Funciones como Vectores
Las funciones pueden considerarse como vectores en un espacio vectorial, con los valores de la función en diferentes puntos de coordenadas o los coeficientes de expansión de la función en una base siendo los componentes del vector a lo largo de los ejes de coordenadas en el espacio correspondiente.
Hermitiano Adjunto
El adjunto hermitiano, de un vector o una matriz, es el complejo conjugado de la transpuesta del vector o matriz. La hermitiana adjunta de la matriz A se escribe como †.
Dirac Bra-Ket Notación
│f› Llamado «ket», es el vector en de la función en el espacio que representa la función f. El hermitiano adjunto de ese vector es «bra», ‹f│.
Producto Interno
El producto interno en el espacio en función de dos funciones f y g es el producto vectorial f×g, que es en general un número complejo, y tenemos: = ∫f*g dV. El producto interno de un vector por sí mismo da el cuadrado de su longitud, y siempre resulta una cantidad real. El producto interior es lineal en las sumas de funciones y multiplicando funciones por constantes.
Vectores de Estado
Cuando una función f representa el estado de la mecánica cuántica de un sistema, el vector F es conocido como el vector de estado del sistema.
Vector (o Función) de Espacio
Un espacio vectorial o de la función es un espacio matemático en el cual están los vectores que representan las funciones existentes.
Espacio de Hilbert
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial con un producto interno. Es muy similar a un espacio geométrico convencional de tres dimensiones, con dos diferencias importantes: (i) la el espacio puede tener cualquier número de dimensiones, incluyendo un número infinito, y, (ii) debido a que los coeficientes pueden ser complejos en el espacio de Hilbert, el producto interno es en general complejo. Se trata de un espacio vectorial adecuado para representar los vectores que son lineales en la adición y en la multiplicación por una constante.
Los Operadores
Un operador es una entidad que cambia de una función a otra, con el valor de la nueva función en cualquier momento, dependiendo de los valores de la función original sobre cualquiera de los valores de su argumento o argumentos. Operadores lineales son lineales, tanto en la adición de funciones como en la multiplicación por una constante. Operadores lineales pueden ser representados por matrices que pueden operar sobre los vectores en función de espacio, y que obedecen a las mismas matrices de álgebra.
Elementos de la Representación de la Matriz de un Operador
Para una matriz que representa a un operador lineal en el espacio de Hilbert, los elementos de la matriz son representados en la base ψn como: Aij = <ψi|A|ψj>.
Rastro de un Operador
El rastro de un operador A, Escrito como tr(A), es la suma de los elementos de la diagonal de un operador. Es independiente de la base sobre la que se expresa el operador.
Operadores Unitarios que Cambiar el Vector de Estado
Operadores unitarios que representan los procesos físicos, pueden cambiar el vector de estado del sistema de la mecánica cuántica, y son útiles en la representación de los procesos de la mecánica cuántica, como la evolución con el tiempo del estado de una partícula, en el que la partícula se conserva (y por lo tanto, en el que la longitud de el vector de estado es constante).
Degeneración
Si hay múltiples funciones propias que corresponden a un valor propio particular, esta múltiples se llama «la degeneración».condición es conoce como «degeneración», con el número de tales funciones propias
Propiedades de los Operadores de Hermite
Para los operadores de Hermite nos encontramos dentro de la mecánica cuántica
1. Los valores propios son reales. 2. Las funciones propias que corresponden a funciones propias diferentes son ortogonales 3. La degeneración de los valores propios finitos dados es finita. 4. El conjunto de funciones propias de un operador hermítico es completo 5. Los elementos diagonales son reales.
para funciones arbitrarias F y g , Tenemos, por un operador hermítico M ˚
Las Condiciones de Frontera Periódicas
Un conjunto de condiciones de contorno usadas en mecánica cuántica por conveniencia matemática, son las condiciones de frontera periódicas para una caja de longitud L , en la que la función debe ser la misma en un punto z=L, ya que están en el punto z=0. A menudo se utilizan cuando las funciones de interés son exponenciales de la onda plana, en cuyo caso se implica: exp (ikz) = exp [ik(z + L)] lo que conduce a la condición de: k= 2mπ/L, y una densidad de estados: g=L/2π, Estas condiciones de contorno, aunque a menudo no del todo correctas físicamente, permiten que se usen funciones exponenciales, en lugar de senos o cosenos, al considerar las cajas de tamaño finito, y puede permitir que las matemáticas más simples sean el resultado.
Posición de las Eigenfunciones
Las funciones propias de la posición z son las funciones delta δ(z–Z0) para cada posible valor de z0. Estas funciones propias se normalizan a una función delta.
Expansión en Funciones Propias Posición
Una de las funciones ɸ(z) de posición, esta en su propio conjunto de coeficientes de expansión en la expansión de las funciones propias.
Los Operadores de los Desplazamientos y las Funciones Propias
Los operadores que comparten a la vez el mismo conjunto de funciones propias, y los operadores que comparten a la vez el mismo conjunto de funciones propias.