Introducción a la Fluidoestática

La Fluidoestática estudia las condiciones y relaciones entre magnitudes para que exista equilibrio mecánico en los fluidos, donde el campo de velocidades sea nulo en todo punto e instante: v(x,t)=0, ∀x,t.

Condiciones de Equilibrio

Para que exista equilibrio, se deben cumplir las siguientes condiciones:

• Los cuerpos que limitan el fluido deben estar en reposo.
• Las fuerzas másicas sobre el fluido deben cumplir ciertas condiciones.
• Los campos de densidad y temperatura deben cumplir ciertas condiciones.

Las ecuaciones generales de Navier-Stokes se reducen a:

Las ecuaciones de estado serán en general de la forma:

En cuanto a las fuerzas másicas:

La ecuación de cantidad de movimiento del fluido en equilibrio toma la forma:

Las condiciones de contorno en un sólido:

Y entre dos fluidos:

Condiciones y Estabilidad del Equilibrio de Fluidos

La existencia de equilibrio impone condiciones especiales. El contorno sólido debe estar en reposo. La densidad inicial permanece constante en cada punto, aunque no sea uniforme espacialmente. La distribución de temperaturas puede ser variable, definida por la ecuación de la energía y sus condiciones de contorno. Las fuerzas másicas deben cumplir ciertas condiciones. Aplicando el operador rotacional a la ecuación de cantidad de movimiento:

Al multiplicar escalarmente por las fuerzas másicas:

Si la fuerza másica deriva de un potencial fm= −∇Up, lo que es habitual (la velocidad angular suele ser constante), se cumple la ecuación anterior. Las superficies equipotenciales Up(x)= cte, son isobaras (p=cte) e isocoras (ρ=cte). Los gradientes de potencial de fuerzas másicas, presión y densidad son paralelos: ∇Up||∇p ||∇ρ. Las superficies equipotenciales son isocoras e isobaras. Estas ecuaciones producen equilibrio entre fuerzas másicas y de presión, pero no todas las soluciones son estables.

Función de Barotropía

Si bajo fuerzas másicas irrotacionales, las superficies isobaras coinciden con las isocoras, existe una función ρ= ρ(p,t) que define la función de barotropía:

Sustituyendo en la ecuación de cantidad de movimiento:

Por lo que se cumple: ω+Up=C(t).

Para gases, la relación de barotropía depende de la ecuación de la energía. Dos casos especiales:

a) Condición isoterma T=T_o uniforme:

b) Relación politrópica p/ρⁿ=cte:

Equilibrio de Gases: Atmósfera Estándar y Atmósfera Adiabática

Gases en equilibrio bajo la gravedad (Up= gz) tendrán superficies isobaras, isocoras e isotermas horizontales. La ecuación de la energía proporciona T(z) y la ecuación de equilibrio se expresa:

La atmósfera estándar internacional (ISA) se define según la ley de T(z) en capas:

• Troposfera
• Estratosfera
• Ionosfera

La atmósfera adiabática está en el límite del equilibrio neutro. Al elevar una masa de aire, se expande y enfría sin subir más (inestable) ni bajar (estable). En una expansión adiabática:

Igualando con la ecuación de equilibrio, la condición de gradiente de temperaturas en la atmósfera adiabática es:

La atmósfera estándar tiene equilibrio estable.

Equilibrio de Líquidos: Hidrostática

En líquidos perfectos con densidad constante, la ecuación de continuidad se cumple directamente y la de la energía se desacopla de la de cantidad de movimiento. El campo de temperaturas define la transmisión de calor sin influir en el equilibrio mecánico. El campo de temperaturas puede generar dilatación, fuerzas de flotación y movimientos convectivos, pero esto no se considera en líquidos perfectos. Para líquidos, se cumple: p+ρUp=C(t).

Superficies y Cuerpos Sumergidos. Principio de Arquímedes

En reposo, las únicas fuerzas de superficie son las de presión. Las fuerzas y momentos (respecto a xo) sobre un cuerpo sumergido son:

Si el campo de fuerzas másicas es gravitatorio y existe una superficie libre a p=pa, la distribución de presiones es p=pa-ρgz.

La resultante de las fuerzas de presión se aplica en el centro de presiones. Para obtenerlo, se calcula la fuerza y se aplica donde produzca el mismo momento que la distribución de presión sobre el área.

Para un cuerpo sumergido o flotando, considerando una superficie cerrada y que la presión atmosférica no produce resultante:

La fuerza ascensional sobre un cuerpo sumergido o flotando iguala al peso del líquido desalojado. El momento de las fuerzas superficiales es el de la fuerza ascensional aplicada en el centro de gravedad del líquido desalojado xg. La estabilidad depende de la posición relativa de los centros de gravedad del sólido y del fluido desalojado (centro de flotación). Hay estabilidad si el centro de gravedad está debajo del centro de flotación.

Flotación y Convección Natural

La flotación también ocurre cuando una parte del fluido en reposo se calienta y dilata, reduciendo su densidad. El gradiente de presiones y la gravedad dejan de estar en equilibrio, generando un movimiento de convección natural o convección libre. Si la temperatura aumenta y la densidad disminuye, con un cambio pequeño, se puede suponer una relación lineal:

La aproximación de Boussinesq supone densidad constante, excepto en el término gravitatorio y másico, para introducir el efecto de flotación. La componente vertical de −∇p+ ρfm resulta:

El campo de velocidades y el térmico están acoplados. En líquidos, el coeficiente de dilatación térmica es pequeño. En gases, es mayor. La convección natural explica el movimiento del aire caliente de un radiador o del agua en un recipiente al fuego.