Introducción a la Lógica Proposicional
La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática. Una proposición es un enunciado que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez.
Ejemplos de Proposiciones Válidas e Inválidas
Proposiciones válidas:
- p: Estados Unidos es el país territorialmente más extenso del continente americano.
- q: -19 + 50 = 31.
Proposiciones inválidas:
- r: x > (y – 13)7. (No se puede determinar si es verdadero o falso sin valores específicos para x e y)
- Enunciados como preguntas, exclamaciones u órdenes no son proposiciones válidas ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero.
Proposiciones Compuestas y Operadores Lógicos
Las proposiciones pueden combinarse para formar proposiciones compuestas mediante el uso de conectores u operadores lógicos. Una proposición compuesta está integrada por dos o más proposiciones simples conectadas por operadores.
Ejemplo:
Considérese el siguiente enunciado: “El automóvil arranca si y sólo si el tanque tiene gasolina y la batería tiene corriente.”
Definimos las proposiciones simples:
- p: El automóvil arranca.
- q: El tanque tiene gasolina.
- r: La batería tiene corriente.
La representación simbólica del enunciado usando lógica proposicional es:
p ↔ (q ∧ r)
La tabla de verdad correspondiente es:
| q | r | p ↔ (q ∧ r) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Donde:
- 1 = verdadero
- 0 = falso
En la tabla, q = 1 significa que el tanque tiene gasolina, r = 1 significa que la batería tiene corriente, y p ↔ (q ∧ r) = 1 significa que el automóvil puede encender. Si q o r son falsos (0), el automóvil no tiene gasolina o la batería no tiene corriente, por lo tanto, no puede encender.
Operador AND (y)
El operador AND, también conocido como conjunción, se representa con los símbolos ∧, & o •. El resultado es verdadero solo si ambas proposiciones son verdaderas.
Tabla de verdad:
- 1 ∧ 1 = 1
- 1 ∧ 0 = 0
- 0 ∧ 1 = 0
- 0 ∧ 0 = 0
En lógica matemática, en lugar del signo =, se utilizan los signos ≡ y ⇔ para indicar equivalencia lógica. Así, la proposición del ejemplo anterior puede indicarse como p ≡ (q ∧ r) o bien como p ⇔ (q ∧ r).
Operador OR (o)
El operador OR, también conocido como disyunción, produce un resultado verdadero cuando al menos una de las proposiciones es verdadera. Se representa con los símbolos ∨, +, o ||.
Ejemplo:
“Una persona entra al cine si compra su boleto o le regalan un pase.”
Definimos las proposiciones:
- p: Una persona entra al cine.
- q: Compra su boleto.
- r: Le regalan un pase.
La representación lógica es: p ≡ (q ∨ r)
Tabla de verdad:
| q | r | p ≡ (q ∨ r) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
La única forma en que la persona no puede ingresar al cine (p = 0) es que no compre su boleto (q = 0) y no le regalen un pase (r = 0).
El operador lógico ∨ también se conoce como la suma lógica. Aunque 1 ∨ 1 = 1 puede parecer contraintuitivo (ya que 1 + 1 = 2), en lógica matemática y álgebra booleana, cualquier resultado mayor que 1 se considera 1. En el ejemplo, si una persona compra su boleto (q = 1) y también le regalan un pase (r = 1), puede entrar al cine aunque le sobre un boleto.
Operador NOT (no)
El operador NOT, también conocido como negación, invierte el valor de verdad de una proposición. Se representa con los símbolos ¬, ~, o !.
Tabla de verdad:
| p | ¬p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
La negación o complemento de una función es el valor contrario. Si p = 1, su complemento es ¬p = 0. Un número par de negaciones equivale a la proposición original (¬¬p ≡ p).
Operador XOR (o exclusivo)
El operador XOR (o exclusivo) se representa con el símbolo ⊕. Produce un resultado verdadero solo cuando una de las proposiciones es verdadera, pero no ambas.
Tabla de verdad:
| p | q | p ⊕ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Se puede expresar como: p ⊕ q ≡ (¬p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
Operadores Compuestos
Nand (combinación de Not y And), Nor (combinación de Not y Or) y Xnor (combinación de Xor y Not).
De esta forma el enunciado anterior se puede expresar como
p
q
y su tabla de verdad es la siguiente:
p
q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
En esta tabla hay que observar que el único caso en el que (p
q) es 0 es cuando p = 1 y q = 0.
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:
1) p = 1 significa que “el candidato salió electo” , mientras que q = 1 significa que “el crecimiento anual del país fue de 7%», por lo tanto (p
q) = 1 indica que el candidato dijo la verdad en su campaña.
2) p = 1 y q = 0 significa que el candidato mintió ya que salió electo y el crecimiento anual no fue del 7% como lo prometió, por lo tanto la afirmación del candidato es falsa: (1
0) = 0.
3) p = 0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un crecimiento del 7% anual en el país, crecimiento que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto tampoco mintió, de tal forma que (0
1) = 1.
4) p = 0 y q = 0 significa que el candidato no salió electo y que tampoco el crecimiento anual del país fue del 7%, por lo tanto el candidato no mintió respecto a la afirmación que hizo en su campaña, por lo que (0
0) = 1.
Proposición bicondicional (
)
Sean p y q dos proposiciones, entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente forma:
p
q
Esto se lee como “p si sólo si q” en donde la proposición que representa el enunciado (p
q) es verdadera si p es verdadera si y sólo si q también lo es. O bien la proposición es verdadera si p es falsa y si sólo si q también lo es.
Ejemplo
Considérese el enunciado “Es buen estudiante, si y sólo si, tiene promedio de diez.”
Para representar esto con notación lógica en forma de proposición bicondicional
se definen las proposiciones
p: Es buen estudiante,
q: Tiene promedio de diez.
La tabla de verdad correspondiente es la siguiente:
p
q
p
q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Como se ve en la tabla, la proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien si ambas son verdaderas.