Espacio Vectorial

Se llama espacio vectorial sobre un cuerpo ℝ a todo conjunto V dotado de dos operaciones: una operación interna (suma de vectores) y una operación externa (producto de un vector por un escalar), y que verifican una serie de propiedades.

Propiedades de la operación interna

La suma de vectores (𝑉, +) cumple:

1. Propiedad asociativa (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑢 + 𝑤) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
2. Propiedad conmutativa 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
3. Tiene elemento neutro para la suma ∃ 𝛳 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑢 ∈ 𝑉, 𝑢 + 𝛳 = 𝑢
4. Todo elemento posee un elemento opuesto (simétrico). ∀𝑢 ∈ 𝑉 ∃ − 𝑢 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 + (−𝑢) = 0

Definición de subespacio vectorial

Sea V (ó ℝ^𝑛 ) un espacio vectorial, y sea W un subconjunto de V no vacío (𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅). Decimos que W es un subespacio vectorial de V si (𝑊, +,∗) tiene estructura de espacio vectorial con las mismas operaciones de V, es decir si verifica:

• 1.- 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑊 , ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑊
• 2.- 𝛼𝑢 ∈ 𝑊 , ∀𝛼 ∈ ℝ, ∀ 𝑢 ∈ 𝑊

Definición (Caracterización) de subespacio vectorial: Condición necesaria y suficiente: Dado un espacio vectorial V y un subconjunto W no vacío de V (𝑊 ⊂ 𝑉, 𝑊 ≠ ∅) es condición necesaria y suficiente para que W sea subespacio vectorial de V que se cumpla:

𝑊 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑉 ⇔ { ∀ 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝑊 ∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ } → 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣 ∈ w

Definición de combinación lineal

Sean 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 vectores pertenecientes al espacio vectorial V (ó ℝ^𝑛 ), y sean los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 ∈ ℝ, la expresión 𝑣 = 𝑢₁𝛼₁ + 𝑢₂𝛼₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝛼_𝑛 = ∑𝑢_𝑖𝛼_𝑖 se denomina combinación lineal de los vectores 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛

𝑽 = 〈𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 〉 ← 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑽

Un conjunto 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 de vectores pertenecientes al espacio vectorial V, es un sistema de generadores del espacio vectorial V si todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛. Es decir ∀𝑣 ∈ 𝑉, 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑣 = 𝑢₁𝛼₁ + 𝑢₂𝛼₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝛼_𝑛, donde 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 ∈ 𝑉 𝑦 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 ∈ ℝ

Definición de vectores linealmente independientes

Un conjunto 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 de vectores pertenecientes a un espacio vectorial V, son linealmente independientes (o libres) si 𝑢₁𝛼₁ + 𝑢₂𝛼₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝛼_𝑛 = 𝛳 ⇒ 𝛼₁ = 𝛼₂ = … = 𝛼_𝑛 = 0 (𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙)

Si no se verifica esto, es decir si existe algún 𝛼_𝑖 ≠ 0 tal que ∑ 𝑢_𝑖𝛼_𝑖 = 𝛳, entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman un conjunto ligado. Caracterización de un conjunto linealmente independiente: Los vectores 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 son linealmente dependientes si y sólo si alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes.

Definición de base

Sean 𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 un conjunto de vectores del espacio vectorial V. Se dice que un conjunto 𝐵 = 〈𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 〉 es una base del espacio vectorial V si:

• 𝐵 𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
• 𝐵 𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑉 → 〈𝐵〉 = 𝑉 (todo vector de V se puede escribir como combinación lineal de B).

Teorema de caracterización de una base: Un conjunto 𝐵 = {𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 } ⊂ 𝑉, es una base de V si y sólo si todo vector de V se puede escribir de manera única como combinación lineal de los elementos de B. Así si el vector 𝑣 ∈ 𝑉 y 𝐵 = {𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 } es una base de V, entonces 𝑣 = 𝑢₁𝛼₁ + 𝑢₂𝛼₂ + ⋯ + 𝑢_𝑛𝛼_𝑛

A los escalares 𝛼₁, 𝛼₂, . . , 𝛼_𝑛 se les llama coordenadas del vector 𝑣 𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐵 . Y estos escalares de la combinación lineal son únicos (ya que todo vector de V se puede escribir de forma única como combinación lineal de los elementos de B).

Definición de dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (dim{V}) es el número de elementos de una base de V. Sea 𝑉 = 〈𝐵〉 , 𝐵 = {𝑢₁, 𝑢₂, … , 𝑢_𝑛 } una base de V (formada por n vectores), entonces la dimensión de V es → dim{V} = 𝑛. Siendo 𝑛 → { 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 V.

MATRIZ

Llamamos matriz dimensión 𝑚𝑥𝑛 a un conjunto de números de ℝ dispuestos en forma rectangular en 𝑚 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠 𝑦 𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

SUBMATRIZ

Dada una matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛(ℝ) se submatriz de A, a cualquier matriz obtenida a partir de A, eliminando alguna de sus filas y/o columnas.

MATRIZ TRASPUESTA

Sea 𝐴 = (𝑎_𝑖𝑗) se llama matriz traspuesta de A y se denota por 𝐴^𝑡 (𝑜 𝐴)^𝑡 a la matriz resultante de intercambiar las filas y las columnas de A

• Si A es de orden 𝑀𝑚𝑥𝑛 , entonces 𝐴^𝑡 será de orden 𝑀𝑛𝑥𝑚
• También se cumple que (𝐴^𝑡 )^𝑡 = A.

RANGO DE UNA MATRIZ

Sea una matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑚𝑥𝑛, se llama rango de A y se denota 𝑟𝑔(𝐴) al máximo número de filas o columnas linealmente independientes.

• 𝑟𝑔(𝐴) ≤ min{𝑚, 𝑛}.

Inyectivas (si elementos de A distintos tienen imágenes en B distintas) Sobreyectivas (si todo elemento de B es imagen de un elemento de A) Biyectivas (si es a la vez inyectiva y sobreyectiva).

DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL Y PROPIEDADES

Sean 𝑉 𝑦 𝑊 espacios vectoriales reales (sobre ℝ). Una aplicación lineal 𝑓: 𝑉 → 𝑊 es una aplicación lineal si cumple: 𝑓(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝛼𝑓(𝑢) + 𝛽𝑓(𝑣) ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ

NÚCLEO (𝑲𝒆𝒓𝒇) E IMAGEN (𝑰𝒎𝒇) DE UNA APLICACIÓN LINEAL

Sea 𝑓: 𝑉 → 𝑊 una aplicación lineal (donde V y W son subespacios vectoriales) El núcleo de una aplicación (𝐾𝑒𝑟(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio V inicial (𝐾𝑒𝑟(𝑓) ⊂ 𝑉) tal que: 𝐾𝑒𝑟(𝑓) = {𝑥 ∈ 𝑉/𝑓(𝑥) = 𝛳_𝑤} = f ⁻¹ (𝛳_𝑤)

La imagen de una aplicación (𝐼𝑚(𝑓)) es un subespacio vectorial del espacio W final (𝐼𝑚(𝑓) ⊂ 𝑊), tal que 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑓(𝑉) = {𝑦 ∈ 𝑊/𝑓(𝑥) = 𝑦; , 𝑥 ∈ 𝑉} = {𝑓(𝑥)/𝑥 ∈ 𝑉}.

Sea una matriz cuadrada A (𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), el determinante de la matriz es el número resultante de sumar algebraicamente todos los productos de n elementos de la matriz en los que intervienen un elemento de cada fila y un elemento de cada columna.

𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔: Son los que admiten al menos una solución. Y pueden ser

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 → { 𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐𝒔 → 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝑎𝑑𝑜𝑠 → 𝑇𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (si un sistema tiene más de una solución, entonces tiene infinitas)

b.- 𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔: Son aquellos que no tienen solución.

TEOREMA DE ROUCHE-FRÖBENIUS

Dado un sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝑋 = 𝐵 se verifica que:

1. El sistema es compatible si y sólo si ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵)
2. Un sistema compatible es determinado ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) = 𝑛 (𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝑛º 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠)
3. Un sistema compatible es indeterminado ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) < 𝑛 (𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 < 𝑛º 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐ó𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠)
4. Un sistema es incompatible ⇔ 𝑟𝑔(𝐴) ≠ 𝑟𝑔(𝐴|𝐵).

Un sistema se dice que es de Cramer si tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (de forma que la matriz de coeficientes es cuadrada 𝐴 = 𝑀𝑛 y la matriz a es no singular (|𝐴| ≠ 0) (por tanto se puede invertir)

𝑆𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑟𝑎𝑚𝑒𝑟 → { 𝑚 = 𝑛 |𝐴| ≠ 0

Todo sistema de Cramer tiene solución única, es decir, es un sistema compatible determinado (𝑟𝑔(𝐴) = 𝑟𝑔(𝐴|𝐵) = 𝑛 )