Vectores y Derivadas

Producto Escalar

• A · B = (AxBx) + (AyBy) + (AzBz)
• A · B = |A| · |B| · cos(ÁNGULO)

Componentes de un Vector

• Ax = |A| · cos(ÁNGULO)
• Ay = |A| · sen(ÁNGULO)

Producto Vectorial

• |A x B| = |A| · |B| · sen(ÁNGULO)

Coordenadas

• Cartesianas a Polares:
  • r = √(X² + Y²)
  • tan(ÁNGULO) = Y/X
  • ÁNGULO = arctan(Y/X)
• Polares a Cartesianas:
  • X = r · cos(ÁNGULO)
  • Y = r · sen(ÁNGULO)

Derivadas

• (df(x)/dx)_xp = lim_Δx→0 (f(xp + Δx) – f(xp)) / Δx
• Pendiente: m = (df(x)/dx)
• Ecuación Tangente en P: y(x) = f(xp) + m(x – xp)

Dinámica y Leyes de Newton

Ley de Hooke

• F = -k · x

Fuerza

• F = m · a

Ecuación del Movimiento de un Muelle

• a = -(k/m) · x
• ω = √(k/m)
• x(t) = x · cos(√(k/m) · t)

Periodo

• T = 2π√(m/k)

Fuerza de Rozamiento

• F = μ_e · m · g

Fuerza de Rozamiento Cinético

• F = μ_c · m · g

Fuerza Elástica del Muelle

• F_el = k · d

Fuerza entre el Plano y el Objeto

• F_r = -mg · cos(ÁNGULO) · μ_e

Fuerza Peso

• F_g = -mg(sen(ÁNGULO) + cos(ÁNGULO))

Fuerza Normal

• F_n = mg · cos(ÁNGULO)

Elongación

• d = (mg/k) · (sen(ÁNGULO) + cos(ÁNGULO) · μ_e)

Fuerza de Arrastre

• |F_a| = b|v|²

Centro de Masas

• x = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂)
• r = Σ(m_i · r_i) / Σm_i
• v = Σ(m_i · v_i) / Σm_i
• a = Σ(m_i · a_i) / Σm_i

Densidad Lineal (λ)

• λ = m/l

Cinemática

Velocidad Media

• V = (r₂ – r₁) / Δt

Velocidad Instantánea

• V(t) = dr(t)/dt

Aceleración Media

• A_m = (v₂ – v₁) / Δt

Aceleración Instantánea

• a(t) = dv(t)/dt

Movimiento en el Campo Gravitatorio

• a_x = 0
• a_y = -g
• v_0x = |v₀| · cos(ÁNGULO)
• v_0y = |v₀| · sen(ÁNGULO)

Velocidad

• v(t) = |v₀| · cos(ÁNGULO)i + (|v₀| · sen(ÁNGULO) – gt)j

Posición

• r(t) = |v₀| · cos(ÁNGULO) · ti + (|v₀| · sen(ÁNGULO) · t – ½gt²)j

Ecuación de la Trayectoria

• y(x) = tan(ÁNGULO)x – (g / (2|v₀|² · cos²(ÁNGULO))) · x²

Movimiento Circular Uniforme

• |a| = |v|² / |r|

Periodo

• T = 2π/ω

Frecuencia

• f = ω/2π

Velocidad Angular

• ω = 2π/T

Relación entre Velocidad Lineal y Angular

• |v| = 2π|r|/T = ω|r|

Movimiento Armónico Simple

• x(t) = R · cos(ÁNGULO(t)) = R · cos(ωt + ÁNGULO(t=0))
• y(t) = R · sen(ÁNGULO(t)) = R · sen(ωt + ÁNGULO(t=0))

Proyección en el Eje X

• x(t) = R · cos(ωt)
• v(t) = -ωR · sen(ωt)
• a(t) = -ω²R · cos(ωt)

Aceleración Dependiente de la Posición

• a = -ω²x

Ecuación de Ondas

• x(t) = A₁ · cos(ωt + φ₁) + A₂ · sen(ωt + φ₂)

Trabajo y Energía

Fuerza Constante

• W = F · (r₂ – r₁)

Fuerza Perpendicular al Desplazamiento

• W = |F| · |r₂ – r₁| · cos(π/2) = 0

Energía Cinética

• E_c = ½mv²

Energía Potencial

• E_p = ½k(x₂² – x₁²)
• U(x) = ½kx²

Energía Potencial Gravitatoria

• U(x) = U₀ + mgh

Energía Potencial Elástica

• U(x) = U₀ + ½kx

Fuerza y Energía Potencial

• F = -dU/dx

Cantidad de Movimiento Lineal

• p = mv

Gravitación Universal

Fuerza de Gravitación Universal

• F = -G(m_Am_B/|r|²) · r

Atracción Gravitatoria

• a_B = F/m_B
• a_B = -G(m_A/|r|²) · r

Fuerza de Atracción de la Tierra

• F = -G(M_tm/R²) · r

Aceleración de la Gravedad en la Superficie Terrestre

• g(R_t) = F/m = -G(M_t/R²) · r

Gravedad a una Altura h

• g(h + R_t) = -G(M_tm/(R_t + h)²) · r

Masa

• M = (4/3)πr³ρ_t

Masa Terrestre

• M_t = (4/3)πR³ρ_t

Fuerza de Atracción Terrestre sobre m

• F(r) = -G(Mm/r²) · r

Gravedad en un Punto

• g(r) = -G(M/r²) · r

Velocidad de Escape

• V_esc = √(2GM_t/R_t) = 11.19 km/s

Intensidad del Campo Gravitatorio

• E(r) = -G(M/r²) · r

Potencial Gravitatorio

• V(r) = -G(M/|r|)

Velocidad Lineal de un Satélite

• v = 2πR/T

Periodo de un Satélite

• T² = (4π²/GM) · R³

Sólido Rígido

Velocidad Lineal

• v = ωr

Aceleración Tangencial

• a_T = αr

Aceleración Centrípeta

• a_c = v²/r = rω²

Momento de Inercia

• I = Σmr²

Energía Cinética de Rotación

• E_c = ½Iω²

Teorema de Steiner

• I = I_cm + Mh²

Momento de la Fuerza

• M = r x F
• |M| = |r| · |F| · sen(ÁNGULO)

Momento sobre cada Partícula

• M = 2rFk = mr²α

Momento Total sobre todas las Partículas

• M_total = Iα

Momento Angular

• L = r x p = m(r x v)

Momento Angular respecto al Centro de Giro

• L = mrvk

Teorema de Conservación del Momento Angular

• dL/dt = M

Fluidos

Densidad Media

• ρ = m/V

Densidad

• ρ = dm/dV

Presión Media

• P = F/A

Presión

• P = dF/dA

Presión Ejercida por un Fluido

• P = -mg = (ρAh)g

Condición de Equilibrio

• |F| – |F₀| – (ρAh)g = 0

Presión Hidrostática

• ΔP = P – P₀ = gρh

Empuje

• E = ρgV

Peso Aparente

• P_ap = P – ρgV
• P_ap = P – E = -(ρ_s – ρ_f)gV

Empuje (Volumen Sumergido)

• E = ρgV_sum

Ecuación de Equilibrio Sólido (Volumen Sumergible)

• P = E
• ρ_sVg = ρ_fV_sumg

Principio de Conservación de la Energía

• E_t = E_c(v) + U(h) + W = constante

Trabajo

• W = m(V_a – V_b)

Ecuación de Bernoulli (Conducción del Flujo)

• ρgh + ½ρv² + P = constante

Aplicación del Punto Anterior

• P₁ = P₂
• F₁/A₁ = F₂/A₂

Ecuación de Bernoulli para Líquido a Altura

• ½ρv² + P = constante

Pérdida de Presión entre Dos Puntos

• ΔP = P₁ – P₂ = vSR

Resistencia al Movimiento

• R = resistencia al movimiento
• R = (8/π)(L/r⁴) · η

Pérdida de Presión para Superficie de Sección Circular

• ΔP = 8(L/r²)vη

Conducción de Sección Circular

• N_r = 2rv(ρ/η)