Leyes Lógicas

1) Involución: ~ (~p)

2) Idempotencia: (p ∧ q) ≡ p; (p ∧ q) ≡ p

3) Conmutativa:

• Disyunción: (p ∨ q) ≡ (q ∨ p)
• Conjunción: (p ∧ q) ≡ (q ∧ p)

4) Asociativa: Disyunción: (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

5) Distributiva:

• De la conjunción respecto de la disyunción: (p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
• De la disyunción respecto de la conjunción: (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)

Ley de Morgan

a) La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones: ~(p ∨ q) ≡ ~p ∧ ~q

b) La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones: ~(p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q

Intervalos

Conjunto de puntos o números reales.

Tipos de Intervalos

• Intervalo Abierto: Conjunto que se encuentra entre a y b, sin incluir los extremos.
• Intervalo Cerrado: Conjunto que se encuentra entre a y b, incluyendo los extremos.
• Intervalos Infinitos: (a, ∞); (-∞, a); [a, ∞); (-∞, a]; (-∞, ∞)

Inecuaciones: Desigualdad con al menos una incógnita.

Longitud o amplitud de un intervalo: La amplitud entre los extremos a y b es un número real positivo b – a.

Par ordenado: Dos elementos dados en un orden específico. Se nota como (a, b), donde a es el primer elemento y b el segundo.

Producto cartesiano: Operación entre conjuntos.

Valor Absoluto

El valor absoluto de x es el valor positivo de x o -x. Siempre es positivo o 0. Se escribe |x|.

• Si x > 0, entonces |x| = x.
• Si x < 0, entonces |x| = -x.

Propiedades del Valor Absoluto

1) |x| ≥ 0

2) √(x²) = |x|

Entornos

Entorno abierto centrado: Intervalo abierto de la forma (x₀ – r, x₀ + r), donde r es positivo.

Entorno reducido: Intervalo de la forma (x₀ – r, x₀ + r) que excluye el centro x₀.

Cotas y Extremos

Cota inferior: Un conjunto está acotado inferiormente si existe un número C tal que C ≤ x para todo x en el conjunto.

Cota superior: Un conjunto está acotado superiormente si existe un número C tal que C ≥ x para todo x en el conjunto.

Supremo: Un número “s” es el supremo de un conjunto si es la menor de las cotas superiores.

Ínfimo: Un número “k” es el ínfimo de un conjunto si es la mayor de las cotas inferiores.

Axioma del supremo: Todo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene un supremo. Todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente tiene un ínfimo.

Sucesiones

Una sucesión es una función que asigna a cada número natural un número real, llamado término.

Determinación de una Sucesión

Una sucesión está determinada cuando se conocen todos sus términos (infinitos). Se puede determinar de tres formas:

1. Describiendo la ley que la forma (“ley verbal”).
2. Dando la fórmula que relaciona un término cualquiera con el lugar que ocupa (“término general”).
3. Dando una fórmula que relaciona un término con los términos anteriores y describiendo explícitamente los primeros (“ley de recurrencia”).

Igualdad de sucesiones: Las sucesiones a_n y b_n son iguales si, para todo n, los números reales a_n y b_n coinciden. a_n = b_n

Sucesiones Monótonas y Acotadas

1. Una sucesión a_n es creciente si a_n ≤ a_n+1.
2. Una sucesión a_n es decreciente si a_n ≥ a_n+1.
3. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente.
4. Una sucesión es no decreciente si a_n ≤ a_n+1 y no creciente si a_n ≥ a_n+1.
5. Una sucesión a_n se dice que es acotada superiormente si existe un número M tal que a_n ≤ M para todo n.
6. Una sucesión a_n se dice que es acotada inferiormente si existe un número m tal que a_n ≥ m para todo n.

Tendencia de Sucesiones

Tendencia finita: Los términos de la sucesión se aproximan a un número fijo L. Se dice que la sucesión converge y se denota lim a_n = L.

Tendencia infinita: Los términos de la sucesión crecen o decrecen sin límite. Se dice que la sucesión diverge y se denota lim a_n = +∞ o lim a_n = -∞.

Teorema: Si a_n es una sucesión monótona, entonces:

• a_n converge → a_n es acotada.
• Si a_n diverge a +∞, entonces: lim (1 + 1/a_n) = e

Aritmética de Límites

1. Combinación de tendencias finitas: Los límites se operan igual que las sucesiones, excluyendo la división por 0 y la potencia de sucesiones que tienden a 0.
2. Combinación de tendencias infinitas: La aritmética no está definida en principio, pero se puede definir si siempre se obtiene el mismo resultado.

Tipos de Límites

• Determinado: El límite de la suma solo depende de los límites de las sucesiones que se suman.
• Indeterminación: El límite de la operación depende de las sucesiones de partida, y no solo de sus límites.

Funciones

Dado un conjunto A y otro B, una relación binaria f: A → B es una función si a cada elemento de A se le asigna un único elemento de B.

Condiciones para ser Función

1. Existencia: Para todo x ∈ A, existe un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f.
2. Unicidad: Si (x, y) ∈ f y (x, z) ∈ f, entonces y = z.

Igualdad de funciones: f = g si tienen el mismo dominio.

Dominio de una función: Df = {x ∈ R / ∃ y ∈ B: y = f(x)}

Recorrido de una función: Rf = {y ∈ R / ∃ x ∈ A: y = f(x)}

Tipos de Funciones

Función inyectiva: Si x₁ ≠ x₂, entonces f(x₁) ≠ f(x₂).

Función sobreyectiva: Para todo y ∈ B, existe un x ∈ A tal que y = f(x).

Función biyectiva: Si es inyectiva y sobreyectiva.

Función inversa: F^-1(x) = {(y, x) ∈ B x A / (x, y) ∈ f}

Ecuaciones de la Recta

Ecuación de la recta que pasa por un punto: y – y₀ = m(x – x₀)

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos: y – y₀ = (y₁ – y₀) / (x₁ – x₀) (x – x₀)

Función lineal: y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

Función cuadrática: y = ax² + bx + c, con a ≠ 0.

Características de la Función Cuadrática

1. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
2. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Dominio: R. No es inyectiva, no es sobreyectiva, no es biyectiva.

Discriminante: Δ = b² – 4ac

• Δ > 0: Dos raíces reales y distintas.
• Δ = 0: Dos raíces reales e iguales.
• Δ < 0: No tiene raíces reales.

Funciones Monótonas

Función creciente: f es creciente en un dominio D si para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≤ f(x₂).

Función decreciente: f es decreciente en un dominio D si para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≥ f(x₂).

Función no creciente: Si para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≥ f(x₂).

Función no decreciente: Si para todo x₁, x₂ ∈ D, si x₁ < x₂, entonces f(x₁) ≤ f(x₂).

Otras Funciones

Función compuesta: (f o g)(x) = f(g(x)). Existe siempre que Rg ⊆ Df.

Función par: f(x) = f(-x)

Función impar: f(x) = -f(-x)

Función periódica: f(x) = f(x + p)

Funciones Trigonométricas

• Función seno: y = sen(x). Dominio: R, Recorrido: [-1, 1].
• Función coseno: y = cos(x). Dominio: R, Recorrido: [-1, 1].
• Función tangente: y = tan(x) = sen(x) / cos(x). Dominio: {x ∈ R / x ≠ (2k+1)π/2}, Recorrido: R. Impar.
• Función cosecante: y = csc(x) = 1 / sen(x). Dominio: {x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z}, Recorrido: {y ∈ R / |y| ≥ 1}. No inyectiva, no sobreyectiva, no biyectiva.
• Función secante: y = sec(x) = 1 / cos(x). Dominio: {x ∈ R / x ≠ (2k+1)π/2}, Recorrido: {y ∈ R / |y| ≥ 1}. Par.
• Función cotangente: y = cot(x) = cos(x) / sen(x). Dominio: {x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z}, Recorrido: R. Impar.

Funciones Exponencial y Logarítmica

• Función exponencial: y = a^x, con a > 0 y a ≠ 1. Dominio: R, Recorrido: (0, ∞). Inyectiva. No periódica, no par ni impar. Pasa por (0, 1).
• Función logarítmica: y = log_a(x), con a > 0 y a ≠ 1. Dominio: (0, ∞), Recorrido: R. Inyectiva, sobreyectiva, biyectiva. No periódica, no par ni impar. Pasa por (1, 0).

Asíntotas

Rectas a las cuales la función se aproxima indefinidamente cuando al menos una de las variables (x o y) tiende al infinito.

• Asíntotas verticales (AV): Rectas perpendiculares al eje x (x = a).
• Asíntotas horizontales (AH): Rectas perpendiculares al eje y (y = a).
• Asíntotas oblicuas (AO): Rectas no paralelas ni perpendiculares a los ejes (y = mx + n).

Límites de Funciones

El límite de f(x) cuando x se aproxima a x₀ es L, denotado como lim_x→x0 f(x) = L, si para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x – x₀| < δ, entonces |f(x) – L| < ε.

Teoremas sobre Límites de Funciones

Sean lim f(x), lim g(x), lim h(x):

1. lim |f(x)| = |lim f(x)|
2. lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x)
3. lim [f(x) · g(x)] = lim f(x) · lim g(x)
4. lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)
5. Si f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) y lim f(x) = L = lim h(x), entonces lim g(x) = L.
6. lim [f(x)]ⁿ = [lim f(x)]ⁿ, si n es cualquier entero.
7. lim_x→0 (sen(x)/x) = 1

= 1

= 1

Límites Laterales

Para que exista el límite de una función cuando x → x₀, la función debe estar definida en todo punto de un intervalo reducido del punto x₀.

= →

Límites Infinitos

1. lim f(x) = +∞ si para todo M > 0, existe un δ > 0 tal que f(x) > M para todo x del entorno reducido de x₀.
2. lim f(x) = -∞ si para todo M < 0, existe un δ > 0 tal que f(x) < M para todo x del entorno reducido de x₀.

= +∞

= -∞

Límite y Continuidad

Una función f(x) es continua en el punto x₀ si se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existe lim_x→x0 f(x).
2. f(x₀) está definida.
3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀).

Discontinuidades

Discontinuidad evitable: Existe el límite finito L de la función en x₀, pero f(x₀) no está definida o no coincide con L.

Discontinuidad esencial: La función no tiene límite finito en x₀ o no existe el límite.

Teoremas de Continuidad

Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de Bolzano-Weierstrass: Si f(x) es continua en [a, b], entonces:

1. Existe x₁ ∈ [a, b] tal que f(x₁) ≥ f(x) para todo x ∈ [a, b].
2. Existe x₂ ∈ [a, b] tal que f(x₂) ≤ f(x) para todo x ∈ [a, b].

= ≥

= ≤

Teorema: Si f(x) es continua en [a, b] y f(a) · f(b) < 0, entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

= <

Teorema del valor intermedio: Si f(x) es continua en [a, b], entonces f(x) toma todos los valores entre f(a) y f(b).

Derivadas

Una función f(x) es derivable en (a, b) si tiene derivada en cada punto x ∈ (a, b).

Interpretación Geométrica de la Derivada

El cociente [f(x) – f(a)] / (x – a) representa la tangente trigonométrica (la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q). La derivada de la función en un punto x mide la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica del ángulo que dicha recta forma con el eje horizontal.

Recta tangente: Dada la recta de ecuación y = ax + b que pasa por (x₀, f(x₀)), se verifica que f(x₀) = ax₀ + b.

Ángulo entre dos Curvas

El ángulo entre dos curvas es el determinado entre las dos tangentes a las curvas en dicho punto. tan(ω) = |[f₂‘(x₀) – f₁‘(x₀)] / [1 + f₂‘(x₀) · f₁‘(x₀)]|, donde β y α son los ángulos que forman las tangentes a las curvas f₂(x) y f₁(x).

Regla de la Cadena

Si f(x) = f(g(x)), y g es derivable en x₀ y f es derivable en g(x₀), entonces f'(x₀) = f'(g(x₀)) · g'(x₀). La derivada de la función compuesta es el producto de las derivadas de sus componentes.

Derivada Implícita

Si x e y están vinculadas por la relación f(x, y) = 0, y sabemos que y es una función de x, aunque no conozcamos su ley, al calcular la derivada de y haremos y’. Ejemplo: x²y + 2x = 1

= Derivando: 2xy + x²y’ + 2 = 0

= Despejando: x²y’ = -2xy – 2

= y’ = (-2xy – 2) / x²

Derivación Logarítmica

Si y = v^v, tomamos logaritmo a ambos miembros: ln(y) = ln(v^v) = v · ln(v). Derivamos: (1/y) · y’ = v · (1/v) · v’ + v’ · ln(v). Entonces, y’ = y · (v’ + v’ · ln(v)) = v^v · (v’ + v’ · ln(v)).