Fundamentos de la Ley de Gravitación Universal de Newton
Intensidad de campo. Definición del campo creado por una masa puntual (esférica). Ejemplo: el campo gravitatorio terrestre.
Ley de la Gravitación Universal
La ley de la gravitación universal de Newton dice que: Todo cuerpo del universo atrae a cualquier otro cuerpo con una fuerza centrípeta que es proporcional a la masa de ambos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Matemáticamente se formula así: F = -GMm/d² Ur, donde:
- F es la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos de masa m1 y m2,
- d es la distancia que los separa,
- ur es un vector unitario que va del cuerpo que ejerce la fuerza al que la sufre.
El signo menos indica que la fuerza es atractiva. G es una constante denominada «constante de la gravitación universal» cuyo valor es 6.67 × 10-11 N m²/kg².
Características de la Fuerza Gravitatoria
La fuerza gravitatoria es de atracción, su dirección es la de la recta que pasa por las masas M1 y m, y su sentido es desde la masa hacia el centro. La fuerza gravitatoria se aplica por igual a las dos masas. Así, por ejemplo, la fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre la Luna es igual y de sentido contrario a la que ejerce la Luna sobre la Tierra. Entre masas pequeñas, su intensidad es despreciable.
Campo Gravitatorio
La fuerza gravitatoria produce un campo gravitatorio, que es una zona del espacio que rodea una masa M1 e influye sobre las masas m que se encuentran en ella. La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que se ejerce sobre una masa unidad (1 kg) que se introduce en dicho punto y se denomina g. Su expresión es:
g = -GM/d² Ur
Relacionándola con la expresión de la fuerza gravitatoria, la fuerza que aparece sobre la masa m es:
F = mg
Así, la intensidad del campo es también:
g = F/m
Campo Gravitatorio Terrestre
El campo gravitatorio creado por la Tierra en puntos externos a ella es igual al creado si toda la masa terrestre estuviera concentrada en el centro y viene dado por la expresión:
gr = -GM/r² Ur = -GM/(Rt + h)² Ur
Se puede representar mediante líneas de campo (líneas tangentes, en cada punto, a la dirección del vector campo gravitatorio):
Campos Conservativos y No Conservativos
Ejemplo: Potencial Gravitacional de una Masa Puntual (o Esférica). Energía Total. Principio de Conservación de la Energía.
Campos Conservativos
Un campo conservativo es una zona del espacio en la que el trabajo necesario para trasladar una masa de un punto a otro (A y B) solamente depende de los puntos inicial y final del trayecto y no de la trayectoria. Esto lo cumplen las fuerzas gravitatorias, electrostáticas y elásticas. Si la posición inicial y final es la misma, es decir, la trayectoria es cerrada, el trabajo es 0.
Trabajo y Energía Potencial
Si la posición inicial y final es distinta, el trabajo se calcula como la variación de la energía potencial en los puntos A y B. La diferencia de energía potencial entre dos puntos A y B del campo es el trabajo con signo contrario, realizado por las fuerzas del campo para llevar una partícula de A a B:
WA-B = -ΔEp = Ep(a) – Ep(b)
Sabiendo que la energía potencial en un punto es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para llevar la partícula desde ese punto hasta el punto de origen de la energía potencial (considerado 0):
WA-B = Ep(a)
Energía Potencial Gravitacional
Si el trabajo es la variación de energía potencial con signo negativo:
W = EpA – EpB
En el caso de un campo gravitatorio sustituimos:
Ep = -Gmm/r
Potencial Gravitacional
El potencial gravitacional en un punto es la energía potencial por unidad de masa colocada en ese punto. Es una magnitud escalar que se obtiene al dividir la energía potencial entre la masa m (de la que hablamos) y tiene un valor general, siendo la masa M central la misma, que es constante para cualquier punto de la esfera:
V = Ep/m = -GM/r = … J/kg
Principio de Conservación de la Energía Mecánica
En los campos de fuerzas conservativas se conserva la energía mecánica, por lo tanto:
- -Ep = -Gmn/r
- -Ec = fg = fc; GMm/r² = mv²/r; v² = GM/r
- Ec = 1/2 mv² = 1/2 m GM/r = GMm/2r
- -Em = Ep + Ec = -GMm/2r
Leyes de Kepler: Enunciados y Deducción de la Tercera Ley para Órbitas Circulares
Son leyes empíricas enunciadas por Kepler en el siglo XVII para describir el movimiento de los planetas alrededor del sol. Son 3:
Ley de las Órbitas
Los planetas describen órbitas planas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el sol.
Se justifica con el módulo del momento angular (L = rmv), si es constante, así que los vectores posición y fuerza están en el mismo plano (órbita plana).
Ley de las Áreas
El vector de posición con respecto al sol de un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales.
Es decir, la velocidad areolar es constante. Esto implica que la velocidad lineal del planeta es mayor cuanto más cerca se encuentra del sol. Esta ley es equivalente a la conservación del momento angular del planeta con respecto al sol.
Se justifica con el módulo del momento angular, que es constante, así que en tiempos iguales, r y v son mayores o menores que r y v (Lafelio = Lperihelio).
Ley de los Periodos
Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales al cubo de sus distancias medias al sol. Una consecuencia es que la velocidad lineal de los planetas no es constante, sino que depende del radio orbital: un planeta gira más rápido cuando más pequeña es la órbita que describe.
Justificación de la Tercera Ley
Suponiendo que la fuerza es la que origina el movimiento de los planetas alrededor del sol, la fuerza gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta que produce un movimiento circular uniforme y hace que se mueva el planeta:
fg = fc; GMm/r² = mv²/r; v² = GM/r
Expresando la velocidad como espacio recorrido entre el tiempo:
4π²R²/T² = GM/R -> R³/T² = GM/4π² = k