Sea {xn}_n∈N una sucesión de números reales. x_n → l o lim_n x_n = l si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que n > n₀ ⇒ |x_n − l| < ε. En este caso, la sucesión es convergente y converge a l.

Criterio de Cauchy

Teorema (Criterio de Cauchy). Una sucesión {x_n}_n∈N en R tiene límite finito si y sólo si ∀ ε > 0 ∃ n₀ ∈ N tal que m, n > n₀ ⇒ |x_n − x_m| < ε.

Integrales

Sea f : A → R una función real de variable real definida en un conjunto A. Se llama función primitiva de f en A a otra función F : A → R, tal que F'(x) = f(x). Si F : A → R es una primitiva de f en A, entonces F + C también lo es para cualquier constante C ∈ R. El conjunto de todas las funciones primitivas de f : A → R se llama integral indefinida de f y se representa por ∫ f(x)dx.

Sea f : [a, b] → R una función acotada. Se dice que f es integrable en [a, b] en el sentido de Riemann si se cumple la igualdad de los supremos (resp., los ínfimos) de las denominadas sumas superiores (resp., inferiores) de la función en el intervalo [a, b]:

∫_a^b f(x)dx = ∫_a^b f(x)dx

Este valor común se denomina integral definida de f en [a, b] y se representa por ∫_a^b f(x)dx.

Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Teorema fundamental del cálculo integral. Sea f : [a, b] → R una función acotada en [a, b]. Si f es continua en [a, b], entonces la función Λ : [a, b] → R definida como Λ(x) = ∫_a^x f(x)dx es derivable en [a, b] y es una primitiva de f(x) en [a, b]:

Λ'(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].

Regla de Barrow

Regla de Barrow. Sea f : [a, b] → R una función acotada en [a, b]. Si f es continua en [a, b], y F : [a, b] → R es una función primitiva cualquiera de f(x) en [a, b], entonces

∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a).

Sea f : D → R con D ⊂ R una función integrable en cada intervalo [a, x] con x > a. Se llama integral impropia de primera especie de f sobre [a, +∞), ∫_a^∞ f(x)dx, al límite

∫_a^∞ f(x)dx = lim_x→+∞ ∫_a^x f(t)dt

si dicho límite existe. En este caso se dice que la integral es convergente. Si este límite no existe, se dice que la integral es divergente. Igualmente se analiza

∫_-∞^b f(x)dx = lim_x→−∞ ∫_x^b f(t)dt.

Sea f : (a, b] ⊆ R → R una función integrable en todo [x, b] para x ∈ (a, b], (i.e., existe ∫_x^b f(t)dt, ∀ x ∈ (a, b]), que no está acotada a la derecha de a. Se llama integral impropia de segunda especie de f en (a, b], ∫_a^b f(x)dx, al límite

∫_a^b f(x)dx = lim _{x → a⁺} ∫_x^b f(t)dt ≡ ∫_a+0^b f(x)dx

si dicho límite existe.

Topología

Sea x ∈ Rⁿ y sea ε > 0 un número real.

• Llamaremos bola abierta con centro x y radio ε al conjunto: B(x,ε) = {y ∈ Rⁿ tal que d(x, y) < ε}
• Bola cerrada con centro x y radio ε al conjunto: B̄(x,ε) = {y ∈ Rⁿ tal que d(x, y) ≤ ε}
• Bola abierta reducida con centro x y radio ε al conjunto B^*(x,ε) = B(x, ε) − {x}.

Sea x ∈ Rⁿ y sea U un subconjunto de Rⁿ. Diremos que U es entorno de x si contiene alguna bola centrada en x: ∃ ε > 0 tal que B(x,ε) ⊂ U.

Sea U un subconjunto de Rⁿ. Diremos que U es abierto si es entorno de cada uno de sus puntos, es decir, si ∀x ∈ U ∃ ε > 0 tal que B(x,ε) ⊂ U.

Sea V un subconjunto de Rⁿ. Diremos que V es un conjunto cerrado si su complementario V^C = Rⁿ − V es un conjunto abierto.

Sea A un subconjunto de Rⁿ. Diremos que x ∈ A es un punto interior de A si A es un entorno de x, es decir: ∃ ε > 0 tal que B(x,ε) ⊆ A

Diremos que x ∈ Rⁿ es un punto frontera de A si toda bola centrada en x contiene simultáneamente puntos de A y de su complementario, es decir: ∀ε > 0 se cumple B(x,ε) ∩ A ≠ ∅ y B(x,ε) ∩ (Rⁿ − A) ≠ ∅.

Sea A un subconjunto de Rⁿ y x ∈ Rⁿ. Diremos que:

1. x es un punto adherente a A si en cualquier bola centrada en x hay puntos de A, es decir: ∀ ε > 0, B(x, ε) ∩ A ≠ ∅
2. x es un punto de acumulación de A si en cualquier bola centrada en x hay infinitos puntos de A, es decir: ∀ ε > 0, B^*(x, ε) ∩ A ≠ ∅ Es claro que todo punto de acumulación de A es adherente de A, pero no recíprocamente.
3. x es un punto aislado de A si es adherente de A pero no de acumulación de A.

Sea A un subconjunto de Rⁿ.

• Llamaremos cierre, adherencia o clausura de A, y lo denotaremos por Ā, a la intersección de todos los cerrados que contienen a A. A es también: el menor cerrado que contiene a A; la unión de A con todos los puntos de acumulación de A; y el conjunto de todos los puntos clausura de A.
• Llamaremos frontera del conjunto A, ∂A, al conjunto de puntos frontera de A. También se cumple: ∂A = A − Int(A).

Sea A un subconjunto de Rⁿ. Diremos que A es acotado si está contenido en una bola.

Teorema de Bolzano-Weierstrass

Teorema de Bolzano-Weierstrass. Si el conjunto A ⊂ Rⁿ está acotado y tiene infinitos puntos entonces existe algún punto de acumulación de A.

Sea A un subconjunto de Rⁿ. Diremos que A es convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera de A está contenido en A, es decir si ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0, 1] : λx + (1 − λ)y ∈ A.

Derivadas

Sean f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y a ∈ C.

• Se llama derivada de f en a respecto de un vector u ∈ R^p, u ≠ 0, al valor lim _λ→0 (f(a + λu) − f(a)) / λ si este límite existe. Se denota f’_u(a), D_u[f(a)] ó ∂f/∂u(a).
• Si ||u|| = 1, se dice que D_u[f(a)] es la derivada direccional de f en a en la dirección del vector u.
• Si {e₁, . . . , e_p} es la base canónica de R^p, se dice que D_ei[f(a)] es la derivada parcial i-ésima de f en a. Suele denotarse como ∂f/∂x_i(a), siendo x_i la coordenada i-ésima de x = (x₁, . . . , x_p) ∈ C.

Sea f : C → R^q una función definida en un abierto C ⊆ R^p y sea a ∈ C. Se dice que f es diferenciable en a cuando se cumple una de las condiciones siguientes (que son equivalentes):

(Cond. 1) Existe una aplicación lineal, denominada diferencial de f en a y que denotaremos df(a) : R^p → R^q, de modo que se cumpla

lim_x→a (f(x) − f(a) − df(a)(x − a)) / ||x − a|| = 0.

Si f : C → R^q es diferenciable en todos los puntos de un abierto C ⊆ R^p, se dice que f es diferenciable en C. En este caso, se llama diferencial de f a la función

df : C → L(R^p, R^q)

x ↦ df(x)

L(R^p, R^q) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales de R^p en R^q.

Optimización

Teorema Local-Global

Teorema Local-Global. Sea f : C → R función real, con C ⊆ R^p abierto y convexo. Supongamos que f es diferenciable en todo C. Entonces:

• Si f es cóncava en C, todo punto crítico a de f es un máximo global de f en C.
• Si f es estrictamente cóncava en C, hay como mucho un único punto crítico de f en C y en caso de existir es un máximo global estricto.
• Si f es convexa en C, todo punto crítico a de f es un mínimo global de f en C.
• Si f es estrictamente convexa en C, hay como mucho un único punto crítico de f en C y en caso de existir es un mínimo global estricto.

Teorema de Weierstrass

Teorema de Weierstrass. Toda función real continua definida en un compacto alcanza un valor máximo y mínimo. Es decir: si C ⊆ R^p es un conjunto compacto (cerrado y acotado), y f : C → R es continua en C, entonces existen dos puntos x₀, x’₀ ∈ C tales que f(x₀) ≤ f(x) ≤ f(x’₀) en cada x ∈ C.

Extremos Locales

Extremos locales. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ Rⁿ. Diremos que el punto a ∈ C es:

• Un máximo relativo (o local) estricto de f si f(a) > f(x) para todo x perteneciente a un entorno reducido de a.
• Un mínimo relativo (o local) estricto de f si f(a) < f(x) para todo x perteneciente a un entorno de a.
• Un mínimo relativo (o local) de f si f(a) ≤ f(x) para todo x perteneciente a un entorno de a.

A estos máximos y mínimos les llamaremos extremos locales o relativos de f en C.

Extremos Globales

Extremos globales. Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ Rⁿ. Diremos que el punto a ∈ C es:

• Un máximo global estricto de f si f(a) > f(x) para todo x ∈ C (x ≠ a).
• Un mínimo global estricto de f si f(a) < f(x) para todo x ∈ C.
• Un mínimo global de f si f(a) ≤ f(x) para todo x ∈ C.

A estos máximos y mínimos los llamaremos extremos globales de f en C.

Sea f : C → R una función definida en un abierto C ⊆ Rⁿ. Si f es diferenciable, llamaremos puntos críticos o estacionarios de f a aquellos puntos a ∈ C que cumplan df(a) = 0. Por tanto en un punto crítico se anulan todas las primeras derivadas parciales de f. El recíproco de la proposición anterior no es cierto, es decir: no todo punto crítico es un extremo relativo. A los puntos críticos que no son extremos relativos los llamaremos puntos de silla o de ensilladura.

Sea f : C → R una función real definida en un conjunto C ⊆ Rⁿ abierto y convexo. Diremos que f es:

• Cóncava en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Estrictamente cóncava en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) > λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Convexa en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y).
• Estrictamente convexa en C si para cada x, y ∈ C y λ ∈ [0, 1]: f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y).