Fundamentos de Álgebra Lineal
Obtener la matriz de P en las bases canónicas
Sea vector **x** cualquiera de **Rn1** y sean *x1, x2…* sus coordenadas. Existirá un vector **y** tal que *F(x) = y*. Sean *y1, y2…* sus coordenadas en **Bc**. **y** pertenece a **Rn2**.
*(y1…yn2) = (F(e1) F(e2) F(e3)…F(en1)) * (x1…xn1)*
**Y = PX**
**M(BRn1, BRn2)**
Ejemplo: Cuando te da *f(1,1) = (1,3,2)* y *f(1,-1) = (1,1,0)*, sacar implícitas y hacer una matriz de tantas filas como términos de *f* y luego:
*(f(e1) f(e2) = (u1..un1) * (P) * matriz F inversa)*
Obtener la base del núcleo
Sea vector **x** cualquiera de **Rn1** y sean *x1…xn1* sus coordenadas en **Bc**. Vector **X** pertenece a **Ker f** si y solo si *f(x) = vector 0 Rn2* si y solo si *AX = 0* si y solo si *P * (x1…xn1) = (0,0,0n1)*.
Hago Gauss y saco ecuaciones.
*Nº parámetros = nº incógnitas – rg(P)*
*DimV = DimKerf + Rg(P)*
Darle valor a los parámetros y luego sacar la base.
Ejemplo: *x1 = a, x2 = a, x3 = -a* –> *Bkerf = {(1,1,-1)}*
Hallar una base de la imagen
**y** pertenece a **Imf** si y solo si existe *x1…xn1: f(x) = y* si y solo si *(P) * (x1..xn1) = (y1…yn1)* si y solo si **y** (tendrá las posiciones de **Rn2**) cumple las ecuaciones implícitas.
Ejemplo: *y = (x1+x3, x2+x3)* –> sacamos las **X** y dejamos *y = x1(1,0) + x2(0,1) + x3(1,1)*.
*Imf = {(1,0), (0,1), (1,1)}* es el conjunto generador de la imagen.
Para obtener **BaseF** buscamos los vectores que son **LI** y los quitamos.
*Bimf = {(1,0), (0,1)}*
*Dim Rx = DimKerf + DimImf*
Subespacios Vectoriales
Comprobar si es subespacio vectorial, hay 3 condiciones:
Sea *U = {x1, x2, x3 ∈ R2 | 2×1 – x3 = 0}*
- El vector **0** pertenece al subespacio. Ejemplo: *2*0 – 0 = 0*. Se cumple.
- *u1* y *u2* pertenecen a *U* –> *u1 + u2* pertenece a *U*. Ejemplo: Sea *u1 = {x1, x2, x3}* y *u2 = {y1, y2, y3}*: *u1 + u2 = (x1+y1, x2+y2, x3+y3)* –> *2(x1+y1) – (x3+y3) = 2×1 + 2y1 – x3 – y3 = 2×1 – x3 + 2y1 – y3 = 0*
- Sea *u1 ∈ U* y *a ∈ R* –> *au1 ∈ U*: *a(x1, x2, x3) = (ax1, ax2, ax3)* –> *2ax1 – ax3 = a(2×1 – x3) = a*0 = 0*.
Suma e Intersección de Subespacios
*dim(B1 ∩ B2) = Dim B1 + Dim B2 – dim(B1 + B2)*
Suma directa + con círculo: Cuando la intersección es = 0 –> *Dim(B1 ∩ B2) = 0*
Ejemplo: *B1 = {(0,1,0), (1,0,0)}; B2 = {(2,0,0), (0,1,1)}*
**Base B1 + B2**: Poner los vectores horizontal y a los dos **V** de **B1** le añado abajo los 2 **Vect** de **B2** y hacer Gauss.
*Base B1 + B2 = {(0,1,0), (1,0,0), (0,1,1)}*
*Base B1 ∩ B2 = DimB1 + DimB2 – Dim(B1 + B2) = 2 + 2 – 3 = 1* –> *Base B1 ∩ B2 = {(2,0,0)}* –> Este es el vector que en **B1 + B2** eliminamos al hacer Gauss.
Coordenadas de un Vector
Ejemplo: *(1,1) = 1*(1,0) + 1*(0,1)*
Ejemplo: Cambiar la base: *B’ = {(1,1), (0,2)}; Vector v = (1,3)Bc*
**Bc** se refiere respecto a Bases canónicas.
*a(1,1) + B(0,2) = (1,3)* –> *a = 1; a + 2B = 3* –> *a = 1* y *B = 1* –> *(1,1)B’*.
Matriz Cambio de Base
*XBc = PB’->Bc * XB’*
*XB’ = PBc->B’ * XBc*
Ejemplo: *Bc = {(1,0), (0,1)}; B’ = {(1,1), (0,1)}; PB’->Bc = (1 0; 1 1)*
Si tengo una de las bases, le hago la inversa y me da como resultado la otra base.
Inversa de *PB’->Bc = PBc->B’*
Aplicaciones Lineales
Toda aplicación lineal debe cumplir 3 condiciones:
- *f(0) = 0*
- *f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2)*
- *f(av1) = af(v1)*
Ejemplos:
- Ecuación implícita: *(x1+2, x2)* –> *f(0,0) = (0+2, 0) = (2,0) != (0,0)* NO ES AL
- Ecuación implícita: *(x1x2, x3, 0)* –> *f(v1+v2) = f(v1) + f(v2)* –> *v1 = (x1, x2, x3), v2 = (y1, y2, y3)* –> *f(v1+v2) = f(x1+y1, x2+y2, x3+y3) = (x1x2 + x1y2 + x2y1 + y1y2, x3+y3, 0)* –> *f(v1) + f(v2) = f(x1, x2, x3) + f(y1, y2, y3) = (x1x2, x3, 0) + (y1y2, y3, 0) = (x1x2 + y1y2, x3+y3, 0)* –> *f(v1+v2) != f(v1) + f(v2)* NO ES AL
- *f(av1) = (0, ax2, ax1+ax2, 0)*; *af(v1) = a(0, x2, x1+x2, 0) = (0, ax2, ax1+ax2, 0)* –> ES AL
Matriz Asociada Base Canónica
Ejemplo: *R2 -> R3; f(x1, x2) = (2×1, x1-3×2, -5×2)*
Calcular Matriz Asociada Bc
*f(1,0) = (2, 1-3*0, -5*0) = (2,1,0)*
*f(0,1) = (0, 0*1 -3*1, -5*1) = (0, -3, -5)*
*A = (2 0; 1 -3; 0 -5)*
*Y = AX* –> *A * (2; 3) = (4; -7; -15)*
Imagen
Sea *f: E -> F* AL. Imagen es el subconjunto formado por **v** que provienen de algún vector de **E**.
*DIM E = DimImF + DimKerf*
Ejemplo: *f: R4 -> R2; f(x1, x2, x3, x4) = (x3, x4)*
*A = (0,0,1,0; 0,0,0,1)*
*At = (X)* –> *BaseImf = {(1,0), (0,1)}*
*f(1,0,0,0) = (0,0); f(0,1,0,0) = (0,0); f(0,0,1,0) = (1,0); f(0,0,0,1) = (0,1)*
*DimImf (nº vect LI)*
Núcleo
Sea *f: E -> F* una AL. El **kerf** es el subconjunto formado por todos los **Vect** en **E** que se mapean a **0** en **F**.
*DIM E = DimImf + Dimkerf*
Ejemplo: *f: R4 -> R2; f(x1, x2, x3, x4) = (x3, x4)*
*DimE = DimImf + DimKerf; DimKerf = 4 – 2 = 2 (a y b)*
*x1 = a; x2 = B; x3 = 0; x4 = 0*
*BaseKerf = {(1,0,0,0), (0,1,0,0)}*
Vocabulario
AL –> homomorfismo.
- Inyectiva o monomorfismo cuando *DimKerf = 0*.
- Suprayectiva o sobreyectiva cuando *DimImf = DimF* (*DimF* es dim subespacio)
- Biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
- Endomorfismo cuando AL es en el mismo espacio *R3 -> R3*.
- Automorfismo cuando es endomorfismo y biyectiva.
Cambio de Base por Vectores
*R2 -> R3*. Tenemos matriz **A**.
*B1 = {(1,1), (1,-1)}; B2 = {(1,0,1), (1,-1,0), (0,1,0)}*
Queremos calcular **A’**
- Definimos AL.
- Definimos las imágenes de B1 inicial.
- Calculamos A’ y resolvemos el sistema.
1) *f(x1, x2) = (-3×1 + 2×2, -2×1 + x2, x1)*
2) *f(1,1) = (-1, -1, 1); f(1,-1) = (-5, -3, 1)*
3) *(-1, -1, 1) = a1(1,0,1) + a2(1,-1,0) + a3(0,1,0)*
*(-5, -3, 1) = b1(1,0,1) + b2(1,-1,0) + b3(0,1,0)*
*A’ = (a1 b1; a2 b2; a3 b3) = (1 1; -2 -6; -3 9)*
Para calcular *f(1,1)* y *f(1,-1)* cogemos **A** y lo multiplicamos por *(1 1; 1 -1)*. Saldrá matriz de 3×2
*f(1,1) = Columna 1* y *f(1,-1) = Columna 2*. Cada **C** es un vector.