Funciones Reales de Variable Real
Una función real de variable real es una aplicación f : A ⊂ R → R en la que a cada número real, x, del conjunto A, le corresponde un único número real y, lo que simbolizamos por y = f(x). El conjunto A se denomina dominio de la función, y se define como el subconjunto de los números reales en el que es posible calcular la función. En Funciones de Varias Variables el dominio es A, es decir, el conjunto de puntos de Rn en los que es posible evaluar la función. Llamaremos imagen de la función f al conjunto de números reales que tienen correspondencia con algún elemento del dominio. La variable de la función se simboliza por x. Los valores para la variable siempre deben pertenecer al dominio de la función, por lo que siempre serán números reales. El número real «y», que cumple y = f(x), se denomina imagen de x por la función f.
Cálculo del Dominio
- Las funciones polinómicas, exponenciales, seno y coseno están definidas para todos los números reales.
- La suma, diferencia, producto y composición de funciones polinómicas, exponenciales, seno y coseno tienen como dominio el conjunto de todos los números reales.
- Al calcular el cociente de dos funciones, deberemos tener en cuenta que los puntos que anulan el denominador nunca pueden formar parte del dominio, ya que la división por 0 no es posible realizarla.
- Para poder calcular una raíz cuadrada (o radical par) es preciso que la expresión de la que queremos calcular la raíz sea mayor o igual que 0, ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe.
- Para calcular un logaritmo en cualquier base, la expresión de la que queremos calcular el logaritmo tiene que ser estrictamente mayor que 0, ya que el logaritmo del número 0 o el de un número negativo, no existe.
- Si en una misma función aparecen simultáneamente varias de las anteriores situaciones, el dominio de la función es la intersección de los dominios de las funciones que la forman.
Tangente y Curvas de Nivel
Tangente: y = f(a) + f'(a)(x – a)
Curva de nivel: La curva de nivel k de la función f, la representamos por Ck(f) y se define por Ck(f) = {(x1,…,xn) ∈ A | f(x1,…,xn) = k}.
Propiedades de las Curvas de Nivel
- Para dos valores distintos k y k’, se cumple Ck(f) ∩ Ck’(f) = ∅. Es decir, dos curvas de nivel distintas, no pueden tener puntos en común.
- Puede suceder que para algunos valores k ∈ R, se cumpla Ck(f) = ∅.
Ejemplo: Si la curva de nivel con función f(x,y) = x2 + y2 vienen dadas por las ecuaciones de la forma x2 + y2 = k, que corresponden a circunferencias con centro en (0,0) y radio √k para valores k > 0. Si k = 0 la curva de nivel se reduce al punto (0, 0).
f(x,y) = x·y es una hipérbola, donde k tiene como ecuación x · y = k.
Derivadas Parciales y Direccionales
Recordemos que la derivada de una función real de una variable real f en un punto a se define a partir del límite del cociente de incrementos cuando el incremento de la variable tiende a 0, es decir, f'(a) = limh→0 (f(a+h) – f(a)) / h. No obstante, para las funciones de 2 variables a + h pasa a ser (a1,a2) + h.
Derivadas Parciales
Dada una función f(x,y) con dominio un conjunto abierto A ⊂ R2, llamamos Derivada parcial de f respecto a x en el punto a = (a1,a2) al valor limh→0 (f(a1 + h, a2) – f(a1,a2)) / h. Esta derivada se simboliza indistintamente por ∂f(a) / ∂x. La derivada parcial respecto a y es f(a1,a2 + h).
En función de n variables -> Derivada parcial de f respecto a xi en a = (a1,…) es limh→0 (f(a + h·ei) – f(a)) / h
Derivadas Direccionales
Sea f una función con dominio un conjunto abierto A ⊂ Rn. Dado un punto a ∈ Rn, y v ∈ Rn un vector no nulo. Llamamos derivada de la función f en el punto a y en la dirección del vector v ∈ Rn al valor del límite limh→0 (f(a + h·v/||v||) – f(a)) / h. Esta derivada, si existe, se simboliza por Dv/||v||f(a).
Marginalidad
La derivada parcial de la función f en el punto a, es una aproximación a la variación de la función f al mantener constantes todas las variables excepto la i-ésima, que se incrementa en una unidad. En este contexto, la derivada parcial de la función f respecto a la variable xi, se denomina marginalidad de f respecto a xi.
Vector Gradiente
Si f: A ⊂ Rn → R es una función escalar de la que existen todas las derivadas parciales en un determinado punto a de su dominio, definimos el gradiente de la función f en el punto a, y lo representamos por ∇f(a) al vector formado por las derivadas parciales de la función en ese punto: ∇f(a) = (∂f(a) / ∂x1,…,∂f(a) / ∂xn). Es frecuente calcular el vector gradiente sin especificar ningún punto. En este caso quedaría expresado en función de las variables de la función.
Propiedad del Vector Gradiente
El vector gradiente de una función en un punto es perpendicular a la curva de nivel de dicho punto.
Hiperplano Tangente
A la función de 2 variables, la ecuación del hiperplano tangente es: z = f(a) + ∂f(a) / ∂x (x – a1) + ∂f(a) / ∂y (y – a2)
Matriz Hessiana
Dada f : A ⊂ Rn → R una función escalar, de la que existen todas las derivadas parciales segundas en un punto a ∈ A, la matriz hessiana de la función f en el punto a, la representamos por Hf(a) y se define por: Hf(a) = (∂2f(a) / ∂x12, ∂2f(a) / ∂x∂y)
Función Compuesta
Dada la función f(x1,…,xn) en la que cada variable xi es función de unas nuevas variables (t1,…,tk), es decir, xi = gi(t1,…,tk), tenemos que la función compuesta f o g es f(g1(t1,…,tk),…,gn(t1,…,tk)).