar a cabo su función. Se calcula como: A = MTTF / (MTTF + MTTR), donde MTTF = ∫(0 – ∞) t · f(t) · dt

Costes de Vida de una Máquina (LCC)

Se busca la fiabilidad óptima que redunde en un coste mínimo de la máquina, es decir, la que minimice los costes totales.

Distribución de Probabilidad de Weibull

Se utiliza para aproximar datos sobre la duración de componentes a fatiga.

• Distribución de probabilidad acumulada: F(t, η, β) = 1 – exp[-(t/η)]^β
• Densidad de probabilidad: f(t, η, β) = (β/η^β) · t^(β-1) · exp[-(t/η)]^β
• Tasa instantánea de fallo: λ(t, η, β) = f(t, η, β) / R(t, η, β) = f(t, η, β) / (1 – F(t, η, β))

Interpretación del parámetro β:

• Si β < 1: La razón de fallo disminuye con el tiempo.
• Si β > 1: La razón de fallo aumenta con el tiempo.
• Si β = 1: La razón de fallo es constante, λ = 1/η y MTTF = η.

Casos especiales:

1. Influencia del parámetro de localización: Si la forma es convexa (γ > 0), hay un intervalo inicial sin fallos. Si es cóncava (γ < 0), el componente ya presenta fallos desde el inicio.
2. Influencia de diferentes modos de fallo: Se observa un cambio claro de pendiente en la línea de aproximación. Se aproximan por separado como datos censurados de un modo los correspondientes al otro modo.

Análisis en Servicio para Sistemas Reparables

Bajo la suposición de sistemas reparables (AGAN) y suponiendo una tasa de fallo constante, se puede utilizar la distribución de Poisson: P(x) = (exp[-λt] · (λT)^x) / x!, donde T es el tiempo transcurrido, λT es el número medio de fallos y x es el número de fallos. λ = tasa de fallo = x/T y θ = tiempo medio entre fallos (MTBF) = 1/λ

Si una variable x sigue una distribución de Poisson, el doble de su valor medio sigue una distribución χ² con 2(x+1) grados de libertad.

Ensayos de Aceptación

Los ensayos de demostración de fiabilidad tienen el inconveniente de que, si bien se aceptará cualquier sistema fiable, no se rechazan automáticamente los sistemas no fiables.

• Ensayo de aceptación basado en los riesgos del proveedor:

θ_A = MTBF aceptable

θ_min = MTBF mínimo a demostrar

d = θ_A / θ_min = ratio de diseño

α = riesgo del proveedor (probabilidad de que el test rechace un producto con MTBF > θ_A)

β = riesgo del cliente (probabilidad de que el test acepte un producto con MTBF < θ_min)

Si no se plantea un MTBF_min a demostrar además de un MTBF_A, no se cruzan las curvas y se corre el riesgo de hacer ensayos sin poder llegar a aceptar o rechazar la máquina.

Modelo Básico de Cálculo de Fiabilidad en Máquinas

• Sistema serie (AND):

P_s = P₁ · P₂…

F_s = 1 – P₁ · P₂… = 1 – (1 – F₁)(1 – F₂)…

A_s = A₁ · A₂…

U_s = 1 – A_s = 1 – (1 – U₁)…

Fiabilidad: R(t) = 1 – F(t)

R_s(t) = exp[-λ_s · t]

λ_s = λ₁ + λ₂…

• Sistema paralelo/redundancia activa (OR):

F_s = F₁ · F₂…

P_s = 1 – F_s

U_s = U₁ · U₂…

A_s = 1 – U_s = 1 – (1 – A₁)(1 – A₂)…

Fiabilidad: R_s(t) = 1 – (1 – exp[-λ_i · t])(exp[-λ_n · t])

• Sistema con red secuencial o con elementos en stand-by (conmutación imperfecta):

R_s(t) = R(t) + A∫(0 – t) f(x) · R(t – x)dx = exp[-λ · t] (1 + Aλt)

MTTF = ∫(0 – ∞) dt · f_s(t) · t = -∫(0 – ∞) t · R_s‘(t) · dt = (1 + A) / λ (para conmutación perfecta = 2/λ)

• Sistema con una unidad funcional y n en stand-by:

R_s(t) = exp[-λ · t] · [1 + Aλt + (Aλt)²/2! + … + (Aλt)ⁿ/n!]

MTTF = (1 + A + A² + … + Aⁿ) / λ

Si hay N unidades en funcionamiento con n en stand-by: λ’ = Nλ

• Sistema con redundancia activa k-out-of-n:

Si un sistema está formado por n subsistemas, tales que para el buen funcionamiento del sistema es suficiente con que solo k de ellos funcionen, entonces se tiene una redundancia activa del tipo k-out-of-n.

Para cada componente se da que: P + F = 1

Para los n subsistemas en paralelo: (P + F)ⁿ = 1 ó ∑(r = 0 hasta n) (n r) · [1 – P]^{n – r} = 1

La probabilidad de que el sistema funcione será el truncamiento de la anterior expresión desde r = k hasta r = n:

P_s = ∑(r = k hasta n) (n r) · P^r · [1 – P]^{n – r}

R_s(t) = ∑(r = k hasta n) (n r) · R(t)^r · [1 – R(t)]^{n – r}

R(t) = exp[-λ · t]

(n r) = n! / (r! · (n – r)!)

Fiabilidad de Subsistemas de Seguridad

Dos tipos de fallo:

• Fallos seguros (fail-safe) = λ_s
• Fallos peligrosos (fail-to-danger) = λ_d

FDT = % de tiempo que el subsistema no está disponible

T = intervalo temporal entre controles rutinarios (<< MTTF) (años/revisión)

λ_d = tasa de fallos fail-to-danger (fallos/año)

H = tasa de fallo del conjunto (fallos/año)

D = tasa de demanda (activación del sistema de seguridad) (fallos/año)

FDT = 1/2 · λ_d · T

FDT_s = 1 – (1 – FDT₁) · (1 – FDT₂)

H = D · FDT

Contrastes de Hipótesis

Se suele formular H₀ como aquella que nos conviene que se cumpla.

• Error Tipo I (α): Error cometido al rechazar la H₀ siendo en realidad verdadera.
• Error Tipo II (β): Error cometido al aceptar la H₀ siendo en realidad falsa.
• Potencia de la prueba (Pot = 1 – β): Probabilidad de rechazar la H₀ cuando es falsa.

Prueba t para probar diferencia de medias

En el caso en el que se acepte que la desviación típica de las dos poblaciones que se quieran contrastar es la misma, y la muestra esté completamente aleatorizada:

• S_p = estimación de la desviación típica común.
• m_A, m_B = estimaciones de los valores medios.
• m₀: valor con respecto al cual se quiere contrastar la diferencia de medias.

Distribución t de Student con n_A + n_B – 2 grados de libertad.

Si se acepta la H₀, se tiene una probabilidad β de cometer error de Tipo II. Curvas OC.

Prueba Chi para probar un valor de la varianza

• H₀: σ² = σ₀²
• χ₀² = [(n – 1)S²] / σ₀²
• H₁: σ² ≠ σ₀²

La H₀ deberá ser rechazada si: χ₀² > χ_{1 – α/2, n – 1}²

Prueba F para probar igualdad de varianzas

• H₀: σ_A² = σ_B²
• F₀ = S_B² / S_A²
• H₁: σ_A² ≠ σ_B²

Distribución F de Snedecor con (n_B – 1), (n_A – 1) grados de libertad. La H₀ debe ser rechazada si: F₀ > F_{1 – α/2, nA – 1, nB – 1} o bien F₀ < F_{α/2, nA – 1, nB – 1}

Contrastes en diseños pareados

Cuando los resultados de los ensayos sobre los que hay que contrastar H están llevados a cabo en distintas unidades experimentales, la variabilidad entraría a formar parte de los resultados del ensayo y podrían contaminar el contraste. Se evaluará la población diferencia de medias. Diseño pareado (extraer variabilidad).

• H₀ = m_d = 0
• H₁ = m_d ≠ 0

La distribución de probabilidad de la diferencia de medias es una distribución t desplazada, siendo el parámetro δ el parámetro de desplazamiento.

Análisis de la Varianza (ANOVA)

Realizar X pruebas t para comparar los Y grupos puede hacer incrementar el error de Tipo I. Se necesita un método más global que establezca una H₀ de igualdad de todas las medias: ANOVA.

Selección del tamaño de muestra – Cálculo del error de Tipo II

El parámetro de descentramiento λ de la distribución se puede calcular como:

Contrastes Post-Hoc

Una vez rechazada la H₀, puede interesar saber qué parejas tienen una media diferente. Método de la mínima diferencia significativa (LSD).

Se decidirá rechazar la igualdad de medias si: |m_i – m_j| > LSD

Corrección de Bonferroni

Opción conservadora que divide la probabilidad de Error de Tipo I entre el número de combinaciones a contrastar.

Diseño por Bloques

Objetivo: Sustraer los posibles efectos de los bloques de la variabilidad del fenómeno que nos interesa medir.

Bloque: Factor que puede influir en los resultados que se desean medir, pero que no nos interesa per sé, es decir, no nos interesa saber cuál es su influencia en la variabilidad, sino que solo sustraerla de la variabilidad del grupo de estudio, para tener una lectura más limpia de los resultados.

• Diseño con dos bloques (Diseño en cuadrados latinos).
• Diseño con tres bloques (Diseño en cuadrados grecolatinos).

Cuando existen dos o tres factores que influyen en los resultados y su variabilidad requiere ser cancelada.

Diseños Factoriales

Algunas situaciones experimentales implican el estudio de la magnitud que se desea medir en función de dos o más factores, cuya influencia se desea conocer, puesto que son factores controlables.

H₀: que ni A ni B ni la interacción AB tienen influencia.

Análisis de Regresión

A veces puede ser útil disponer una expresión matemática que ligue la variable medida en función de los valores del factor o los factores. El ajuste de la expresión se realiza mediante el método de los mínimos cuadrados.