En las máquinas hidráulicas, el fluido que intercambia energía no varía sensiblemente su densidad al pasar a través de la máquina. Se realiza la hipótesis de que la densidad es constante (ρ = constante). Las máquinas motoras absorben energía del fluido y restituyen energía mecánica, mientras que las generadoras absorben energía mecánica y restituyen energía al fluido.
Turbomáquinas
Una turbomáquina consta de un rodete que gira libremente alrededor de un eje cuando pasa un fluido. Al variar la cantidad de movimiento del fluido, se provoca una fuerza sobre los álabes. Esta fuerza realiza un trabajo, un trabajo técnico en el eje.
Ecuación de Euler (Primera Forma)
La Ecuación de Euler (primera forma) es fundamental para el estudio de las turbomáquinas. Expresa la energía intercambiada en el rodete de todas estas máquinas. Se utilizan dos planos de representación: el plano meridional y el plano transversal.
De la ecuación de Euler se supone que todas las partículas de fluido que entran en los álabes sufren la misma desviación (método universal de estudio). El corte meridional representa las formas meridionales de la superficie de revolución de la máquina, como arista de entrada y salida, así como los anchos de rodete. El corte transversal se realiza en un plano perpendicular al eje. En la bomba radial, se ve el álabe del rodete en su verdadera forma, siendo una superficie cilíndrica con generatrices paralelas al eje de la máquina.
Deducción de la Ecuación de Euler
En régimen permanente, al girar, se crea una depresión en el rodete, permitiendo que el fluido penetre en el interior de la bomba. Sea c1 la velocidad absoluta de una partícula de fluido a la entrada. Si el álabe fuese fijo y se prescindiera del rozamiento del flujo con el álabe, c2 sería igual a c1, cambiando solo la dirección y su cantidad de movimiento, originando una fuerza F.
F = p1S1 + p2S2 + m(c2 – c1). Aquí, p1 = p2 = pa = 0. Por lo tanto, F = m(c2 – c1).
Si la máquina gira a una velocidad angular ω en rad/s, y la velocidad periférica es u1 = πD1n/60, el fluido se mueve con una velocidad relativa a la entrada w1, donde w1 = c1 – u1. Suponiendo que el álabe tiene la dirección de w1, la partícula entra sin choque, lo cual ocurre cuando la máquina funciona en su punto nominal. Si no existe choque, la partícula, guiada por el álabe, sale del rodete con una velocidad relativa a la salida w2, que es tangente al álabe en la salida. El álabe tiene una velocidad periférica u2, y la velocidad absoluta a la salida es c2 = w2 + u2.
La partícula en el rodete ha sufrido un cambio de velocidad de c1 a c2. Se deduce el teorema del momento cinético o del momento de cantidad de movimiento, aplicado al hilo de corriente al que pertenece la partícula: dF = dQ ρ(c2 – c1). Tomando momentos en esta ecuación con relación al eje de la máquina, dM = dQ ρ(l2c2 – l1c1).
Suponiendo ahora que el fluido entra a c1 por un diámetro D1 y sale a c2 por un diámetro D2, y que todas las partículas sufren la misma desviación con un número infinito de álabes: M = Qρ(l2c2 – l1c1). En la figura se ve que l1 = r1cosα1 (l2), M = Qρ(r2c2cosα2 – r1c1cosα1).
El momento multiplicado por ω es la potencia que el rodete comunica al fluido en vatios: Pu = Mω = Qρω(r2c2cosα2 – r1c1cosα1). Donde ω = 2πn/60.
Por otra parte, si llamamos Yu a la energía específica intercambiada entre el rodete y el fluido, y G al caudal másico que atraviesa el rodete: Pu(W) = G Yu = QρgHu, donde Hu es la altura de la energía intercambiada en el fluido. Igualando expresiones: QρYu = Qρω(r2c2cosα2 – r1c1cosα1). Se obtiene la ecuación de Euler: Yu = (u2c2u – u1c1u).
Las turbinas hidráulicas son máquinas motoras, donde el fluido imparte energía. Por esta razón, se procederá de la misma forma, pero escribiendo el momento que el fluido ejerce sobre el rodete, el segundo término de la ecuación tendrá los signos cambiados. Yu será la energía que absorbe la máquina: Yu = (u1c1u – u2c2u). En ambos casos, Yu será la energía intercambiada entre ambos. Yu = +-(…). Esta expresión es conocida como la primera forma de la ecuación de Euler en J/Kg o m^2/s^2. El signo positivo se usa en las máquinas motoras y el negativo en las generadoras. En forma de altura sería: Y = gH. Dividiendo los términos: Hu = +- (u2c2u – u1c1u)/g. Se conoce como la primera forma de la ecuación de Euler en términos de altura.
Triángulo de Velocidades
Las ecuaciones vectoriales c1 = w1 + u1 y c2 = w2 + u2 se representan mediante dos triángulos: el triángulo de entrada y el triángulo de salida.
Segunda Forma de la Ecuación de Euler
Un mejor o peor diseño de la máquina origina diferentes formas de los triángulos de velocidades. Sea cual sea la forma, se cumplirá siempre la siguiente condición geométrica en los triángulos:
w1^2 = u1^2 + c1^2 – 2u1c1cosα1 = u1^2 + c1^2 – 2u1c1u. Por lo tanto, u1c1u = 1/2(u1^2 + c1^2 – w1^2).
En el triángulo de salida se deduce de forma similar, pero con c2. Llevando estos valores a la ecuación de Euler, tendremos la segunda forma de la ecuación de Euler en forma energética:
Yu = +-(u2^2 – u1^2)/2 + (w2^2 – w1^2)/2 + (c1^2 – c2^2)/2
Usando el signo positivo en las máquinas motoras y el negativo en las máquinas generadoras. Dividiendo por g:
Hu = +-(…/2g + …/2g + …/2g)
La ecuación de Bernoulli entre la salida y la entrada será:
Hu = +-(p1 – p2)/ρg + z1 – z2 + (c1^2 – c2^2)/2g
Igualando las dos expresiones:
+-(…/2g + …/2g + …/2g) = (p1 – p2)/ρg + (c1^2 – c2^2)/2g
Altura de presión del rodete: Hp = +-(p1 – p2)/ρg. Altura dinámica: Hd = +-(c1^2 – c2^2)/2g
Grado de Reacción
El grado de reacción describe el modo en que trabaja el rodete. Se debe distinguir la altura de presión que da la bomba y la altura de presión que da el rodete de la bomba. La primera normalmente es mayor que Hp porque la bomba tiene, además de un rodete, un sistema difusor que transforma la energía dinámica que da el rodete.
Llamamos grado de reacción σ al cociente entre la altura que da o absorbe el rodete en forma de presión por la altura total que da o absorbe el rodete. σ = Hp/Hu.
- Si Hp < 0, el grado es negativo.
- Si Hp = 0, el grado es cero.
- Si 0 < Hp < Hu, el grado está entre 0 y 1.
- Si Hp > Hu, el grado es mayor que 1.
Si el grado de reacción es cero, la máquina se llama de acción. Todas las máquinas son de reacción, realizando la transferencia de energía íntegramente en el rodete, con un grado de reacción de 1.