1.a) Transformación frecuencial en función del factor Q

Escriba la transformación frecuencial en función del factor Q para la frecuencia de resonancia de un resonador con pérdidas.

El factor de calidad Q se define como el cociente de la energía promedio almacenada entre la pérdida de energía por ciclo:

Wm + We= energía promedio almacenada; Pperd = energía perdida/segundo

Si bien en este circuito la pérdida de energía está relacionada con la resistencia serie R, cualquier red externa conectada al circuito producirá pérdidas adicionales lo cual producirá una disminución de la Q.

El factor de calidad debido única y exclusivamente a los componentes del resonador sin efectos se denomina Q0. En la condición de resonancia del circuito serie mostrado se tiene que:

Interesa conocer el comportamiento del circuito en el entorno de la frecuencia de resonancia, es decir consideremos una variación pequeña alrededor de dicha frecuencia.    es pequeña

El numerador vale  de manera que

1.b) Representación de nuevas frecuencias en el plano de raíces

Utilizando la notación anterior represente estas nuevas frecuencias en el plano de raíces.

Otra forma de interpretar esta expresión es considerar a un resonador con pérdidas como uno sin pérdidas pero cuya frecuencia de resonancia  ha sido reemplazada por una frecuencia de resonancia compleja efectiva. Esto a su vez permite representar la en el plano complejo de raíces, s,  o root locus.

1.c) Graficar la función de transferencia en amplitud

Utilizando la representación del punto 1.2 grafique la función de transferencia (en amplitud) tanto para un cero como para un polo, para varios valores Q. Relacione el ancho de banda con el factor Q a partir de las gráficas obtenidas.

Considerando  entonces la potencia real promedio entregada al circuito será la mitad que en resonancia. Si BW es el ancho de banda fraccional, entonces   en el borde superior de la banda (el negativo de este valor en la inferior). Entonces,

Y obtenemos      

2.a) Frecuencia de resonancia y ancho de banda en línea de transmisión

Halle una expresión para la frecuencia de resonancia y el ancho de banda de una línea de transmisión con pérdidas y longitud lambda cuartos, asumiendo pérdidas pequeñas. En función halle el circuito equivalente y la magnitud de los componentes reactivos. Transformador lambda cuarto

Un transformador lambda cuarto en corto se comporta de la misma manera que un circuito resonante paralelo

De esta manera:                 

De igual manera que en el caso serie,       (1)

 Sabemos que en un circuito resonante en serie la frecuencia de resonancia es igual a:  

Y también se sabe que el ancho de banda es    

Sustituyendo en la ecuación 1 se tiene que para este circuito equivalente  

3. a) Frecuencia de resonancia en guía de ondas rectangular

Utilizando un método perturbacional halle la frecuencia de resonancia de una guía de ondas rectangular de dimensiones transversales a y b, terminada en cortocircuitos separados a una distancia L. Acompañe su deducción con los gráficos necesarios.

En una guía rectangular con propagación a lo largo del eje de las z’s el campo eléctrico para cualquier modo (sea TE o TM) se puede escribir como

En estas expresiones  (????,????) es la variación transversal del modo y las ????+ y ????- son amplitudes arbitrarias de las ondas viajeras. La constante de propagación para cualquier modo en la guía rectangular vale

A continuación se aplica la condición de frontera de que el campo transversal sea cero en los cortocircuitos, es decir, en z=0 y z=d. La primera de ellas produce ????+ = -????- en tanto que la segunda produce

La solución no trivial es ???????????????? = ???????? para ???? = 1,2,3 …es decir que la longitud de la cavidad es un múltiplo entero de medias longitudes de onda. Por tanto se puede escribir un número de onda en función de las tres dimensiones de la guía como

    La frecuencia de resonancia del modo  o del modo  viene dada por

3.b) Factor de calidad para el modo dominante en guía de ondas rectangular

Para la geometría de la parte (a) halle el factor de calidad para el modo dominante. Muestre todos los pasos.

Sustituyendo la condición  en la expresión de los campos para el modo TE10l se tiene:

Simplificando

Para hallar el factor de calidad en vacío deberán halarse las energías almacenadas en los campos eléctrico y magnético así como las pérdidas en las paredes conductoras y en el dieléctrico.

Las energías almacenadas se hallan calculando las integrales de volumen

La cantidad en paréntesis se simplifica a

Lo cual demuestra que en resonancia las energías almacenadas son iguales.

Para pérdidas pequeñas podemos aplicar el método perturbacional para hallar la potencia disipada en las paredes. El resultado es:

Donde como siempre  es la resistividad superficial de las paredes metálicas y Ht es el campo magnético tangencial en las paredes. El resultado final es:

El valor de Q en vacío considerando solamente las pérdidas en las paredes vale:

A continuación se calculan las pérdidas en el dieléctrico.

La Q de una cavidad de paredes conductoras perfectas pero con pérdidas dieléctricas es

La Q total se halla sumando ambas pérdidas por lo que

4.a) Coeficiente de reflexión en función de coeficientes parciales

Halle una expresión para el coeficiente de reflexión l en función de los coeficientes de reflexión parciales L1 y L3

Los coeficientes de reflexión parciales obtenidos a partir del dibujo anterior son:

Por teoría sabemos que el coeficiente de reflexión total se halla como una suma infinita de las reflexiones parciales

Por ser una suma geométrica el coeficiente de reflexión se puede expresar como:

Reemplazando los valores de los coeficientes de transmisión se obtiene

4.b) Aproximación para discontinuidad pequeña

Si la discontinuidad en cada puerto es pequeña entonces el producto   

   por lo que se puede aproximar a

4.c) Expresión para L en red de N secciones

A partir de esto halle una expresión para L para una red constituida por N secciones. Muestre todos los pasos intermedios.

Para transformadores multisección los coeficientes de reflexión parciales valen:

Asumiendo que todas las Zn se incrementan o decrementan monótona y que ZL es real. El coeficiente de reflexión del conjunto es:

GRÁFICAS 1 C

CERO

POLO