En general, las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento no bastan para calcular los campos de densidad y velocidad. Hacen falta las ecuaciones de estado que la Termodinámica define, y también la primera y segunda ley de la Termodinámica que relacionan el calor y el trabajo aportado a un volumen con el incremento de su energía interna y entropía en una transformación reversible. Se entiende por transformación reversible la sucesión de estados de equilibrio, que es donde las variables termodinámicas y, por tanto, las variables de estado (presión y temperatura) están definidas. Para poder emplear en fluidos en movimiento las definiciones de ρ, T, p, s, h, e es preciso hacer algunas consideraciones. En gases, por ejemplo, el camino libre medio ha de ser mucho menor que la longitud característica, λlc, de modo que las moléculas choquen muchas veces entre sí antes de pasar a otras zonas de condición termodinámica diferente. A ese estado se le denomina equilibrio termodinámico local, y es la razón por la que se pueden utilizar los mismos conceptos de variables termodinámicas y las mismas ecuaciones de estado en cada punto. En líquidos se puede razonar de igual modo. Como ya se adelantó, el tensor de esfuerzos τ se puede considerar compuesto por un tensor «esférico» correspondiente a la presión, y que es el único si hay reposo y equilibrio, y otro τ’ debido al movimiento y a los desequilibrios en el fluido. La definición de las variables termodinámicas puede partir de la idea de densidad ρ y energía interna e, ambos conceptos que no necesitan el equilibrio termodinámico, y su relación con la entropía s, mediante una ecuación de estado que existe por haber equilibrio termodinámico local. Todas estas variables no son uniformes en el volumen fluido, sino funciones del espacio y el tiempo, por lo que habrá que plantearlas como incógnitas también a resolver.

ρ(x,t), p(x,t), T(x,t), e(x,t), h(x,t), s(x,t) Las ecuaciones de estado toman formas especialmente sencillas para casos particulares.

Trabajo realizado sobre un volumen fluido

El trabajo que recibe un volumen fluido lo hace a través de las fuerzas exteriores que actúan sobre él:

En forma diferencial, se puede expresar el trabajo que recibe una partícula fluida utilizando el teorema de Gauss en las ecuaciones anteriores, y por tanto el trabajo recibido es:

Significado de los diferentes sumandos que aparecen:

• El primero es el trabajo que la fuerza resultante del campo de presiones transmite a la partícula que se desplaza con velocidad v.
• El segundo es el trabajo de compresión o dilatación de la partícula, si el fluido es compresible y, por tanto, la divergencia del campo de velocidades puede no ser nulo.
• El tercero es el trabajo de la resultante de las fuerzas de fricción viscosa sobre la partícula en movimiento.
• El cuarto es la función de disipación de Rayleigh, que es el trabajo realizado por el tensor de esfuerzos sobre el volumen que se deforma. Representa la degradación de la energía mecánica y su conversión en térmica por efecto de la viscosidad.

Calor recibido por el volumen fluido

El calor que recibe un volumen fluido puede ser a través de su superficie por conducción o radiación, o bien generarse en su interior por reacción química. La transmisión de calor que se denomina convección térmica está asociada al movimiento del fluido que lleva consigo una energía térmica medida por su nivel de temperatura y expresada en su energía interna o entalpía. La convección térmica a través de una superficie requiere, por tanto, movimiento del fluido. Como el volumen fluido es un sistema cerrado, no hay a través de sus paredes flujo de fluido y, por tanto, convección térmica. En el volumen fluido, por tanto, el calor recibido o cedido tendrá una de estas tres formas:

Conducción térmica

La agitación molecular, choques entre moléculas en gases o vibraciones de las mismas en sólidos y líquidos, transmiten energía cinética molecular, esto es, energía térmica. Este fenómeno es la conducción térmica y se define en cada punto e instante por un vector flujo de calor q(x, t). El calor recibido será:

Si estamos considerando un medio isótropo, se puede fijar la ley de Fourier en la forma:

donde k es el coeficiente de conductividad térmica y es función de las variables termodinámicas en cada punto.

Radiación térmica

Si existen zonas con grandes diferencias de temperatura, se produce una transmisión de calor por radiación mediante ondas electromagnéticas. Se puede considerar como un flujo a través de la superficie, de igual forma que el de conducción, por lo que habría que acoplar y resolver las ecuaciones de radiación junto con las fluidodinámicas. En este caso: q = q_cond + q_rad.

Calor por reacción química

Si en el seno del fluido se produce una reacción química, podemos seguir manteniendo un modelo homogéneo, pero con una aportación de calor generada en el propio volumen por unidad de volumen y tiempo que denominamos con Qr(x,t). Para todo el volumen será:

En definitiva, el calor llega o deja al volumen fluido en dos formas: como un vector flujo a través de la superficie (por conducción y, en su caso, radiación): q, o como un calor generado en su interior, en cada punto del volumen fluido (reacción química y radiación si se conoce el balance neto): Qr

Principio y ecuación de conservación de la energía

Primer principio de la Termodinámica: La variación de la energía total en un volumen fluido es igual al trabajo sobre él de las fuerzas exteriores más el calor recibido del exterior. Se entiende por energía total la suma de la térmica (interna) y la cinética. No se incluyen otras energías como la potencial gravitatoria. El calor y el trabajo recibido del exterior son los estudiados en los apartados anteriores.

El flujo de calor q a través de la superficie puede ser debido a la conducción o incluir también la radiación, si así se considera. Si hubiera reacción química, el calor generado se considera a través de Q(x, t) producido en el interior de cada partícula fluida. Aplicando el teorema del transporte de Reynolds para poder plantear la ecuación de la energía para un volumen de control cualquiera:

En el primer término, el primer sumando representa la variación con el tiempo de la energía interna y cinética en el interior del volumen de control. El segundo sumando de este primer término es el flujo convectivo de las mismas formas de energía (interna y cinética) a través de la superficie de control. En el segundo término, el primer y segundo sumandos son, respectivamente, el trabajo sobre la superficie de control del campo de presiones y del de esfuerzos viscosos. El tercer sumando es el trabajo en el interior del volumen de control de las fuerzas másicas. El cuarto sumando es el flujo de calor a través de su superficie, mientras que el último sumando es la integral del calor de reacción química en su interior, que puede incluir también el resultado neto de la radiación térmica, como se ha comentado en el apartado anterior.

Tomando un volumen de control fijo y haciendo uso del teorema de Gauss, resulta una ecuación diferencial en la forma:

Haciendo uso de la ecuación de continuidad y desarrollando los términos, se llega a la forma diferencial de la ecuación de la energía total:

Otras expresiones de la ecuación de la energía: energía interna, entalpía y entropía

Las relaciones termodinámicas y la combinación con otras ecuaciones ya obtenidas permiten expresar el principio de conservación de la energía en función de otras magnitudes físicas. Si a la ecuación de energía total se le resta la ecuación de la energía mecánica, queda la ecuación diferencial de la energía interna:

Combinando la relación entre las derivadas sustanciales de las variables con la de la energía interna, se puede obtener la ecuación diferencial de la entalpía. Si se suma a esta ecuación la ecuación de la energía mecánica, se puede obtener la ecuación de la entalpía total:

De manera análoga, se obtiene la ecuación diferencial de la entropía de la partícula:

La variación de entropía de la partícula es, por tanto, debida al calor recibido de una forma u otra y al trabajo disipado por las fuerzas de superficie en la deformación de la partícula Φ_v.

Balance energético de una máquina de fluidos

Un caso de especial interés de utilización conjunta de las ecuaciones de continuidad y energía es el balance energético de las máquinas de fluidos. Estas son sistemas mecánicos que intercambian energía entre el fluido y el exterior (bombas, compresores, turbinas, ventiladores, etc.).

Las máquinas de fluido pueden clasificarse siguiendo distintos criterios. Con el criterio de compresibilidad de fluido, la clasificación clásica atiende a la modificación de la densidad del fluido al atravesar la máquina. Si el fluido es un líquido sin cambio de fase, o un gas en el que las diferencias de presión y los efectos térmicos al atravesar la máquina son despreciables, la máquina se denomina máquina hidráulica. Si, por el contrario, el líquido sufre un cambio de fase o el gas sufre cambios importantes de presión o temperatura, se aplicará la denominación habitual de máquina térmica. Por el contrario, si utilizamos como criterio de clasificación el funcionamiento de la máquina, pueden distinguirse los siguientes tipos:

• Máquinas rotodinámicas o turbomáquinas: se produce un intercambio de cantidad de movimiento entre el fluido y la máquina a través de una pieza giratoria, llamada rotor o rodete.
• Máquinas de desplazamiento positivo o volumétricas: el intercambio de energía es sobre todo en forma de presión al pasar el fluido empujado por un elemento desplazador a través de una cámara de trabajo. Puede ser a su vez alternativas (por ejemplo, de émbolo) o giratorias (rotativas) (de engranajes, levas, tornillos, …).
• Máquinas gravimétricas: se puede completar la clasificación con aquellas máquinas cuyo intercambio de energía sea sobre todo de tipo potencial gravitatoria, como los elevadores de cangilones, la rueda hidráulica o el tornillo de Arquímedes.

También utilizaremos la hipótesis de condición globalmente estacionaria o casi estacionaria.

Para máquinas de desplazamiento positivo, el análisis también servirá si consideramos un promediado temporal que haga las condiciones en la entrada y salida del sistema constantes. Si esto no fuera posible, habría que conservar los términos no estacionarios y el análisis que sigue no sería aplicable.

El teorema del transporte de Reynolds nos permite plantear la variación en el tiempo de la energía total (térmica y cinética) de un volumen fluido en función de la variación en el volumen de control arbitrariamente definido y de su flujo a través de la superficie de éste:

El trabajo para todo el volumen de control es:

Introduciendo esta expresión en la ecuación integral de la energía, resulta:

Esta ecuación indica que la variación en el volumen de control de la suma de energía total (interna + cinética) y potencial, más el flujo a través de su superficie, está producida por el trabajo sobre la superficie del volumen de control de las fuerzas superficiales (presión y esfuerzos viscosos) y por el calor recibido por el volumen por conducción o generado en su interior por una posible reacción química. Si se aplica esta ecuación al volumen de control de una máquina, podemos distinguir en la superficie de control tres partes diferentes:

• Secciones fijas de entrada y salida, Σ_e y Σ_s, únicas en las que hay intercambio de masa con el exterior.
• Paredes fijas, Σ_f, en el interior en contacto con el fluido.
• Paredes móviles, Σ_m, del rotor o de otros elementos móviles.

El término del trabajo de las fuerzas de presión se puede transformar en:

En conclusión, la suma de todo tipo de energía por unidad de masa es el trabajo y el calor recibido también por unidad de masa.