Conceptos Fundamentales de Funciones

Definiciones Clave

Funciones (f:D–>C / X–>y=f(x)): Para todo x ∈ D, ∃! y ∈ C ⊂ ℝ tal que y=f(x).

• Dominio (D): Conjunto sobre el cual está definida la función: f:D⊂ℝ–> C⊂ℝ.
• Imagen (f(D)): Subconjunto de números reales denotado f(D), formado por todos los números reales que son imágenes por f de los elementos del dominio D. f: D⊂ℝ–>ℝ, f(D)={y ∈ ℝ / ∃ x ∈ D tal que y = f(x)}.
• Gráfica: f: D⊂ℝ–>ℝ, (x,f(x)) con x ∈ D se representa gráficamente como puntos con f(x) ∈ f(D).
• Grafo: Conjunto de todos los pares ordenados (x,f(x)). Grf= {(x,y)∈ ℝ² / y=f(x)}

*El sistema de referencia es ortogonal si los ejes son perpendiculares. Es ortonormal si los ejes son perpendiculares y los vectores unitarios de cada eje tienen la misma longitud.*

Álgebra de Funciones Reales

f(ℝ) = conjunto de todas las funciones definidas en ℝ a ℝ.

Propiedades:

• Suma de funciones: f:ℝ–> ℝ con x–>f(x), g: ℝ–>ℝ con x–>g(x), f+g: ℝ–>ℝ / x–>(f+g)(x)=f(x)+g(x)
• Producto: f:ℝ–> ℝ con x–>f(x), g: ℝ–>ℝ con x–>g(x), f.g: ℝ–>ℝ / x–>(f.g)(x)=f(x).g(x)
• Composición: f:ℝ–> ℝ, g: ℝ–>ℝ, f ∘ g: ℝ–>ℝ / X–>(f ∘ g) (x)= f[g(x)]
• Producto escalar por una función: f:ℝ–>ℝ con x–>f(x), λ.f:ℝ–>ℝ con x–>(λ.f)(x) = λ.f(x).

Propiedades de las Funciones

• Inyectividad: f:D–>C. Para todo x, x’∈ D, x≠x’ –> f(x)≠f(x’).
• Sobreyectividad: f:D–>C. Para todo y ∈ C, ∃ x ∈ D, y=f(x).
• Biyectividad: Si es inyectiva y sobreyectiva.
• Función identidad: i: ℝ–>ℝ / X–>i(x)=x.
• Función inversa: La composición de una función con su inversa resulta en la función identidad. f ∘ f^-1 = i (identidad sobre D_f^-1), f^-1 ∘ f= i (identidad sobre D_f).

Monotonía de una Función

Sea f definida para todo x ∈ D.

• Si para todo x₁ ∈ I y x₂ ∈ I (I ⊂ D), x₁< x₂ –> f(x₁) ≤ f(x₂): f es creciente sobre I.
• Si para todo x₁ ∈ J y x₂ ∈ J (J⊂D), x₁ < x₂ –> f(x₁) ≥ f(x₂): f es decreciente sobre J.
• Para todo x₁ ∈ K y x₂ ∈ K (K⊂D) –> f(x₁) = f(x₂): f es constante sobre K.

Ejemplos:

• La función lineal x–> ax es creciente sobre ℝ si a > 0 y decreciente si a < 0.
• La función afín x–>ax+b es creciente sobre ℝ si a>0 y decreciente si a<0.
• La función x–> 1/x es decreciente sobre ℝ^*- y ℝ^*+.
• La función x–> sen(x) es creciente en [0,π/2] y decreciente en [π/2,π].

Paridad y Periodicidad

Sea f definida para todo x ∈ E (E⊂ℝ).

• Si para todo x ∈ E, f(-x)=f(x): f es par.
• Si para todo x ∈ E, f(-x) = -f(x): f es impar.
• Si ∃ t ∈ ℝ tal que para todo x ∈ E, f(x+t)= f(x): f es t-periódica.

Propiedades de la gráfica:

• Si f es par, el eje Oy es eje de simetría de la gráfica.
• Si f es impar, el origen O es centro de simetría de la gráfica.
• Si f es t-periódica, y (x, f(x)) es un punto de la gráfica, entonces el punto (x+t, f(x)) también lo es, pues f(x+t)= f(x).

Funciones Acotadas

• f:D–>ℝ está acotada superiormente si existe una constante M tal que para todo x ∈ D, f(x) ≤ M. [M=sup f(D)].
• f:D–>ℝ está acotada inferiormente si existe una constante m tal que para todo x ∈ D, f(x) ≥ m. [m=inf f(D)].

Funciones Especiales

• Funciones sinusoidales: f(x)= a . sen(bx+c) o g(x)=a.cos(bx+c); con a, b y c números reales, con a y b ≠ 0.
• Función exponencial: Biyectiva y continua en todo su dominio. Exp_a: ℝ–>ℝ^*+; x–>y=a^x= Exp_a(x), a>0 y a≠1. Si a > 1 es creciente, si 0 < a < 1 es decreciente.
• Función logarítmica: Aplicación con dominio en el conjunto de todos los reales estrictamente positivos. Es biyectiva. Log_a: ℝ^*+–>ℝ / x–> y= Log_a(x) ↔ x=a^y.

Entorno, Máximos y Mínimos

• Entorno: Se llama entorno abierto centrado en X₀ ∈ ℝ a todo intervalo abierto de la forma: ]X₀-r; X₀+r[, donde r es el radio y es un número real estrictamente positivo (r>0). Su longitud es igual al doble del radio. U(X₀,r)= ]X₀-r; X₀+r[ = {x ∈ ℝ / X₀-r < x < X₀+r}.
• Máximo y mínimo local: La función f:D⊂ℝ–>ℝ, tiene en el punto X₀ un máximo local (X₀,f(X₀)) si existe un entorno U(X₀) ⊂ D, tal que f(x) ≤ f(X₀) para todo x ∈ U(X₀). Para un mínimo local: f(x) ≥ f(X₀) para todo x ∈ U(X₀).

Condiciones de existencia de extremos locales:

• Condición necesaria: Sea f una función con D abierto, derivable en el punto X₀, entonces f'(X₀)=0.
• Condición suficiente: Sea f una función dos veces derivable en un punto “a” del dominio: Si f'(a)=0 y f»(a)<0, entonces f tiene un máximo local en x=a. Si f'(a)=0 y f»(a)>0, entonces f tiene un mínimo local en x=a.

Análisis Completo de una Función

1. Dominio: Determinar el campo de existencia de la función y los valores que lo anulan.
2. Paridad/Periodicidad: Verificar si la función es par (f(-x)=f(x)), impar (f(-x)= -f(x)), o periódica (f(x)= f(x+t)).
3. Ceros y ordenada al origen: Hallar los ceros de la función (f(x)=0) y su ordenada al origen (x=0).
4. Asíntotas: Calcular las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas estudiando los límites en +∞ y -∞.
5. Monotonía y extremos: Analizar, a través de la derivada, los máximos y mínimos relativos y absolutos (si existen). Hallar los puntos de inflexión.
6. Concavidad: Determinar el comportamiento cóncavo (hacia arriba o hacia abajo) de la función.
7. Gráfico: Representar la función utilizando el grafo.

Derivadas y Diferenciabilidad

Definición de Derivada en X₀

Si M y M₀ son puntos de coordenadas X₀ y X₀+h, el vector (1, B) tiene como pendiente B= [f(X₀+h)-f(X₀)]/h. Si x–>f(x) es derivable en X₀, entonces B tiene por límite la derivada f'(X₀) cuando h–>0. La recta D tiene por límite a T.

Expresión de Diferenciabilidad

f(X₀+h)=f(X₀) + a.h + ɛ(h).h, con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0.

Si f es derivable, entonces es diferenciable: Sea f:D⊂ℝ–>ℝ y X₀ ∈ D. Se dice que f es diferenciable en X₀ si existe una función h–>ɛ(h) definida en un entorno de cero y un número real “a”, independiente de h, tal que: f(X₀+h)= f(X₀) + a.h + ɛ(h).h con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0.

Desarrollo:

f(X₀+h) = f(X₀) + a.h + ɛ.h.h con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0

f(X₀+h) – f(X₀)= f(X₀) – f(X₀) + a.h + ɛ(h).h con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0

f(X₀+h) – f(X₀)= a.h + ɛ.h.h con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0

[f(X₀+h) – f(X₀)]/h = a.h/h + ɛ(h).h con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0

[f(X₀+h) – f(X₀)]/h = a + ɛ(0).0 –> [f(X₀+h) – f(X₀)]/h= a con lim ɛ(h) = 0 cuando h–>0

Ecuación de la Recta que Pasa por un Punto

m₀(vct)+P₀p(vct) = m(vct) con P₀p(vct)= λ.V(vct) y λ ∈ ℝ.

Desarrollo:

m = m₀ + λv(vct) (Ecuación vectorial)

(x,y)=(X₀,Y₀) +λ(α,β) –> (x,y)=(X₀,Y₀) +(λα, λβ) –> (x,y)=(X₀+αλ, Y₀+βλ)

x= X₀+αλ / y=Y₀+βλ (Ecuaciones paramétricas)

λ= (X-X₀)/α, λ=(Y-Y₀)/β –> (X-X₀)/α=(Y-Y₀)/β (Ecuación cartesiana) –> (Y-Y₀)/α=(X-X₀)/β –> (Y-Y₀)=β.((X-X₀)/α)

Y-Y₀= (β/α)(X-X₀) –> Y-Y₀+ Y₀= (β/α)(X-X₀)+Y₀

Y=(β/α)(X-X₀) + Y₀

Y=(β/α).X – (β/α)X₀+ Y₀ (donde β/α es k y –(β/α)X₀+Y₀ es b)

Asíntotas

Sea f:ℝ–>ℝ con x–> f(x) y la ecuación de la recta y= kx+b. Decimos que hay una asíntota en la gráfica si y solo si lim_x–>∞[f(x) – y]=0, es decir: lim_x–>∞[f(x) – (kx+b)]=0.

De esta ecuación podemos obtener la pendiente (k) y la ordenada al origen (b):

• Pendiente (k): lim_x–>∞[f(x) – (kx+b)] = lim_x–>∞[f(x)- kx – b] = lim_x–>∞ f(x) – lim_x–>∞ kx – lim_x–>∞ b = lim_x–>∞ f(x)/x – k.lim_x–>∞ x/x – lim_x–>∞ b/x

Cálculo auxiliar: k.lim_x–>∞ x/x = k.1, lim_x–>∞ b/x = b/∞ = 0

lim_x–>∞ f(x)/x – k.1 – 0= 0 –> lim_x–>∞ f(x)/x – k=0 –> k= lim_x–>∞ f(x)/x -k +k –> k= lim_x–>∞ f(x)/x

• Ordenada al origen (b): lim_x–>∞[f(x) – y]= 0 –> lim_x–>∞[f(x) –(kx+b)]= 0 –> lim_x–>∞[f(x) –kx – b]= 0 –> lim_x–>∞ f(x) – kx + b = 0 –> lim_x–>∞ f(x) – kx = -b –> b= lim_x–>∞ [f(x) – kx]