Fórmulas y Conceptos Esenciales de Matemáticas

Geometría

Poliedros

Cálculo del número de aristas (A)

A = Fn / 2

Ejemplo: Determinar el número de aristas de un poliedro con 3 caras cuadrangulares, 2 caras pentagonales y 4 caras triangulares.

A = (3 * 4 + 2 * 5 + 4 * 3) / 2 = 17

Teorema de Euler

V + F = A + 2

Donde:

• V: Número de vértices
• F: Número de caras
• A: Número de aristas

Área y Volumen de una Esfera

• Área (A): A = 4πR²
• Volumen (V): V = (4/3)πR³

Volumen de una Pirámide y un Cono

V = (A_base * h) / 3

Donde:

• A_base: Área de la base
• h: Altura

Apótemas de Polígonos Regulares

• Triángulo equilátero: m = a√3 / 6
• Cuadrado: m = a / 2
• Hexágono regular: m = a√3 / 2

Donde:

• m: Apotema
• a: Lado del polígono

Tetraedro Regular

• Altura (h): h = a√6 / 3
• Área total (A_T): A_T = a²√3

Álgebra

Distancia entre dos puntos (D_AB)

D_AB = √((x_a – x_b)² + (y_a – y_b)²)

Área de un Triángulo

A_t = |D| / 2

Donde D es el determinante de la matriz formada por las coordenadas de los vértices del triángulo.

Rectas Paralelas y Perpendiculares

• Paralelas: m₁ = m₂
• Perpendiculares: m₁ = -1 / m₂

Donde m es la pendiente de la recta.

Distancia de un Punto a una Recta

d_P,R = |ax + by + c| / √(a² + b²)

Ecuación de la Circunferencia

Ejemplo: Circunferencia con centro (2, 1) y radio 5.

Se puede usar la ecuación general:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Donde:

• D = -2a
• E = -2b
• F = a² + b² – r²

Sustituir los valores y resolver el sistema de ecuaciones para encontrar los coeficientes D, E y F.

Pendiente de una Recta

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

También se puede expresar como:

m = tg(α)

Donde α es el ángulo que forma la recta con el eje x.

Ángulo entre dos Rectas

tg(β) = |(m₂ – m₁) / (1 + m₂ * m₁)|

Si una de las rectas es vertical, entonces:

tg(β) = 1 / |m₁|

Números Complejos

Forma general: Z = a + bi

Conjugado: Z’ = a – bi

División: (x + 2y) / (3 + xi) se multiplica y divide por el conjugado del denominador.

Potencias de i:

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i

Y se repite el ciclo.

Forma trigonométrica: Z = ρ(cos(θ) + isen(θ))

Donde:

• ρ = √(a² + b²)
• sen(θ) = b / ρ
• cos(θ) = a / ρ

Importante: Considerar el cuadrante en el que se encuentra el número complejo para determinar el ángulo θ correcto.

x representa la parte real, y representa la parte imaginaria.