Movimiento Laminar Incompresible en Tubos de Sección Constante e Infinitamente Largos

En este documento, estudiaremos el movimiento de fluidos incompresibles en tubos de sección constante de ecuación C(y,z)=0, es decir, conductos de forma cilíndrica con sección transversal cualquiera que produce un movimiento totalmente unidireccional. Seguiremos suponiendo la viscosidad constante y consideraremos distintos tipos de sección.

Centrándonos en conductos de sección constante e infinitamente largos, obtuvimos en la lección anterior que para el movimiento unidireccional que se produce tiene por ecuaciones:

donde el gradiente de presión es:

y el caudal que atraviesa el conducto está dado por:

Para determinar la presión motriz en cada sección será necesario conocer su valor en una cualquiera, ya que las ecuaciones solo determinan su gradiente en función del caudal.

Para estimar los órdenes de magnitud de los distintos términos de la ecuación de cantidad de movimiento, se define:

• D = longitud característica transversal, por ejemplo, la raíz del área transversal.
• to = tiempo característico de variación del gradiente de presiones y, por tanto, de las condiciones del problema general.
• U = velocidad característica longitudinal.

El término de aceleración local será de orden ρU/to y el viscoso μU/D². La relación entre ambos será D²/νto, lo que permite analizar dos casos extremos:

Movimiento Dominado por la Inercia

D²/νto>>1: La variación tan rápida del gradiente de presiones hace que el término viscoso sea, en principio, despreciable frente al inercial, lo que reduce la ecuación a:

y el perfil de velocidad se obtiene de:

Resulta, por tanto, el perfil de velocidades en cada instante formado por el inicial más un incremento uniforme a toda la sección, según la aceleración uniforme ejercida por el gradiente de presión impuesto. El caudal será:

Si lo que estuviese fijado fuese Q(t), el gradiente de presiones necesario se obtendría entonces por derivación:

Pero este perfil de velocidades obtenido antes no cumple la condición de contorno de velocidad nula en la pared, pues se han despreciado las derivadas de mayor orden.

Existirá, por lo tanto, una capa límite cerca de la pared donde estos términos despreciados sí son importantes y el perfil se ajusta desde la solución anterior externa a la condición de contorno. El espesor de esta capa será de orden:

. El esfuerzo de fricción en la pared es, por tanto, del orden de:

Movimiento Dominado por la Viscosidad

D²/νto<<1: En este otro extremo, el término viscoso es dominante sobre el de aceleración local, por lo que el movimiento es casi estacionario. La ecuación diferencial se puede reducir a:

El tiempo actúa como un parámetro a través del gradiente de presiones, y el perfil de velocidades será u(y,z,t). Si esta solución no coincidiera en t=0 con la condición inicial uo(y, z), por haber prescindido de la derivada temporal, habría un tiempo inicial de transición en que sí tendrán importancia los términos inerciales. Este tiempo de adaptación a la solución casi-estacionaria sería del orden de:

Flujo de Hagen-Poiseuille en Conductos de Sección Circular

El planteamiento general del movimiento laminar para la condición estacionaria o casi-estacionaria se puede particularizar en una sección circular, que es la más habitual, y obtener el perfil de Hagen-Poiseuille y la correspondiente ecuación de caída de presión a lo largo del conducto. La ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas vr, vθ, vx es:

y, como la única componente no nula es vx, la ecuación de continuidad se reduce a:

Esta ecuación, junto con la condición de simetría de revolución, significa que el perfil de velocidades será, por tanto, vx = vx(r,t). La ecuación de cantidad de movimiento según el eje x se reduce en este caso a:

En el caso estacionario o casi estacionario D²/νto<<1, el primer término de la igualdad es cero y, tomando como dimensión característica transversal el radio y como variables adimensionales:

la ecuación queda:

Integrada esta ecuación con las condiciones de contorno, resulta un perfil de velocidad:

Este perfil de velocidad parabólico se conoce como perfil de Hagen-Poiseuille.

Se puede integrar el perfil, obteniendo el caudal a través del conducto, que es:

Donde Γ es un parámetro adimensional que depende de la forma de la sección y no del tamaño.

En el caso de la sección circular es:

La relación entre el caudal y la distribución de presiones será, por tanto:

Estabilidad de la Corriente Laminar y Transición a la Turbulencia

Todas las soluciones estudiadas en este capítulo describen un tipo de movimiento del fluido que se denomina laminar. Cuando el número de Reynolds es elevado, la estabilidad del movimiento se pierde y se produce un tipo de movimiento muy diferente que denominamos turbulento. En el flujo laminar, las variables fluidas toman un valor en cada posición y tiempo de forma determinista, y existen como tales hasta valores altos del número de Reynolds, del orden de 2200 en un conducto circular. Por encima de este valor, se pierde la estabilidad de la solución obtenida y el tipo de movimiento cambia a uno nuevo denominado turbulento, con características aleatorias y de irregularidad, y donde deja de ser válido todo lo anterior.

El valor de Reynolds de transición o crítico no es fijo, sino que depende de la rugosidad y otras perturbaciones en el tubo. Incluso con especial cuidado, se puede llegar hasta Reynolds de 20.000 sin producirse la citada transición. Hay dificultades para definir con precisión el concepto de turbulencia. Es más fácil reconocerla por sus propiedades. Si un flujo las presenta, diremos que es turbulento, y si carece de alguna de ellas, no lo será.

Cuando este número supera el rango 2000-2500, el comportamiento del flujo en el interior del tubo cambia de forma radical. La caída de presión se hace muy superior y, en vez de variar linealmente con la velocidad media, lo hace de forma aproximadamente cuadrática. La identidad de un hilo de tinta que se inyecte en el tubo desaparece de modo inmediato por un intenso mezclado con el resto del fluido, lo que en régimen laminar no ocurre. Se ha dado un rango y no un valor exacto del número de Reynolds porque el valor exacto en que se produce la transición de flujo laminar a turbulento depende de otros factores, como son la entrada al conducto, la rugosidad de este y, en general, de las perturbaciones que el flujo pueda traer consigo desde aguas arriba.

Pero este cambio en el régimen del flujo no es solo apreciable en flujos internos, sino también en externos. Así, el movimiento alrededor de un cilindro se va modificando a medida que el número de Reynolds aumenta. La primera diferencia es que las partículas fluidas siguen trayectorias aleatorias e irregulares. Las ecuaciones generales siguen siendo válidas, pero es imposible describir el movimiento de cada partícula. Es preciso utilizar técnicas estadísticas de promediado, además de otros razonamientos. El flujo turbulento se abordará en la asignatura de Mecánica de Fluidos Aplicada.