Fundamentos de Funciones Matemáticas
Definición de Función
Una función se define como una relación entre dos conjuntos no vacíos, D (dominio) y C (codominio), denotada como f: D → C. En esta relación, a cada elemento del conjunto D le corresponde un único elemento en C.
Postulados
- Existencia: Para todo x en D, existe un y en C tal que y = f(x).
- Unicidad: Para cada x en D, existe un único y en C que cumple y = f(x).
Formalmente:
f: D → C
x → y = f(x) ∀x ∈ D, ∃!y ∈ C ⊂ R tal que y = f(x)
Funciones Reales de Variable Real
Una función real de variable real se define como f: R → R / y = f(x), donde:
- x: variable independiente
- y: variable dependiente
El dominio es el conjunto de valores reales para los cuales la función «f» está definida.
Propiedades de las Funciones
Inyectiva
Para valores distintos del dominio, existen imágenes distintas.
∀x1, x2 ∈ Dm f: x1 ≠ x2 → f(x1) ≠ f(x2)
Sobreyectiva
Cualquiera sea el elemento y del codominio, existe un x del dominio que es su pre-imagen.
∀y ∈ C; ∃x ∈ Dm, y = f(x)
Diferenciabilidad
Para que f: D ⊂ R → R sea diferenciable en Xo ∈ D, es necesario y suficiente que sea derivable en Xo.
Si f es diferenciable, entonces:
f(Xo+h) – f(Xo) / h = E(h) + a
Donde E(h) es un infinitésimo, es decir, lim E(h) = 0 cuando h → 0, y a = f'(Xo).
Propiedades de Funciones
Suma
Dadas dos funciones f, g ∈ F(R), es decir, f: R → R con x → f(x) y g, se define la suma como f+g: R → R, con x → (f+g)(x) = f(x) + g(x).
Producto
Similar a la suma, pero se cambia el + por un punto (multiplicación).
Composición
f[g(x)]
Producto Escalar
Sea una función cualquiera de F(R) y un escalar cualquiera ¥ (número real), es decir, f: R → R, con x → f(x); se define una nueva función denotada como ¥f: R → R, con x → (¥.f)(x) = ¥.f(x).
Puntos Críticos y Extremos
Punto Crítico
Es el valor del dominio donde se anula la derivada primera.
PC = {X ∈ D / f'(x) = 0}
Extremos
- Hallar puntos críticos (a).
- Condición necesaria y suficiente (Criterio de la segunda derivada):
- Si f'(a) = 0 y f»(a) > 0, entonces existe un mínimo relativo.
- Si f'(a) = 0 y f»(a) < 0, entonces existe un máximo relativo.
Función Diferenciable en un Punto
Sea f: D ⊂ R → R y Xo ∈ D, se dice que f es diferenciable en Xo si existe una función h → ɛ(h), definida en un entorno de cero y un número real a ∈ R, independiente de h, tal que:
f(Xo+h) = f(Xo) + a.h + ɛ(h).h con lim ɛ(h) = 0 cuando h → 0
Axiomas de los Números Reales
- Elemento Simétrico: a + (-a) = (-a) + a = 0
- Inverso Multiplicativo: a * a-1 = a-1 * a = 1
Axiomas de la Suma (+)
- Asociativa
- Conmutativa
- Elemento Neutro
- Simétrico
Axiomas de la Multiplicación (*)
- Asociativa
- Conmutativa
- Elemento Neutro
- Multiplicativo
Máximo y Mínimo Local
Máximo Local
La función f: D ⊂ R → R tiene en el punto Xo el punto máximo local (Xo, f(Xo)) si existe un entorno U(Xo) ⊂ D, tal que f(x) ≤ f(Xo) para todo X ∈ U(Xo).
Mínimo Local
f(x) ≥ f(Xo) para todo X ∈ U(Xo).
Derivada
Sea la función real de variable real: f: D ⊂ R → R / x → f(x)
Límites Laterales
Sea f: D ⊂ R → R una función y a un punto de R, que es un punto de acumulación del dominio D.
Límite Lateral por la Izquierda
Si existe un intervalo abierto de extremo superior a, contenido en D, se dice que el número l1 es el límite de la función f por la izquierda en a si y solo si:
∀E > 0, ∃ʆ > 0 tal que ∀X ∈ D, 0 < |x – a| < ʆ se verifica |f(x) – l1| < E, donde l1 = lim x→a– f(x)
Límite Lateral por la Derecha
Si existe un intervalo de extremo inferior a contenido en D, se dice que el número l2 es el límite por la derecha de la función f en a si y solo si:
∀E > 0, ∃ʆ > 0 tal que ∀X ∈ D, 0 < |x – a| < ʆ se verifica |f(x) – l2| < E, donde l2 = lim x→a+ f(x)