Clase 11
Filtros
Aunque el tópico de filtros y su importancia han sido discutidos en asignaturas previas, así como algunos puntos previos de este mismo curso, se estudian aquí nuevamente con la idea de establecer las bases de diseño de los mismos.
La función básica de un filtro es permitir el paso de un cierto grupo de frecuencias, en la denominada banda pasante e impedir el paso de otras en la banda de rechazo.
Algunos diseños muy básicos de filtros permiten especificar las frecuencias de corte, pero no permiten tener control sobre el comportamiento del mismo a otras frecuencias. Este comportamiento se suele especificar gráficamente en términos de una máscara de manera que la misma establece límites a la variación de la ganancia (óperdida) tanto en la banda pasante como en la banda de rechazo. En la práctica, para lograr un comportamiento dado es necesario ir más allá de los diseños básicos.
Estructuras periódicas
Las estructuras periódicas se construyen a partir de líneas de transmisión o guías de onda (“infinitas”) cargadas periódicamente con elementos reactivos
Tales elementos reactivos se pueden modelar como elementos de parámetros concentrados en paralelo (o en serie) separados una cierta distancia “d” lo que define una celda unitaria como se muestra.
Estas estructuras poseen comportamientos de banda pasante y banda de rechazo similares a los de los filtros y pueden utilizarse para los mismos fines.
Un detalle importante de estas estructuras es que la velocidad de propagación de la línea cargada es inferior a la de la línea no cargada y por eso se les llama estructuras de onda lenta, lo cual halla aplicaciones en una gran variedad de dispositivos a frecuencias de microondas y superiores
Análisis de estructuras periódicas infinitas
Por razones de simplicidad se estudiará primero la línea cargada infinita para luego considerar las líneas reales.
La línea se considera como la cascada de un número infinito de secciones (las llamadas celdas unitarias) las cuales a su vez se modelan como redes de dos puertos y que poseen una matriz de ABCD como la siguiente (*):
(*) nota: las matrices ABCD son un tipo de matrices de transmisión para redes de dos puertos donde se relacionan voltajes y corrientes en cada uno de los puertos
Como la celda unitaria está constituida por dos secciones de longitud d/2 entre las cuales se halla una subceptancia de valor “b”, se puede hallar la matriz ABCD utilizando las fórmulas de la Tabla 4.1 del texto como:
????Es la longitud eléctrica de la línea no cargada ????=????????
Como se ha supuesto una línea infinitamente larga no habrá reflexiones y sólo habrá una onda propagándose (por ejemplo en la dirección +z). Los voltaje y corrientes en cualquier punto de la línea están relacionados con los de un punto de referencia z=0 de la forma
En términos de la matriz ABCD se tiene:
Pasando el miembro de la derecha hacia la izquierda y restando las matrices se obtiene:
Para obtener una solución no trivial el determinante de la matriz debe desvanecerse, es decir:
Y, como AD-BC=1 en una red recíproca, entonces:
Esta es una ecuación trascendental. Vamos a considerar las partes real a imaginaria de ????=????+????????De manera que
cosh????????+????????????=cosh????????Cos????????+????Sinh????????Sin????????=cos????−????2sin????
Como el término de la derecha es real puro, entonces debemos tener ????=0o ????=0. Consideraremos cada caso por separado
Caso 1:
????=0y ????≠0
Este caso corresponde a una onda propagante no atenuada y define el paso de banda de la estructura.
En este caso la ecuación se reduce a
cos????????=cos????−(????/2)sin????
Esta ecuación tiene solución si el segundo miembro es menor a la unidad. Obviamente que hay un número infinito de valores ????Que satisfacen la ecuación
Caso 2:
????≠0y ????=0
En este caso no ha propagación. La onda simplemente se atenúa a lo largo de la línea. Esto define la condición de banda de rechazo de la estructura. Ya que se ha supuesto que la línea es sin pérdidas, la potencia no se disipa, sino que refleja de vuelta a la 
Esta expresión tiene una sola solución ????>0para ondas que viajan en la dirección positiva de las z. La solución negativa correspondería a ondas que viajasen en la dirección opuesta.
En resumen, dependiendo de los valores de frecuencia y de la subceptancia normalizada, la línea cargada periódicamente presenta un comportamiento pasabandao elimina banda por lo que puede considerarse un filtro.
Es importante destacar que los voltajes y corrientes definidos para esta estructura corresponden exclusivamente a los medidos en los terminales de la celda unitaria y en modo alguno a los puntos dentro de ella. Estas ondas son similares a las ondas elásticas que se propagan a través de estructuras cristalinas periódicas.
Además de las constantes de propagación de las ondas en la línea cargada periódicamente interesa conocer la impedancia carácterística. Se puede definir una impedancia carácterística en los terminales de la celda unitaria (por la misma razón de que los voltajes y corrientes del modelo sólo están definidos en estos puntos) como:
ya que las tensiones y corrientes son cantidades normalizadas y su cociente es adimensional. Esta impedancia se conoce como impedancia de Blochpor su similitud con las ondas elásticas.
De la multiplicación matricial indicada en la lámina 10 se tiene que:
De manera que, al sustituir, se tiene
De la expresión del determinante de la matriz (lámina 10) se obtiene una ecuación de segundo grado en ????(????????) que tiene como soluciones
Esto, a su vez, produce dos valores para la impedancia de Bloch
Como A=D en celdas unitaria simétricas, entonces
Las soluciones ±corresponden a ondas que viajan en las direcciones positiva y negativa, respectivamente. De la lámina 8 se tiene que B es siempre imaginario puro, y A es real
En la banda pasante coshγ????=????≤1de manera que ????????Es real, en tanto que en la banda de rechazo cosh????????=????≥1y la impedancia será imaginaria.
Estructuras periódicas terminadas
A continuación se considera el caso cuando la línea periódica se termina en una impedancia de carga (normalizada) ????????.
En este caso existirán ondas viajando en direcciones opuestas lo cual dará origen a una onda estacionaria. En la banda pasante podemos escribir que:
Las distancias se han limitado a ????=????????Ya que solamente estamos interesados en las cantidades en los terminales de las celdas unitarias. Los primeros sumandos del lado derecho representan los voltajes y corrientes incidentes en la celda, en tanto que los segundos sumandos representan las cantidades reflejadas.
Diagramas k-b:
Al estudiar las carácterísticas pasabanday de la banda de rechazo de una estructura periódica es conveniente graficar la constante de propagación, b, en función de la constante de propagación k de la línea no cargada. Este gráfico se llama diagrama k-bo diagrama de Brillouin. De hecho es un diagrama de dispersión y se utiliza también en guías de ondas y líneas de transmisión. Por ejemplo, en una guía de ondas se tiene
De acuerdo a esto se puede dibujar el diagrama k-bpara la guía como en la lámina siguiente
Velocidad de fase y velocidad de grupo
Método de los parámetros imágenes
Este método abarca la especificación de las carácterísticas pasabanday elimina banda de la cascada de redes sencillas de dos puertos y por ello está relacionado con las estructuras periódicas que acabamos de describir
Aunque el método es relativamente simple, tiene el inconveniente de no poder incorporar una respuesta de frecuencia arbitraria, cosa que si se puede lograr con otros métodos que estudiaremos luego.
Comenzaremos con la definición de las impedancias imagen y la función de transferencia de voltaje para una red de dos puertos recíproca arbitraria ya que estos parámetros son requeridos para el análisis y diseño de los filtros por el método de los parámetros imagen.
Se parte de una red de dos puertos especificada por sus parámetros ABCD.
Se definen las impedancias imagen de la siguiente manera
Zi1= impedancia de entrada en el puerto 1 cuando el puerto 2 se termina en la impedancia Zi2
Zi2= impedancia de entrada en el puerto 2 cuando el puerto 1 se termina en la impedancia Zi1
Por tanto, ambos puertos están acoplados cuando se terminan en sus impedancias imagen. Vamos a relacionar estas impedancias con los parámetros ABCD de la red.
Filtro de k-constante
Filtro m-derivado
Este filtro al igual que el de k-constante ya fueron estudiados en otro curso por lo que no será necesario repetir su deducción. De todas maneras los detalles se hallan en el texto. Basta mencionar que este diseño busca superar las limitaciones del filtro de k-constante haciendo una modificaciones (de allí su nombre) a dicho filtro.
Adicionalmente, se pueden construir filtros combinados k-constante y m-derivados para lograr una determinada respuesta deseada tanto en atenuación como en acoplamiento, como se muestra en el ejemplo 8.2 de la página 398
Diseño de filtros por el método de pérdidas de inserción
El filtro ideal debería tener cero pérdidas de inserción en la banda pasante, atenuación infinita en la banda de rechazo y respuesta de fase lineal. Obviamente, tal filtro no existe por lo que en la práctica deben hacerse algunos compromisos.
El método que acabamos de ver puede producir un filtro usable para algunas aplicaciones pero existe una metodología que permita una mejora continua del diseño. Por otra parte, el método de las pérdidas de inserción permite un gran control sobre las amplitudes en la banda pasante y en la banda de rechazo así como de las carácterísticas de fase a través de una manera sistemática de sintetizar la respuesta deseada.
Los compromisos necesarios se pueden evaluar para alcanzar los requerimientos de la aplicación.
Por ejemplo, si se deseara minimizar las pérdidas de inserción se puede utilizar un filtro binomial. Por otra parte, un filtro Chebyshev puede proporcionar un corte más agudo.
Y, como se menciónó anteriormente, este método permite una mejora continua simplemente incrementando el orden de los filtros. Dicho orden viene dado por el número de elementos reactivos presentes en el circuito.
Caracterización por medio de la relación de pérdidas de potencia
Algunos filtros prácticos
Filtros de fase lineal
El proceso de diseño
Las respuestas anteriores, denominadas prototipos pasa bajo, se hallan normalizadas en frecuencia e impedancia. Estas respuestas se escalan a los valores deseados de frecuencia e impedancia y los elementos de parámetros concentrados obtenidos se reemplazan por parámetros distribuidos para alcanzar la implementación deseada en microondas.
El procedimiento se puede sistematizar de manera que se pueden construir redes de un mayor orden en forma de escalera y los valores de los elementos se pueden precalculary poner en una tabla.
Prototipos pasa bajos de fase lineal
Finalmente, y partiendo del circuito simple de dos reactancias se puede hallar los valores de los componentes para satisfacer el requerimiento de fase lineal. El resultado se generaliza luego para la red escalera y los valores de los elementos del prototipo se listan en la tabla 8.5
Transformaciones de filtros
Una vez que hemos estudiados los prototipos pasabajos, debemos escalarlos para otros frecuencias e impedancias así como convertirlos para alcanzar carácterísticas de pasa altos, pasa banda o elimina banda. El procedimiento se ilustrará a través de ejemplos.